《复变函数与积分变换复旦大学修订版》全部-习题答案

复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）1/39复变函数与积分变换（修订版）主编：马柏林（复旦大学出版社）——课后习题答案复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）2/39习题一1.用复数的代数形式a+ib表示下列复数π/43513;;(2)(43);711iieiiiii.①解i4πππ2222ecosisinii442222②解：35i17i35i1613i7i11+7i17i2525③解：2i43i834i6i510i④解：31i1335=iii1i2222.求下列各复数的实部和虚部(z=x+iy)(zaaza);3331313;;;.22niizi①：∵设z=x+iy则22iiiiiixayxayxyaxayzazaxyaxayxay∴22222Rezaxayzaxay,222Imzaxyzaxay．②解：设z=x+iy∵323222222223223iii2ii22i33izxyxyxyxyxyxyxxyxyyxyxyxxyxyy∴332Re3zxxy,323Im3zxyy．③解：∵332321i31i3113133133288180i18∴1i3Re12,1i3Im02．④解：∵2332313133133i1i328180i18∴1i3Re12,1i3Im02．⑤解：∵1,2i211i,knknkknk．∴当2nk时，Rei1kn，Imi0n；当21nk时，Rei0n，Imi1kn．3.求下列复数的模和共轭复数12;3;(2)(32);.2iiii①解：2i415．2i2i②解：3333③解：2i32i2i32i51365．2i32i2i32i2i32i47i④解：1i1i22221i11i222i4、证明：当且仅当zz时，z才是实数．证明：若zz，设izxy，复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）3/39则有iixyxy，从而有2i0y，即y=0∴z=x为实数．若z=x，x∈，则zxx．∴zz．命题成立．5、设z,w∈，证明：zwzw≤证明∵2zwzwzwzwzw22222Rezzzwwzwwzzwzwwzwzw2222222zwzwzwzwzw≤∴zwzw≤．6、设z,w∈，证明下列不等式．2222Rezwzzww2222Rezwzzww22222zwzwzw并给出最后一个等式的几何解释．证明：2222Rezwzzww在上面第五题的证明已经证明了．下面证2222Rezwzzww．∵222zwzwzwzwzwzzwwzw222Rezzww．从而得证．∴22222zwzwzw几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和．7.将下列复数表示为指数形式或三角形式3352π2π;;1;8π(13);.cossin7199iiiii①解：35i17i35i7i117i17i3816i198i17e50255i其中8πarctan19．②解：eii其中π2．π2eii③解：ππii1ee④解：28π13i16ππ3.∴2πi38π13i16πe⑤解：32π2πcosisin99解：∵32π2πcosisin199．∴322πiπ.3i932π2πcosisin1ee998.计算：(1)i的三次根；(2)-1的三次根；(3)33i的平方根.⑴i的三次根．解：133ππ2π2πππ22icossincosisin0,1,22233kkik∴1ππ31cosisini6622z．25531cosπisinπi6622z39931cosπisinπi6622z⑵-1的三次根解：1332π+π2ππ1cosπisinπcosisin0,1,233kkk复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）4/39∴1ππ13cosisini3322z2cosπisinπ1z35513cosπisinπi3322z⑶33i的平方根．解：πi42233i=6i6e22∴1π12i44ππ2π2π4433i6e6cosisin0,122kkk∴π11i8441ππ6cosisin6e88z911πi8442996cosπisinπ6e88z．9.设2πe,2inzn.证明：110nzz证明：∵2πienz∴1nz，即10nz．∴1110nzzz又∵n≥2．∴z≠1从而211+0nzzz11.设是圆周{:},0,e.izrracrzc令:Im0zaLzb,其中eib.求出L在a切于圆周的关于的充分必要条件.解：如图所示．因为L={z:Imzab=0}表示通过点a且方向与b同向的直线，要使得直线在a处与圆相切，则CA⊥L．过C作直线平行L，则有∠BCD=β，∠ACB=90°故α-β=90°所以L在α处切于圆周T的关于β的充要条件是α-β=90°．12.指出下列各式中点z所确定的平面图形，并作出草图.(1)argπ;(2);1(3)1|2;(4)ReIm;(5)Im12.zzzzizzzz且解：(1)、argz=π．表示负实轴．(2)、|z-1|=|z|．表示直线z=12．(3)、1|z+i|2解：表示以-i为圆心，以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。（4）、Re(z)Imz．复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）5/39解：表示直线y=x的右下半平面5、Imz1，且|z|2．解：表示圆盘内的一弓形域。习题二1.求映射1wzz下圆周||2z的像.解：设i,izxywuv则2222221iiiii()ixyxyuvxyxyxyxyxyxyxy因为224xy,所以53i44uivxy所以54ux,34vy5344,uvxy所以2253442uv即222253221uv，表示椭圆.2.在映射2wz下，下列z平面上的图形映射为w平面上的什么图形，设eiw或iwuv.（1）π02,4r；（2）π02,04r;(3)x=a,y=b.(a,b为实数)解：设222i()2iwuvxiyxyxy所以22,2.uxyvxy(1)记eiw，则π02,4r映射成w平面内虚轴上从O到4i的一段，即π04,.2(2)记eiw，则π0,024r映成了w平面上扇形域，即π04,0.2(3)记wuiv，则将直线x=a映成了22,2.uayvay即2224().vaau是以原点为焦点，张口向左的抛物线将y=b映成了22,2.uxbvxb即2224()vbbu是以原点为焦点，张口向右抛物线如图所示.复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）6/393.求下列极限.(1)21lim1zz;解：令1zt,则,0zt.于是22201limlim011zttzt.(2)0Re()limzzz;解：设z=x+yi，则Re()izxzxy有000Re()1limlimi1izxykxzxzxkxk显然当取不同的值时f(z)的极限不同所以极限不存在.（3）2lim(1)zizizz；解：2lim(1)zizizz=11limlim()()()2zizizizizziziz.（4）2122lim1zzzzzz.解：因为222(2)(1)2,1(1)(1)1zzzzzzzzzzz所以2112223limlim112zzzzzzzzz.4.讨论下列函数的连续性：(1)22,0,()0,0;xyzxyfzz解：因为220(,)(0,0)lim()limzxyxyfzxy,若令y=kx,则222(,)(0,0)lim1xyxykxyk,因为当k取不同值时，f(z)的取值不同，所以f(z)在z=0处极限不存在.从而f(z)在z=0处不连续，除z=0外连续.(2)342,0,()0,0.xyzfzxyz解：因为33422022xyxxyxyxy,所以342(,)(0,0)lim0(0)xyxyfxy所以f(z)在整个z平面连续.5.下列函数在何处求导？并求其导数.(1)1()(1)nfzz(n为正整数)；解：因为n为正整数，所以f(z)在整个z平面上可导.1()(1)nfznz.(2)22()(1)(1)zfzzz.解：因为f(z)为有理函数，所以f(z)在2(1)(1)0zz处不可导.从而f(z)除1,izz外可导.2222232222(2)(1)(1)(1)[(1)(1)]()(1)(1)2543(1)(1)zzzzzzfzzzzzzzz(3)38()57zfzz.复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）7/39解：f(z)除7=5z外处处可导，且223(57)(38)561()(57)(57)zzfzzz.(4)2222()ixyxyfzxyxy.解：因为2222222i()ii(i)(i)(1i)(1i)1i()xyxyxyxyxyzfzxyxyxyzz.所以f(z)除z=0外处处可导，且2(1i)()fzz.6.试判断下列函数的可导性与解析性.(1)22()ifzxyxy;解：22(,),(,)uxyxyvxyxy在全平面上可微.22,2,2,yuvvyxyxyxxyxy所以要使得uvxy，uvyx,只有当z=0时,从而f(z)在z=0处可导，在全平面上不解析.(2)22()ifzxy.解：22(,),(,)uxyxvxyy在全平面上可微.2,