基本不等式(人教A版)

这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。思考：这会标中含有怎样的几何图形？思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？探究1ADCBHFGEab22ba22ba1、正方形ABCD的面积S=＿＿＿＿＿２、四个直角三角形的面积和S’=＿＿ab2３、S与S’有什么样的不等关系？探究１：SS′即问：那么它们有相等的情况吗？22baab2(a≠b)ADBCEFGHba22ab猜想：一般地，对于任意实数a、b，我们有当且仅当a=b时，等号成立。222ababABCDE(FGH)ab22baab222baab2(a≠b)(a＝b)＝思考：你能给出不等式的证明吗？abba2220)(2ba0)(2ba2()0ab所以≥222.abab所以≥时当ba时当ba222abab≥证明：（作差法）2)(ba重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，总有当且仅当a=b时，等号成立222abab≥文字叙述为:两数的平方和不小于它们积的2倍.适用范围：a,b∈R0,0,,,,ababab如果我们用分别代替可得到什么结论？0,0,,,,ababab如果我们用分别代替可得到什么结论？22()()2abab≥2abab≥替换后得到：即：)0,0(ba2abab≥即：你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？2abab≥证明：要证只要证_______ab≥①要证①，只要证_____0ab≥②要证②，只要证2(______)0≥③显然,③是成立的.当且仅当a=b时,③中的等号成立.分析法22(0,0,(),())abaabb2abab≥)0,0(ba证明不等式：2ab2abba特别地，若a0，b0，则_____2abab≥通常我们把上式写作：(0,0)2ababab≤当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.基本不等式在数学中，我们把叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数；2abab文字叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.适用范围：a0,b0你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?Rt△ACD∽Rt△DCB，BCDC所以DCAC2DCBCACab所以ABCDEabO如图,AB是圆的直径,O为圆心，点C是AB上一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.②如何用a,b表示CD?CD=______①如何用a,b表示OD?OD=______2abab你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?②如何用a,b表示CD?CD=______①如何用a,b表示OD?OD=______2abab③OD与CD的大小关系怎样?OD_____CD＞≥如图,AB是圆的直径,O为圆心，点C是AB上一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.2abab≥几何意义：半径不小于弦长的一半ADBEOCab适用范围文字叙述“=”成立条件222abab≥2abab≥a=ba=b两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两数的平方和不小于它们积的2倍a,b∈Ra0,b0填表比较：注意从不同角度认识基本不等式=(x+1)+-11x+1f(x)=x+1x+1=1,≥2(x+1)∙-11x+1当且仅当取“=”号.∴当x=0时,函数f(x)的最小值是1.x+1=,即x=0时,1x+1解:∵x＞-1,∴x+10.∴例1.求函数f(x)=x+(x＞-1)的最小值.1x+1配凑系数分析:x+(1-2x)不是常数.2=1为解:∵0x,∴1-2x0.12∴y=x(1-2x)=∙2x∙(1-2x)12≤∙[]22x+(1-2x)21218=.当且仅当时,取“=”号.2x=(1-2x),即x=14∴当x=时,函数y=x(1-2x)的最大值是.1418例2.若0x,求函数y=x(1-2x)的最大值.12•若x、y皆为正数，•则当x+y的值是常数S时，•当且仅当x=y时，•xy有最大值_______21422≤≤xySxyxyS214S22≥xyxyP若x、y皆为正数，则当xy的值是常数P时，当且仅当x=y时，x+y有最小值_______.2P１．已知函数，求函数的最小值和此时x的取值．xxxf1)(.2112121)(:取到最小值时函数即当且仅当解xxxxxxxxf运用均值不等式的过程中，忽略了“正数”这个条件．２．已知函数，求函数的最小值．)2(23)(xxxxf。的最小值是时，函数即当且仅当解：6323223223)(xxxxxxxxxf用均值不等式求最值，必须满足“定值”这个条件．的最小值。，（其中求函数]20sin4sin3y。函数的最小值为解：4,4sin4sin2sin4siny用均值不等式求最值,必须注意“相等”的条件.如果取等的条件不成立,则不能取到该最值.221R,2(),,abababab那么≥当且仅当时,等号成立(2)(0,0)2abababab≤，当且仅当时，等号成立。小结：求最值时注意把握“一正，二定，三相等”已知x,y都是正数,P,S是常数.(1)xy=Px+y≥2P(当且仅当x=y时,取“=”号).(2)x+y=Sxy≤S2(当且仅当x=y时,取“=”号).142.利用基本不等式求最值1.两个重要的不等式1.已知x0,y0,xy=24,求4x+6y的最小值，并说明此时x,y的值．4已知x0,y0,且x+2y=1,求的最小值．yxu112已知a+b=4,求y=2a+2b的最小值．练习题：当x=6,y=4时,最小值为48最小值为8222()fxxx3.已知x0，求函数的最大值.322题型一分式形函数的最值求法典例剖析【例1】求函数y＝x2＋7x＋10x＋1(x－1)的最小值．解：∵x－1，∴x＋10.∴y＝x2＋7x＋10x＋1＝x＋12＋5x＋1＋4x＋1＝(x＋1)＋4x＋1＋5≥2x＋14x＋1＋5＝9.当且仅当x＋1＝4x＋1，即x＝1时，等号成立．∴当x＝1时，函数y＝x2＋7x＋10x＋1(x－1)取得最小值为9.方法点评：形如f(x)＝ax2＋bx＋cmx＋n(m≠0，a≠0)或者g(x)＝mx＋nax2＋bx＋c(m≠0，a≠0)的函数，可以把mx＋n看成一个整体，设mx＋n＝t，那么f(x)与g(x)都可以转化为关于t的函数．1．求函数y＝x＋22x＋5的最大值．解：设t＝x＋2≥0，从而x＝t2－2.∴y＝t2t2＋1(t≥0)．当t＝0时，y＝0.当t0时，y＝12t＋1t≤122t·1t＝24.当且仅当2t＝1t，即t＝22，x＝－32时，y有最大值ymax＝24.