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第1页—总8页知识点一:二次根式的概念【知识要点】二次根式的定义:形如的式子叫二次根式,其中叫被开方数,只有当是一个非负数时,才有意义.【典型例题】【例1】下列各式1)22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153xaaa,其中是二次根式的是_________(填序号).举一反三:1、下列各式中,一定是二次根式的是()A、aB、10C、1aD、21a2、在a、2ab、1x、21x、3中是二次根式的个数有______个【例2】若式子13x有意义,则x的取值范围是.举一反三:1、使代数式43xx有意义的x的取值范围是()A、x3B、x≥3C、x4D、x≥3且x≠42、使代数式221xx有意义的x的取值范围是【例3】若y=5x+x5+2009,则x+y=举一反三:1、若11xx2()xy,则x-y的值为()A.-1B.1C.2D.3第2页—总8页2、若x、y都是实数,且y=4x233x2,求xy的值3、当a取什么值时,代数式211a取值最小,并求出这个最小值。知识点二:二次根式的性质【知识要点】1.非负性:aa()0是一个非负数.注意:此性质可作公式记住,后面根式运算中经常用到.2.()()aaa20.注意:此性质既可正用,也可反用,反用的意义在于,可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式:aaa()()203.aaaaaa200||()()注意:(1)字母不一定是正数.(2)能开得尽方的因式移到根号外时,必须用它的算术平方根代替.(3)可移到根号内的因式,必须是非负因式,如果因式的值是负的,应把负号留在根号外.4.公式aaaaaa200||()()与()()aaa20的区别与联系(1)a2表示求一个数的平方的算术根,a的范围是一切实数.(2)()a2表示一个数的算术平方根的平方,a的范围是非负数.(3)a2和()a2的运算结果都是非负的.【典型例题】【例4】若22340abc,则cba.举一反三:1、若0)1(32nm,则mn的值为。2、已知yx,为实数,且02312yx,则yx的值为()A.3B.–3C.1D.–13、已知直角三角形两边x、y的长满足|x2-4|+652yy=0,则第三边长为______.第3页—总8页4、若1ab与24ab互为相反数,则2005_____________ab。(公式)0()(2aaa的运用)【例5】化简:21(3)aa的结果为()A、4—2aB、0C、2a—4D、4举一反三:1、在实数范围内分解因式:23x=;4244mm=429__________,222__________xxx(公式)0a(a)0a(aaa2的应用)【例6】已知2x,则化简244xx的结果是A、2xB、2xC、2xD、2x举一反三:1、根式2(3)的值是()A.-3B.3或-3C.3D.92、已知a0,那么│2a-2a│可化简为()A.-aB.aC.-3aD.3a3、若23a,则2223aa等于()A.52aB.12aC.25aD.21a4、若a-3<0,则化简aaa4962的结果是()(A)-1(B)1(C)2a-7(D)7-2a5、化简2244123xxx得()(A)2(B)44x(C)-2(D)44x6、当a<l且a≠0时,化简aaaa2212=.7、已知0a,化简求值:22114()4()aaaa【例7】如果表示a,b两个实数的点在数轴上的位置如图所示,那么化简│a-b│+2()ab的结果等于()A.-2bB.2bC.-2aD.2a1012aoba第4页—总8页举一反三:实数a在数轴上的位置如图所示:化简:21(2)______aa.【例8】化简21816xxx的结果是2x-5,则x的取值范围是()(A)x为任意实数(B)1≤x≤4(C)x≥1(D)x≤1举一反三:若代数式22(2)(4)aa的值是常数2,则a的取值范围是()A.4a≥B.2a≤C.24a≤≤D.2a或4a【例9】如果11a2aa2,那么a的取值范围是()A.a=0B.a=1C.a=0或a=1D.a≤1举一反三:1、如果2693aaa成立,那么实数a的取值范围是().0.3;.3;.3AaBaCaDa2、若03)3(2xx,则x的取值范围是()(A)3x(B)3x(C)3x(D)3x【例10】化简二次根式22aaa的结果是()(A)2a(B)2a(C)2a(D)2a1、把二次根式aa1化简,正确的结果是()A.aB.aC.aD.a2、把根号外的因式移到根号内:当b>0时,xxb=;aa11)1(=。知识点三:最简二次根式和同类二次根式【知识要点】1、最简二次根式:(1)最简二次根式的定义:①被开方数是整数,因式是整式;②被开方数中不含能开得尽方的数或因式;分母中不含根号.【例11】在根式1)222;2);3);4)275xabxxyabc,最简二次根式是()第5页—总8页A.1)2)B.3)4)C.1)3)D.1)4)解题思路:掌握最简二次根式的条件。举一反三:1、)ba(17,54,b40,212,30,a45222中的最简二次根式是。2、下列根式中,不是..最简二次根式的是()A.7B.3C.12D.23、下列根式不是最简二次根式的是()A.21aB.21xC.24bD.0.1y4、下列各式中哪些是最简二次根式,哪些不是?为什么?(1)ba23(2)23ab(3)22yx(4))(baba(5)5(6)xy85、把下列各式化为最简二次根式:(1)12(2)ba245(3)xyx2【例12】下列根式中能与3是合并的是()A.8B.27C.25D.21举一反三:1、下列各组根式中,是可以合并的根式是()A、318和B、133和C、22abab和D、11aa和2、在二次根式:①12;②32;③32;④27中,能与3合并的二次根式是。3、如果最简二次根式83a与a217能够合并为一个二次根式,则a=__________.知识点四:二次根式计算——分母有理化【知识要点】1.分母有理化定义:把分母中的根号化去,叫做分母有理化。2.有理化因式:第6页—总8页两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下:①单项二次根式:利用aaa来确定,如:aa与,abab与,ba与ba等分别互为有理化因式。②两项二次根式:利用平方差公式来确定。如ab与ab,abab与,axbyaxby与分别互为有理化因式。3.分母有理化的方法与步骤:①先将分子、分母化成最简二次根式;②将分子、分母都乘以分母的有理化因式,使分母中不含根式;③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。【例13】把下列各式分母有理化(1)148(2)4337(3)11212(4)13550【例14】把下列各式分母有理化(1)328xxy(2)2ab(3)38xx(4)2525abba【例15】把下列各式分母有理化:(1)221(2)5353(3)333223小结:一般常见的互为有理化因式有如下几类:①与;②与;③与;④与.知识点五:二次根式计算——二次根式的乘除【知识要点】1.积的算术平方根的性质:积的算术平方根,等于积中各因式的算术平方根的积。ab=a·b(a≥0,b≥0)第7页—总8页2.二次根式的乘法法则:两个因式的算术平方根的积,等于这两个因式积的算术平方根。a·b=ab.(a≥0,b≥0)3.商的算术平方根的性质:商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根ab=ab(a≥0,b0)4.二次根式的除法法则:两个数的算术平方根的商,等于这两个数的商的算术平方根。ab=ab(a≥0,b0)注意:乘、除法的运算法则要灵活运用,在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边,同时还要考虑字母的取值范围,最后把运算结果化成最简二次根式.【典型例题】【例16】化简(1)916(2)1681(4)229xy(0,0yx)【例17】计算(1)(2)(3)(4)【例20】能使等式22xxxx成立的的x的取值范围是()A、2xB、0xC、02xD、无解知识点六:二次根式计算——二次根式的加减【知识要点】1.同类二次根式(可合并根式):几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,这几个二次根式就叫做同类二次根式,即可以合并的两个根式。2.需要先把二次根式化简,然后把被开方数相同的二次根式(即同类二次根式)的系数相加减,被开方数不变。3.注意:对于二次根式的加减,关键是合并同类二次根式,通常是先化成最简二次根式,再把同类二次根式合并.但在化简二次根式时,二次根式的被开方数应不含分母,不含能开得尽的因数.第8页—总8页【典型例题】【例20】计算(1)11327520.53227;(2)12543102024553457;(3)11113275348532;(4)113326327284814723247知识点七:二次根式计算——二次根式的混合计算与求值【知识要点】1、确定运算顺序;2、灵活运用运算定律;3、正确使用乘法公式;4、大多数分母有理化要及时;5、在有些简便运算中也许可以约分,不要盲目有理化;【典型习题】1、abbaabb3)23(2352、22(212+418-348)3、132xy·(-42yx)÷162xy4、673)32272(
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