垂径定理、圆周角与圆心角

圆1一、知识点1、旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.2、轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.3、圆是轴对称图形，经过圆心的每一条都是它的对称轴。（因为直径是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”或说成：“圆的对称轴是经过圆心的每一条直线”。）4、、垂径定理：垂直于弦的直径这条弦，并且弦所对的弧。（这里的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线或线段，其本质是过“圆心”。）5、推论：（1）平分弦（不是直径）的直径，并且平分弦所对的两条弧。（2）弦的垂直平分线经过，并且平分弦所对的两条弧。（3）平分弦所对的一条弧的直径，弦且平分弦所对的另一条弧。推论：圆的两条平行弦所夹弧。6、与圆有关的角(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数.(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角.7、垂径定理及推论：①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.⑤平行弦夹的弧相等.二、例题(泸州市2008年)如图1，正方形ABCD是⊙O的内接正方形，点P在劣弧CD上不同于点C得到任意一点，则∠BPC的度数是（）A．45B．60C．75D．902．(泸州市2008年)如图2，PA切⊙O于A，PO交⊙O于B，若PA=6，PB=4，则⊙O的半径是（）A．52B．56C．2D．5图2APBOOPDCBA图13、(南京市2008年)如图3，已知O的半径为1，AB与O相切于点A，OB与O交于点C，ODOA，垂足为D，则cosAOB的值等于（）A．ODB．OAC．CDD．AB4、(威海市2008年)如图，⊙O的半径为2，点A的坐标为（2，32），直线AB为⊙O的切线，B为切点．则B点的坐标为A．5823,B．13,C．5954,D．31,5、(2009年潍坊)已知圆O的半径为R，AB是圆O的直径，D是AB延长线上一点，DC是圆O的切线，C是切点，连结AC，若，则BD的长为（）A．B．C．D．6、（09湖南邵阳）如图，AB是圆O的直径，AC是圆O的切线，A为切点，连结BC交圆O于点D，连结AD，若45ABC°，则下列结论正确的是（）A．12ADBCB．12ADACC．ACABD．ADDC7．如图，在⊙O中，弦BC//半径OA，AC与OB相交于M，∠C=20°，则∠AMB的度数为（）A．30°B．60°C．50°D．408．在⊙O中，弦AB把⊙O分为度数比为15∶的两条弧，则AB所对的圆心角的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°9．如图，弦AC、BD相交于点E，ABBCCD∠AED=80°,∠ACD的度数为（）A．30°B．25°C．20°D．15°10．如图，在⊙O中，弦EF∥直径AB，若弧AE的度数为50，则弧BF的度数为，弧EF的度数为，∠EOF=，∠EFO=．11．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BCD＝130°，则∠BOD的度数是__________．30CAB°2R3RR32R图3ABCODxyO11BACBAOMBADCECBDOA12．一条弧所对的圆周角为80°，它所对的圆心角是____度，它所含的圆周角是____度．13．如图，在⊙O中，AB是直径，弦CD//AB，AC的度数为20°，则圆周角∠CPD的度数为_________．14、如图，在ABC中，AB为O的直径，60,70BC，则BOD的度数是_____________度．15、已知：如图，AB与O相切于点C，OAOB，O的直径为4,8AB．（1）求OB的长；（2）求sinA的值．16、如图，在⊙O中，CD过圆心O，且CD⊥AB于D，过C点任意作一条弦CF交⊙O于F，交AB于E。求证：CB2=CF·CEOACPBDDEFOBAC17、（2009年株洲市）如图，点A、B、C是O上的三点，//ABOC.（1）求证：AC平分OAB.（2）过点O作OEAB于点E，交AC于点P.若2AB30AOE，求PE的长．18、（2010湖北荆门）如图，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC：CA=4：3，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B两点重合），过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点．（1）求证：AC·CD=PC·BC；（2）当点P运动到AB弧中点时，求CD的长；（3）当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？并求出这个最大面积S。第23题图PODCBA巩固练习一、选择题：1、下列命题中正确的是（）A、平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；B、弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦；C、若两段弧的度数相等，则它们是等弧；D、弦的垂线平分弦所对的弧。2、如图，⊙O中弦AB⊥CD于E，AE＝2，EB＝6，ED＝3，则⊙O的半径为。3、在半径为5cm的⊙O中，有一点P满足OP＝3cm，则过P的整数弦有条。4、已知⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB＝12cm，CD＝16cm，则AB和CD的距离是（）A、2cmB、14cmC、2cm或14cmD、2cm或12cm5、圆内一弦与直径相交成300的角，且分直径为1cm和5cm两段，则此弦长为。6、如图，如果⊙O的半径为2，弦AB=23，那么弦心距的长为（）A．12Ｂ．3Ｃ．1Ｄ．27、（2010福建省南平）如图，⊙O的直径AB长为6，弦AC长为2，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求四边形ADBC的面积.8、（2009柳州）如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．（1）求证：；（2）若，⊙O的半径为3，求BC的长．第2题图EODCBACFBF2AD·ABCODAOB9、（2010浙江金华）如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于点F．（1）求证：CF﹦BF；（2）若CD﹦6，AC﹦8，则⊙O的半径为，CE的长是．10、（2009年广州市）如图，在⊙O中，∠ACB=∠BDC=60°，AC=cm32，（1）求∠BAC的度数；（2）求⊙O的周长11、D是△ABC中BC边上中点，且AD⊥BC延长AD交其外接圆于E。（1）求证AB2＝AD·AE。变式思考（1）：若△ABC是等边三角形，D是△ABC中BC边上任一点（如图2）①结论AB2＝AD·AE还成立吗？②若△ABC外接圆半径为6，你能求出AD·AE的值来吗？变式思考（2）：D若与B，C重合情况又如何？变式思考（3）：若D为BC的延长线上任一点（如图3）。①结论AB2＝AD·AE还成立吗？②若△ABC外接圆半径为6，你能求出AD·AE的值来吗？CEBAOD图1CEBAODCEBAODEBAODBAODAODODOODD图1图2DAEBC图2DAEBCDAEBCAEBCAEBCCBACDE图3BACDEBACDEBACDEBACDE图3ACBDEFO