圆锥曲线题型总结1

1圆锥曲线题型一．曲线方程1定义法（1）(2011年高考广东卷第19题（理）)设圆C与两圆2222(5)4,(5)4xyxy中的一个内切，另一个外切。求圆C的圆心轨迹L的方程;解：（1）两圆半径都为2，设圆C的半径为R，两圆心为1(5,0)F、2(5,0)F，由题意得12||2||2RCFCF或21||2||2RCFCF，1212||||||425||CFCFFF，可知圆心C的轨迹是以12,FF为焦点的双曲线，设方程为22221xyab，则22224,2,5,1,1aacbcab，所以轨迹L的方程为2214xy．2待定系数法（2）已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为453和253，过P作长轴的垂线恰好经过椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程23方程法（3）(2011年高考广东卷第21小题（理）)在平面直角坐标系xOy中，直线:2lxx交轴于点A，设P是l上一点，M是线段OP的垂直平分线上的一点，且满足.MPOAOP当点P在l上与动时，求点M的轨迹E的方程；解：（1）如图1，设MQ为线段OP的垂直平分线，交OP于点Q，,,||||.MPQAOPMPlMOMP且因此22|2|,xyx即24(1)(1).yxx①另一种情况，见图2（即点M和A位于直线OP的同侧）。MQ为线段OP的垂直平分线，.MPQMOQ又,.MPQAOPMOQAOP因此M在x轴上，此时，记M的坐标为(,0).x为分析(,0)Mxx中的变化范围，设(2,)Pa为l上任意点().aR由||||MOMP（即22||(2)xxa）得，2111.4xa故(,0)Mx的轨迹方程为0,1yx②综合①和②得，点M轨迹E的方程为24(1),1,0,1.xxyx3二离心率1找,,abc等量关系，求出e1若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等级差数列，则该椭圆的离心率是（）A45B35C25D152已知椭圆短轴上两个顶点分别为1B，2B，焦点为1F，2F，若四边形1122BFBF是正方形，则这个椭圆的离心率e等于（）A22B12C32D332利用椭圆焦点三角形面积2tan2Sb3若椭圆22221xyab（0ab）上存在点P，使得120PFPF，则椭圆离心率的取值范围是（）3利用双曲线焦半径最小值ca4已知双曲线22221xyab（0,0ab）的左、右焦点分别为12(,0),(,0).FcFc若双曲线存在点P使1221sinsinPFFaPFFc，则双曲线的离心率的取值范围是-----4三焦点三角形（边长与周长，角度与面积）方法：余弦定理，基本不等式，122PFPFa1（2013内蒙古高三摸底考试）设双曲线2218yx的两个焦点为1F，2F，P是双曲线上的一点，且12:3:4PFPF，则12PFF的面积等于（）A103B83C85D1652（06年四川）如图把椭圆22221xyab的长轴分成8等分，过每个点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于127,,,PPP七个点。F是椭圆的一个焦点，则127PFPFPF3（2000全国）椭圆22194xy的焦点为12FF,，点P为其上的动点，当12FPF为钝角时，点P横坐标的取值范围是4P是椭圆22154xy上的点，12FF,是椭圆的焦点，若12FPF6，则12PFF的面积等于5四双曲线的渐近线1（2013福建省三明市高中毕业班质检）过双曲线22221xyab（0,0ab）的左焦点F作圆O：222xya的两条切线，切点为A，B，双曲线左顶点为C，若0120ACB，则双曲线的渐近线方程为2已知双曲线22219yxa的两条渐近线与以椭圆221259xy的左焦点为圆心、165为半径的圆相切，则渐近线方程为五直线与圆锥曲线（一）直线斜率问题112,AA是椭圆22143xy的左右顶点，动点P在椭圆上，直线2PA的斜率范围为2,1，求直线1PA的范围62（2010山东理）如图，已知椭圆)0(12222babyax的离心率为22，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点21,FF为顶点的三角形的周长为)12(4，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于项点的任一点，直线1PF和2PF与椭圆的交点分别为A、B和C、D.（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线1PF、2PF的斜率分别为1k、2k，证明：121kk；（Ⅲ）是否存在常数，使得CDABCDAB恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.本小题主要考查椭圆、双曲线的基本概念和基本性质，考查直线和椭圆的位置关系，考查坐标第、定值和存在性问题，考查数形结合思想和探求问题的能力。解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，由题意知2,224(21)2caca所以22,2ac又222abc，因此2.b故椭圆的标准方程为22184xy由题意设等轴双曲线的标准方程为22221(0)xymmm，因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以2m因此双曲线的标准方程为22144xy（Ⅱ）设112200(,),(,),(,)AxyBxyPxy则001200,22yykkxx7因为点P在双曲线224xy上，所以22004.xy因此0001220001224yyykkxxx即121.kk（Ⅲ）由于PF1的方程为1(2)ykx，将其代入椭圆方程得2222111(21)8880kxkxk由违达定理得221112122211888,2121kkxxxxkk所以2211212||1()4ABkxxxx22211122118881()42121kkkkk212114221kk同理可得22221||42.21kCDk则221222122121111()||||1142kkABCDkk又121kk所以22221111222111212121212111232()()1||||88111421kkkkABCDkkkk故32||||||||8ABCDABCD因此，存在328，使||||||||ABCDABCD恒成立。8（二）直线与圆锥曲线相离椭圆221259xy上点到直线23120xy的最短距离（三）直线与圆锥曲线相切(2012年高考广东卷第20小题（文科）)（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22122:1(0)xyCabab的左焦点为1(1,0)F，且点(0,1)P在1C上．（1）求椭圆1C的方程；(2)设直线l与椭圆1C和抛物线22:4Cyx相切，求直线l的方程．解：(1):依题意：c=1,…………………………………………………………………………1分则：122ba,…………………………………………………………………………2分设椭圆方程为：112222bybx………………………………………………………………3分将)1,0(P点坐标代入，解得：12b…………………………………………………………4分所以211122ba故椭圆方程为：1222yx…………………………………………………………………………5分（2）设所求切线的方程为：mkxy……………………………………………6分1222yxmkxy消除y0)22(4)12(222mkmxxk9)22)(12(4)4(2221mkkm………7分化简得：1222km①………………………………………………………8分同理：联立直线方程和抛物线的方程得：xymkxy42消除y得：0)42(222mxkmxk04)42(2222mkkm……………………………………………………………………9分化简得：1km②…………………………………………………………………………10分将②代入①解得：01224kk解得：22,221(,2122kkkk或者舍去），故21,21mkmk时，当时，当………………………………………………………12分故切线方程为：222222xyxy或者…………………………………………………14分2（2012辽宁文）已知P,Q为抛物线x2=2y上两点，点P,Q的横坐标分别为4，2，过P,Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为A．1B．3C．4D．8103（2013辽理）如图，抛物线2212002:4,:20.,CxyCxpypMxyC点在抛物线上，1MC过作0,,.12ABMOABOx的切线，切点为为原点时，重合于当时，1-.2MA切线的斜率为（I）P求的值；（II）2MCABN当在上运动时，求线段中点的轨迹方程,,.ABOO重合于时中点为11（四）直线与圆锥曲线相交（相交弦，韦达定理）1设12,FF分别是椭圆2222:1(0)xyEabab的左、右焦点，过1F斜率为1的直线i与E相交于,AB两点，且22,,AFABBF成等差数列。（1）求E的离心率；（2）设点(0,1)p满足PAPB，求E的方程解：（I）由椭圆定义知224AFBFABa，又222ABAFBF，得43ABal的方程为yxc，其中22cab。设11,Axy，22,Bxy，则A、B两点坐标满足方程组22221yxcxyab化简的222222220abxacxacb则2222121222222,acbacxxxxabab因为直线AB斜率为1，所以AB2211212224xxxxxx得22244,3abaab故222ab所以E的离心率2222cabeaa（II）设AB的中点为00,Nxy，由（I）知212022223xxacxcab，003cyxc。由PAPB，得1PNk，12即0011yx得3c，从而32,3ab故椭圆E的方程为221189xy。2（2013年山西省山大附中高三9月月考）1122(,),(,)PxyQxy是抛物线22(0)ypxp上相异两点，Q，P到y轴的距离的积为4，且0OPOQ。（1）求抛物线的标准方程（2）过Q的直线与抛物线的另一交点为R，与x轴的交点为T，且Q为线段RT的中点，试求弦PR长度的最小值13（五）焦点弦1（2014江西师大附中高三开学考试）抛物线22(0)ypxp的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足0120AFB，过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则MNAB的最大值为142（2011年江西文）已知过抛物线022ppxy的焦点，斜率为22的直线交抛物线于12,,Axy22,Bxy（12xx）两点，且9AB．（1）求该抛物线的方程；（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OBOAOC，求的值．解析：（1）直线AB的方程是,05x4px2y),2(22222ppxpxy联立，从而有与所以：4521pxx，由抛物线定义得：921pxxAB，所以p=4，抛物线方程为：xy82（2）、由p=4，,05x422ppx化简得0452xx，从而,4,121xx24,2221yy,从而A:(1,22),B(4,24)设)24,4()22,1()(3,3yxOC=)2422,41(，又3238xy，即212228（41），即14)12(2