2012年湖南高考理科数学(高清版含答案)

·1·2012年湖南高考理科数学（高清版含答案)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设集合}1,0,1{M，}{2xxxN，则NMA．}0{B．}1,0{C．}1,1{D．}1,0,1{2．命题“若4，则1tan”的逆否命题是A．若4，则1tanB．若4，则1tanC．若1tan，则4D．若1tan，则43．某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能．．．是ABCD4．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据),(iiyx),,2,1(ni，用最小二乘法建立的回归方程为71.8585.0ˆxy，则下列结论中不正确．．．的是A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心),(yxC．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加85.0kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重比为79.58kg5．已知双曲线1:2222byaxC的焦距为10，点)1,2(P在C的渐近线上，则C的方程为·2·A．152022yxB．120522yxC．1208022yxD．1802022yx6．函数)6cos(sin)(xxxf的值域为A．]2,2[B．]3,3[C．]1,1[D．]23,23[7．在ABC中，2AB，3AC，1BCAB，则BCA．3B．7C．22D．238．已知两条直线myl:1和)0(128:2mmyl，1l与函数xy2log的图像从左至右相交于点BA,，2l与函数xy2log的图像从左至右相交于点DC,．记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为ba,．当m变化时，ba的最小值为A．162B．82C．348D．344二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答．题卡．．中对应题号后的横线上．（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）9．在直角坐标系xOy中，已知曲线tytxC21,1:1（t为参数）与曲线cos3,sin:2yaxC（为参数，0a）有一个公共点在x轴上，则a．10．不等式01212xx的解集为．11．如图2，过点P的直线与⊙O相交于BA,两点．若1PA，2AB，3PO，则⊙O的半径等于．（二）必做题（12～16题）12．已知复数2)3(iz（i为虚数单位)，则z．13．6)12(xx的二项展开式中的常数项为．（用数字作答）·3·14．如果执行如图3所示的程序框图，输入3,1nx，则输出的数S．15．函数)sin()(xxf的导函数)(xfy的部分图象如图4所示，其中，P为图象与y轴的交点，CA,为图象与x轴的两个交点，B为图象的最低点．（1）若6，点P的坐标为)233,0(，则；（2）若在曲线段ABC与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在ABC内的概率为．16．设*2(,)nNnNn2，将N个数12,,,Nxxx依次放入编号为1,2,,N的N个位置，得到排列012NPxxx．将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前2N和后2N个位置，得到排列113124NNPxxxxxx，将此操作称为C变换．将1P分成两段，每段2N个数，并对每段作C变换，得到2P；当22in时，将iP分成2i段，每段2iN个数，并对每段作C变换，得到1iP．例如，当8N时，215372648Pxxxxxxxx，此时7x位于2P中的第4个位置．（1）当16N时，7x位于2P中的第个位置；（2）当2()nNn8时，173x位于4P中的第个位置．·4·三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％．（Ⅰ）确定,xy的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；（Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过．．．2.5分钟的概率．（注：将频率视为概率）18．（本小题满分12分）如图5，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，4AB，3BC，5AD，90DABABC，E是CD的中点．（Ⅰ）证明：CD平面PAE；（Ⅱ）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥PABCD的体积．·5·19．（本小题满分12分）已知数列{}na的各项均为正数，记12()nAnaaa，231()nBnaaa，342()nCnaaa，1,2,.n（Ⅰ）若121,5aa，且对任意*nN，三个数(),(),()AnBnCn组成等差数列，求数列{}na的通项公式.（Ⅱ）证明：数列{}na是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意*nN，三个数(),(),()AnBnCn组成公比为q的等比数列.20．（本小题满分13分）某企业接到生产3000台某产品的A，B，C三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2，2，1（单位：件）．已知每个工人每天可生产A部件6件，或B部件3件，或C部件2件．该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比，比例系数为k（k为正整数）．（Ⅰ）设生产A部件的人数为x，分别写出完成A，B，C三种部件生产需要的时间；（Ⅱ）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案．·6·21．（本小题满分13分）在直角坐标系xOy中，曲线1C上的点均在圆222:(5)9Cxy外，且对1C上任意一点M，M到直线2x的距离等于该点与圆2C上点的距离的最小值.（Ⅰ）求曲线1C的方程；（Ⅱ）设000(,)(3)Pxyy为圆2C外一点，过P作圆2C的两条切线，分别与曲线1C相交于点,AB和,CD.证明：当P在直线4x上运动时，四点,AB,,CD的纵坐标之积为定值.22．（本小题满分13分）已知函数()axfxex，其中0a.（Ⅰ）若对一切xR，()1fx恒成立，求a的取值集合.（Ⅱ）在函数()fx的图像上取定两点112212(,()),(,())()AxfxBxfxxx，记直线AB的斜率为k.问：是否存在012(,)xxx，使()fxk成立？若存在，求0x的取值范围；若不存在，请说明理由.·7·2012湖南高考数学试卷参考答案（理科）一、选择题BCDDABAB二、填空题选做题【23】【}41{xx】【6】必做题【10】【160】【4】【3、4】【6、43211n】三、解答题17、【解析】（Ⅰ）15,20xy，()1.9EX（Ⅱ）98018、【解析】（Ⅰ）略（Ⅱ）12851519、【解析】（Ⅰ）43nan*()nN（Ⅱ）必要性易证，下证充分性：2121,()nnnnnnnnnnBqACqBCBqBAaqaaqa当1n时，由1121BqAaqa，∴21nnaqa，即{}na是公比为q的等比数列，充分性得证.20、【解析】（Ⅰ）123100020001500(),(),()200(1)TxTxTxxkxkx；其中,,200(1)xkxkx均为不超过200的正整数．（Ⅱ）123()max{(),(),()}fxTxTxTx*200(0,)1xxNk123212(),()();()()TxTxTxTxTxk↓↓,↑，所以：·8·（1）当2k时，10001500()max{,}2003fxxx，1000150044420039xxx易得(44)(45)ff，故8()(44)2211fxf；（2）当3k时，13()max{(),()}fxTxTx315001500()200(1)2003Txkxx，10001500()max{,}2003fxxx，由（1）知，8()2211fx；（3）当1k时，2000750()max{,}100fxxx，200075087210011xxx，易得7(73)(72)279ff，故78()2722911fx；综上，2k时，完成订单任务的时间最短，此时，生产A，B，C三种部件的人数分别是44，88，68.21、【解析】（Ⅰ）220yx（Ⅱ）由已知0(4,)Py，可设切线斜率为k，易知k存在且不为0.由点线距公式可得：2200721890kyky——（1）联立切线和1C方程得：202020(4)0kyyyk故010212341220(4)20(4),ykykyyyykk20012123412400[4()]6400yykkyyyykk；由（1）可得0124ykk代入得2200123412400()64006400yyyyyykk.∴当P在直线4x上运动时，四点,AB,,CD的纵坐标之积为定值6400.22、【解析】（Ⅰ）(1)1210afea；011()10lnaxfxaexaa；易得min0111()()lnfxfxaaa.令1()ln(0)gtttxta，0()ln01gttt；易得max0()()1gtgt；由题意得0()1gttt，即1a故满足题意时，a的取值集合为{1}·9·（Ⅱ）设2121()()axaxaxeexfxkaexx，易知()x↑；可得121()12121()()1axaxxexeaxxxx，212()21221()()1axaxxexeaxxxx，设0()1()100,kkFkekFkekmin0()()0FkFk0k时，()0Fk112121()(())0axexFaxxxx，221221()(())0axexFaxxxx()x是连续单调函数，由零点存在原理可知，存在唯一的012(,)xxx，使得0()0x；解方程得210211ln()axaxeexaaxx.又()x↑∴存在012(,)xxx，使()fxk成立，且0x的取值范围是212211(ln,)()axaxeexaaxx.