2020年山东省青岛市高考数学一模试卷-含解析

2020年高考数学一模试卷一、选择题.1．已知i是虚数单位，复数，则z的共轭复数的虚部为（）A．﹣iB．1C．iD．﹣12．已知集合A＝{x∈R|log2x＜2}，集合B＝{x∈R||x﹣1|＜2}，则A∩B＝（）A．（0，3）B．（﹣1，3）C．（0，4）D．（﹣∞，3）3．已知某市居民在2019年用于手机支付的个人消费额ξ（单位：元）服从正态分布N（2000，1002），则该市某居民手机支付的消费额在（1900，2200）内的概率为（）附：随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）＝0.9974．A．0.9759B．0.84C．0.8185D．0.47724．设a＝20.2，b＝sin2，c＝log20.2，则a，b，c的大小关系正确的是（）A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．b＞c＞aD．c＞a＞b5．已知函数f（x）{，，＜（e＝2.718……为自然对数的底数），若f（x）的零点为α，极值点为β，则α+β＝（）A．﹣1B．0C．1D．26．已知四棱锥P﹣ABCD的所有棱长均相等，点E，F分别在线段PA，PC上，且EF∥底面ABCD，则异面直线EF与PB所成角的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°7．在同一直角坐标系下，已知双曲线C：＞，＞的离心率为√，双曲线C的一个焦点到一条渐近线的距离为2，函数的图象向右平移单位后得到曲线D，点A，B分别在双曲线C的下支和曲线D上，则线段AB长度的最小值为（）A．2B．√C．√D．18．某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“保留题型”、“升级题型”、“创新题型”三类题型，每类题型均指定一道题让参赛者回答．已知某位参赛者答对每道题的概率均为，且各次答对与否相互独立，则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率（）A．B．C．D．二､多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分｡在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求｡全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分｡9．已知向量，，，，，，设，的夹角为θ，则（）A．||＝||B．⊥C．∥D．θ＝135°10．已知函数√，x∈R，则（）A．﹣2≤f（x）≤2B．f（x）在区间（0，π）上只有1个零点C．f（x）的最小正周期为πD．x为f（x）图象的一条对称轴11．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn+1＝Sn+2an+1，数列的前n项和为，∈，则下列选项正确的为（）A．数列{an+1}是等差数列B．数列{an+1}是等比数列C．数列{an}的通项公式为D．Tn＜112．已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上下底面均为正方形，其中AB＝2√，A1B1√，2，则下述正确的是（）A．该四棱合的高为√B．AA1⊥CC1C．该四棱台的表面积为26D．该四棱合外接球的表面积为16π三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．若∀x∈（0，+∞），4x+x﹣1≥a恒成立，则实数a的取值范围为．14．已知函数f（x）的定义域为R，f（x+1）为奇函数，f（0）＝1，则f（2）＝．15．已知a∈N，二项式展开式中含有x2项的系数不大于240，记a的取值集合为A，则由集合A中元素构成的无重复数字的三位数共有个．16．2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：Q（0，﹣3）是圆Q的圆心，圆Q过坐标原点O；点L、S均在x轴上，圆L与圆S的半径都等于2，圆S、圆L均与圆Q外切．已知直线l过点O．（1）若直线l与圆L、圆S均相切，则l截圆Q所得弦长为；（2）若直线l截圆L、圆S、圆Q所得弦长均等于d，则d＝．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．设等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn．已知a1b1＝2，S2＝6，S3＝12，，n∈N*．（1）求{an}，{bn}的通项公式；（2）是否存在正整数k，使得Sk＜6k且＞？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．18．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2b2＝（b2+c2﹣a2）（1﹣tanA）．（1）求角C；（2）若√，D为BC中点，在下列两个条件中任选一个，求AD的长度．条件①：△ABC的面积S＝4且B＞A；条件②：√．注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．19．在如图所示的四棱锥E﹣ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，△BCE为边长为2的等边三角形，AB＝AE，点F，O分别为AB，BE的中点，OF是异面直线AB和OC的公垂线．（1）证明：平面ABE⊥平面BCE；（2）记OCDE的重心为G，求直线AG与平面ABCD所成角的正弦值．20．某网络购物平台每年11月11日举行“双十一”购物节，当天有多项优惠活动，深受广大消费者喜爱．（1）已知该网络购物平台近5年“双十”购物节当天成交额如表：年份20152016201720182019成交额（百亿元）912172127求成交额y（百亿元）与时间变量x（记2015年为x＝1，2016年为x＝2，……依此类推）的线性回归方程，并预测2020年该平台“双十一”购物节当天的成交额（百亿元）；（2）在2020年“双十一”购物节前，某同学的爸爸、妈妈计划在该网络购物平台．上分别参加A、B两店各一个订单的“秒杀”抢购，若该同学的爸爸、妈妈在A、B两店订单“秒杀”成功的概率分别为p、q，记该同学的爸爸和妈妈抢购到的订单总数量为X．（i）求X的分布列及E（X）；（ii）已知每个订单由k（k≥2，k∈N*）件商品W构成，记该同学的爸爸和妈妈抢购到的商品W总数量为Y，假设，，求E（Y）取最大值时正整数k的值．附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：∑∑∑∑；a．21．已知O为坐标原点，椭圆C：＞＞的左，右焦点分别为点F1，F2，F2又恰为抛物线D：y2＝4x的焦点，以F1F2为直径的圆与椭圆C仅有两个公共点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l与D相交于A，B两点，记点A，B到直线x＝﹣1的距离分别为d1，d2，|AB|＝d1+d2．直线l与C相交于E，F两点，记△OAB，△OEF的面积分别为S1，S2．（i）证明：△EFF1的周长为定值；（ii）求的最大值．22．已知函数f（x）＝axlnx﹣x2+2的图象在点（1，1）处的切线方程为y＝1．（1）当x∈（0，2）时，证明：0＜f（x）＜2；（2）设函数g（x）＝xf（x），当x∈（0，1）时，证明：0＜g（x）＜1；（3）若数列{an}满足：，＜＜，∈．证明：∑＜．参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知i是虚数单位，复数，则z的共轭复数的虚部为（）A．﹣iB．1C．iD．﹣1【分析】利用复数的运算法则、共轭复数与虚部的定义即可得出．解：2﹣i，则z的共轭复数2+i的虚部为1．故选：B．2．已知集合A＝{x∈R|log2x＜2}，集合B＝{x∈R||x﹣1|＜2}，则A∩B＝（）A．（0，3）B．（﹣1，3）C．（0，4）D．（﹣∞，3）【分析】先求出集合A，集合B，由此能求出A∩B．解：∵集合A＝{x∈R|log2x＜2}＝{x|0＜x＜4}，集合B＝{x∈R||x﹣1|＜2}＝{x|﹣1＜x＜3}，∴A∩B＝{x|0＜x＜3}＝（0，3）．故选：A．3．已知某市居民在2019年用于手机支付的个人消费额ξ（单位：元）服从正态分布N（2000，1002），则该市某居民手机支付的消费额在（1900，2200）内的概率为（）附：随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）＝0.9974．A．0.9759B．0.84C．0.8185D．0.4772【分析】由已知可得μ＝2000，σ＝100，然后结合σ与2σ原则求解．解：∵ξ服从正态分布N（2000，1002），∴μ＝2000，σ＝100，则P（1900＜ξ＜2200）＝P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）[P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）﹣P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）]＝0.6826（0.9544﹣0.6826）＝0.8185．故选：C．4．设a＝20.2，b＝sin2，c＝log20.2，则a，b，c的大小关系正确的是（）A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．b＞c＞aD．c＞a＞b【分析】把它们和0，1比较，可得出结果．解：a＝20.2＞1，0＜b＝sin2＜1，c＝log20.2＜0，则a＞b＞c，故选：A．5．已知函数f（x）{，，＜（e＝2.718……为自然对数的底数），若f（x）的零点为α，极值点为β，则α+β＝（）A．﹣1B．0C．1D．2【分析】令f（x）＝0可求得其零点，即α的值，再利用导数可求得其极值点，即β的值，从而可得答案．解：∵f（x）{，，＜，∵当x≥0时，f（x）＝0，即3x﹣9＝0，解得x＝2；当x＜0时，f（x）＝xex＜0恒成立，∴f（x）的零点为α＝2．又当x≥0时，f（x）＝3x﹣9为增函数，故在[0，+∞）上无极值点；当x＜0时，f（x）＝xex，f′（x）＝（1+x）ex，当x＜﹣1时，f′（x）＜0，当x＞﹣1时，f′（x）＞0，∴x＝﹣1时，f（x）取到极小值，即f（x）的极值点β＝﹣1，∴α+β＝2﹣1＝1．故选：C．6．已知四棱锥P﹣ABCD的所有棱长均相等，点E，F分别在线段PA，PC上，且EF∥底面ABCD，则异面直线EF与PB所成角的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【分析】连接AC，BD，设AC∩BD＝O，由线面平行的性质定理推得EF∥AC，运用线面垂直的判定定理可得AC⊥平面PBD，再由线面垂直的性质定理和平行线的性质，即可得到所求角．解：连接AC，BD，设AC∩BD＝O，则EF⊂平面PAC，平面PAC∩平面ABCD＝AC，由EF∥底面ABCD，可得EF∥AC，由四边形ABCD为菱形，可得AC⊥BD，由O为AC的中点，PA＝PC，可得PO⊥AC，又BD∩OP＝O，可得AC⊥平面PBD，则AC⊥PB，又EF∥AC，可得EF⊥PB，即异面直线EF与PB所成角的大小为90°．故选：D．7．在同一直角坐标系下，已知双曲线C：＞，＞的离心率为√，双曲线C的一个焦点到一条渐近线的距离为2，函数的图象向右平移单位后得到曲线D，点A，B分别在双曲线C的下支和曲线D上，则线段AB长度的最小值为（）A．2B．√C．√D．1【分析】显然双曲线是等轴双曲线，结合焦点到渐近线的距离求出系数a，b．再画出曲线D的图象和双曲线的图象，观察图象可得解．解：因为离心率为√，所以该双曲线是等轴双曲线，可设C方程为＞所以c√，故焦点为（，√），渐近线y＝±x，取（0，√）到x﹣y＝0的距离为2，得√√，解得a＝b＝2．所以双曲线方程为．函数的图象向右平移单位后得到曲线D的方程为：．同一坐标系做出曲线C、D的图象：由图可知，当B点为y＝﹣cos2x与y轴的交点（0，﹣1），A点为双曲线的下顶点（0，﹣2）时，|AB|最小为1．故选：D．8．某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“保留题型”、“升级题型”、“创新题型”三类题型，每类题型均指定一道题让参赛者回答．已知某位参赛者答对每道题的概率均为，且各次答对与否相互独立，则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率（）A．B．C．D．【分析】利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次概率计算公式能求出该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率．解：某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“保留题型”、“升级题型”、“创新题型”三类题型，每类题型均指定一道题让参赛者回答．某位参赛者答对每道题的概率均为，且各次答对与否相互独立，则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率：P＝（）3．故选：A．二､多项选择题:本题共4小题,每小题5分