概率论与数理统计--课后习题及答案解析(上)

学院班级姓名学号122概率论与数理统计作业第一章随机事件及其概率1.1随机事件一、写出下列随机试验的样本空间：1．记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）．2．某篮球运动员投篮时，连续5次都命中，观察其投篮次数．3．在单位圆内任意取一点，记录它的坐标．4．一尺之棰折成三段，观察各段的长度．解：1．该小班有n个人，每个人数学考试的分数的可能取值为0，1，2，…，100，n个人分数之和的可能取值为0，1，2，…，100n，平均分数的可能取值为{,0,1,2,,100}kSknn==L.2．样本空间,7,6,5{=SL}；S中含有可数无限多个样本点.3．取一直角坐标系，则有22{(,)|1}Sxyxy=+.4．}0,0,0,1|},,{321321321=++=xxxxxxxxxS二、某射手向目标射击3次，用iA表示第i次击中目标，3,2,1=i，试用iA及其运算符表示下列事件：1．三次都击中目标；2．至少有一次击中目标；3．恰好有两次击中目标．解上述事件的表示式分别为1．三次都击中目标：321AAA；2．至少有一次击中目标：321AAAUU；3．恰好有两次击中目标：321321321AAAAAAAAAUU.三、在某城市中发行三种报纸：甲、乙、丙．用A、B、C分别表示“订阅甲报”、“订阅乙报”、“订阅丙报”，试求下列各事件．1．“只订甲报”；2．只订甲、乙两报；3．只订一种报纸；4．正好订两种报纸；5．至少订一种报纸；6．不订任何报纸．仅内部使用学院班级姓名学号123解：1.“只订甲报”=ABC；2.“只订甲、乙两报”=ABC；3.“只订一种报纸”=ABCABCABCUU；4.“正好订两种报纸”=ABCABCABCUU；5．“至少订一种报纸”=ABCUU；6．“不订任何报纸”=ABC．四、设样本空间},20|{££=xxS事件}6.18.0|{},15.0|{£=££=xxBxxA具体写出下列各事件：1．AB2．BA-3．BA-4．BAU解：1．}18.0|{£=xxAB2．}8.05.0|{££=-xxBA3．5.00|{£=-xxBA或}28.0£x4．5.00|{£=xxBAU或}26.1£x．五、袋中有15只白球5只黑球，从中有放回地取抽取四次，每次抽取一只。设iA表示“第i次取到白球”(4,3,2,1=i),B表示“至少有3次取到白球”试用文字叙述下列事件：1．iiAA41==U；2．A；3．B；4．32AAU.解：1．A：至少有一次取到白球；2．A：没有一次取到白球；3．B：最多有两次取到白球；4．32AAU：第二、第三次至少有一次取到白球.仅内部使用学院班级姓名学号1241.2随机事件的概率一、填空题：1．已知事件A、B的概率分别为6.0)(,7.0)(==BPAP，且4.0)(=ABP，则=)(BAPU；=-)(BAP；=)(BAPU；=)(BAPU；=)(BAP；=)(BAAPU．解：()()()()0.9PABPAPBPAB=+-=U()()()0.70.40.3PABPAPAB-=-=-=6.04.01)(1)()(=-=-==ÈABPABPBAP)]()([1)(1)()(ABPAPBAPBAPBAP--=-==È=1–0.3=0.7)()()(ABPBPBAP-==0.2()()()()PAABPAPABPfÈ=+-=0.92．一只箱子中共装有100件某产品，其中有8件次品，余下为正品，今从中任取出5件，则至少有2件次品的概率为．解：这是古典概型，从100件产品中任取5件，共有5100C种可能，基本事件总数为5100C，事件A表示“至少有2个次品”，事件B表示“没有一件次品”，事件C表示“恰有一件次品”，且B事件与C事件互斥，则ABC=+，所包含的基本事件数为0514892892CCCC+，故05148928925100()1()1()()110.950.05CCCCPAPAPBPCC+=-=--=-=-=二、5人在第一层进入八层楼的电梯，假如每人以相同的概率走出任一层（从第二层开始），求此5人在不同层走出的概率是多少？解：设A表示事件“5人在不同层走出”，5个人随机在7层中下，共有57种方法，基本事件总数为57，而事件A所包含的基本事件为5575CA，故55755()0.14997CAPA==三、10张卡片上各标有数字0,1，L，9.从中任取3张，求下列事件概率：A：“取出的3张中，最大标数为5”；仅内部使用学院班级姓名学号125B：“将取出的3张的标数按从小到大的顺序排列，中间的一个数字恰是5”.解：由已知得，25310()1()()12CNAPANSC===1154310()1()()6CCNBPBNSC===四、甲、乙两艘油轮驶向一个不能同时停泊两艘油轮的码头，它们都将在某日8时至20时抵达码头，甲轮卸完油要1小时，乙轮要2小时，假设毎艘油轮在8时至20时的毎一时刻抵达码头的可能性相同.1.求甲、乙两轮都不需要等候空出码头的概率；2.设A表示甲、乙同一时刻抵达码头，问A是否为不可能事件，并求)(AP.解：（1）设X、Y分别表示甲、乙两轮到达码头的时刻，则X、Y可以取区间[0,12]内的任意一个值，即îí죣££120120YX，而两轮都不需要空出码头（用A表示）的充要条件是：Y–X≥1或X–Y≥2，在平面上建立直角坐标系（如图），两轮都不需要空出码头的时间如图中阴影部分所示，这是一个几何概率问题，所以288221288100288121)(=+=AP．（2）A不是不可能事件，故P(A)=0．201898891820仅内部使用学院班级姓名学号1261.3条件概率与乘法公式一、选择题：1．设,AB为随机事件，已知111423()(|)(|)PAPBAPAB===，，，则()PABU=().（A）18（B）14（C）38（D）12解：()()()()PABPAPBPAB=+-QU()()()(|).PAPBPAPBA=+-①又()()()()(|).PABPAPBPBPAB=+-QU②由①，②式可得11()(|)342()1(|)83PAPBAPBPAB´×===所以()()()()(|)PABPAPBPAPBA=+-U1311148422=+-´=选D.2．设A、B为两个随机事件，且,1)|(=BAP0)(BP，则（）.（A）)()(APBAPU（B）)()(BPBAPU（C）)()(APBAP=U（D）)()(BPBAP=U解：由,1)|(=BAP0)(BP，可得)|(BAP()1()PABPB==,即()()PABPB=，所以，()()()()()PABPAPBPABPA=+-=U，选C.3．设A、B互为对立事件，且0)(,0)(BPAP，则下列各式中错误的是（）.（A）0)|(=ABP（B）0)|(=BAP（C）0)(=ABP（D）1)(=BAPU解：因为,AB、互为对立事件,()()0ABPABPff===故，仅内部使用学院班级姓名学号127()()()()(|)1()()()PBAPAPABPAPBAPAPAPA-====选A.二、填空题：1．已知040305().,().,().,PAPBPAB===，则(|)PBAB=U．解：PBABPBABPAB=(())(|)()UUUPBABBPABPAPBPABPAPBPAB==+-+-()()()()()()()()U060501012506070508PAPABPAPBPAB--====+-+-()()........()()()2．某人有一笔资金，他投入基金的概率为0.58，购买股票的概率为0.28，两项投资都做的概率为0.19，已知他已购买股票，再投入基金的概率为．解：设A表示“投入基金”，B表示“购买股票”，则AB表示“两项投资都做”，A|B表示“已购买股票，再投入基金”，利用条件概率的定义，得)|(BAP()0.190.6786()0.28PABPB==»三、设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中随意抽取一件，发现不是三等品，求此件产品是一等品的概率．解：设iA表示“取出的产品是i等品”，,3,2,1=i则321,,AAA两两互不相容，所求概率为11211121212(())()(|)()()()PAAAPAPAAAPAAPAPA==+UUU323.06.06.0=+=．四、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求他拨号不超过三次而接通所需电话的概率。解法1：设Ai表示事件“第i次拨号拨通电话”，i=1,2,3.设A表示事件“拨号不超过3次拨通电话”，则有112123AAAAAAA=UU,因112123,,AAAAAA两两互不相容，且11()10PA=，12211191()(|)()91010PAAPAAPA==´=，仅内部使用学院班级姓名学号1281233122111891()(|)(|)()891010PAAAPAAAPAAPA==´´=，即有1121231113()()()().10101010PAPAPAAPAAA=++=++=解法2沿用解法1的记号，知123()1(3)1()PAPPAAA=-=-拨号次都接不通31221178931(|)(|)()1891010PAAAPAAPA=-=-´´=.五、某类产品毎百件成批，出厂验收时，规定从毎批中任意挑选5件为样品，若样品中发现有废品，则整批不予出厂．今有一批产品100件，其中有6件废品，问这批产品被拒绝出厂的概率有多大？解法1：设Ai表示事件“取出的第i件为合格品”i=1,2,3,4,5，则这批产品予以出厂的事件为A1A2A3A4A5，所求事件为54321AAAAA∴)(54321AAAAAP=1–P(A1A2A3A4A5)=1–[P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(A4|A1A2A3)P(A5|A1A2A3A4)]=9690979198929993100941××××-=0.271解法2：设A表示“产品被拒绝出厂”=“任取五件产品中至少一件为废品”，利用对立事件的概率公式及古典概率公式，9456100()1()110.9290.271CPAPAC=-=-=-=六、10名学生入围知识竞赛决赛，共有20道竞赛题，其中数学、英语、历史学科分别为4，6，10道题，每人随机抽取2道题，求：1．3号学生抽到英语题的概率．2．3号学生抽到2道英语题，5号学生抽到一道英语题与一道历史题的概率．解：设A表示事件“3号学生抽到英语题”，B表示事件“3号学生抽到2道英语题”，C表示事件“5号学生抽到一道英语题与一道历史题”，1.2116614220()0.5211CCCPAC+=»另解：214220()1()10.5211CPAPAC=-=-»；2.2116410222018()()(|)0.021CCCPBCPBPCBCC==×=；仅内部使用学院班级姓名学号129另解：1126105222018()()(|)0.021CCCPBCPCPBCCC==×=仅内部使用学院班级姓名学号1301.4全概率公式和贝叶斯公式一、某射击小组有20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手7人，四级射手1人，各级射手能通过选拔进入比赛的概率依次为0.9,0.7,0.5,0.2．求任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率．解：设A为所求的事件，iB表示“所选射手为i级射手”，1234(,,,)i=，则iB1234(,,,)i=为一完备事件组.而1234487120202020(),(),(),()PBPBPBPB====因此，41487109070502064520202020()()(|).....iiiPAPBPAB===´+´+´+´=å二、袋中装有12个乒乓球，9个是新的，3个是旧的，第一次比赛时任取3个使用，比赛后仍放回袋中，第二次比赛时再从袋中任取3个球：1．求第二次比赛取出的都是新球概率2．已知第二次取出的球都是新的，求第一次取到的都是新球的概率．解：是两次实验类型，设事件B=“第二次比赛取