计算定积分的技巧

南京晓庄学院14届本科毕业论文分类号：学校代码：11460学号：10220806南京晓庄学院本科生毕业论文题目：计算定积分的技巧Thedefiniteintegralcomputationtechniques所在院：教师教育学院姓名：陈淼指导教师：后六生研究起止日期：二○一三年十一月至二○一四年五月南京晓庄学院14届本科毕业论文1学位论文独创性声明本人郑重声明：1.坚持以“求实、创新”的科学精神从事研究工作。2.本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果。3.本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。4.本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已经发表或撰写过的研究成果。5.其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示了谢意。作者签名：日期：2014年4月20日南京晓庄学院14届本科毕业论文2计算定积分的技巧摘要：牛顿-莱布尼兹公式是计算定积分的基本方法，这种方法的关键是找到被积函数的原函数，当遇到一些被积函数在特殊区间上的定积分运算时，运用牛顿-莱布尼兹公式求解定积分则稍显复杂，此时我们需要运用某些技巧使定积分的计算量减少，从而提高效率以及正确率。本文通过实例探讨了计算定积分时几个技巧，拓宽解题思路，减少计算量。关键词：定积分;计算方法;技巧Abstract：NewtonLeibnizformulaisthebasiccomputationalmethodofdefiniteintegral,thekeyofthismethodistofindtheoriginalfunctionoftheintegrand,whenmeetssomedefiniteintegralintegrandinthespecialontheinterval,usingtheNewton-Leibnizformulaforsolvingdefiniteintegralisslightlycomplicated,thistimeweneedtousesometechniquestoreducetheamountofcalculationofdefiniteintegral,soastoimprovetheefficiencyandaccuracy.Thispaperdiscussesthecalculatingoftheintegralseveralskills,broadenthethinking,reducetheamountofcalculation.Keywords:Thedefiniteintegral;calculationmethod;skills.南京晓庄学院14届本科毕业论文3目录摘要...................................................2一、利用函数的奇偶性计算定积分..............................4（一）函数奇偶性定理......................................4（二）例题................................................51.偶函数例题...........................................52.奇、偶函数混合例题...................................6二、利用函数的周期性计算定积分..............................6（一）函数周期性定理.....................................7（二）例题...............................................7三、利用换元法计算定积分....................................7（一）利用换元法的定理....................................8（二）例题................................................8四、利用级数计算定积分......................................9（一）级数定理............................................9（二）例题...............................................10五、结论..................................................11参考文献...................................................12致谢.......................................................12南京晓庄学院14届本科毕业论文4计算定积分的技巧定积分是为了估计平面上的封闭曲线面积而形成的。为了计算区域的面积，在实践中，人们逐渐认识到这种方法的限制性，于是想到了分割求和取极限。定积分不仅是计算区域面积的手段，也是许多实际问题的计算工具，比如物理学的变力做功，立体体积等等。因此，不管是理论还是实践，定积分都具有广泛意义。长此以往，定积分也就成为了数学中的一个重要成员。定积分是在微积分的基础上，为学习概率论与数理统计课程，一个复杂的变量和函数的重要工具。定积分是作为积分学的基础，对我们学习概率统计、复变函数等课程也提供了很大的帮助。由于定积分的概念比较抽象，定理较多较杂，所以给我们加大了计算定积分的难度。牛顿-莱布尼兹公式远离了定积分一般的求极限和，使定积分的计算更加趋于完美和简便。公式给出了计算连续函数f(x)在[a,b]上求定积分的方法，即baaFbFdxxf)()()(，其中F(x)是f(x)的一个原函数。但意思不是说定积分的计算仅仅是原函数的运算与牛顿-莱布尼兹公式的轻易组合。除了一些基本的方法之外，定积分的计算也有特殊的方法和技巧。在本文中的案例分析，探讨了几种计算技巧，发展解决问题的思路，从而提高我们的计算能力。一、利用函数的奇偶性计算定积分（一）函数奇偶性定理：设f(x)在关于原点的对称区间aa,-上连续，则有aaadxxfxfdxxf0)]()([)(；1.若f(x)为奇函数，则aadxxf0)(；2.若f(x)为偶函数，则aaadxxfdxxf0)(2)(。证明：采用区间积分的可加性得aaaaadxxfdxxfdxxf0)()()(对于积分0)(adxxf，令t=-x得00)()(aadttfdxxf则式可化为aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(1.如果f(x)是奇函数，那么对于x[-a,a],都有f(-x)=-f(x),此时式可化为aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(南京晓庄学院14届本科毕业论文5=aadxxfdxxf00)()(=aadxxfdxxf00)()(=02.如果f(x)是偶函数，那么对于x[-a,a],都有f(-x)=f(x),此时式可化为aaaadxxfdxxfdxxf00)()-()(=aadxxfdxxf00)()(=2adxxf0)(综上所得，结论成立。（二）例题1.求dxxxx22sin2coscos的值。解xxx22sin2coscos是偶函数22]sinarctansin[arctan2]sin2coscossin2coscos[2sin2coscos2sin2coscos2202022222022-22xdxxxxdxxxxdxxxxdxxxx2.求dxxxx1122112的值。解思路：因为积分区间[-1,1]关于原点对称，所以我们应当考虑的第一件事是被积函数的奇偶性。xxxdxxxdxxxx1121122112211112112南京晓庄学院14届本科毕业论文6由于22112xx是偶函数，而211xx所以有011112dxxx于是dxxdxdxxxdxxxdxxxxx1010210)11(21022112214441141122由定积分的几何意义知41102dxx，所以4444112101122dxdxxxx3.求dxxxxx2225242cos的值解I=dxxxxdxxx2225222242cos422542cosxxx是奇函数，2242xx是偶函数I=2dxxxxdxxx202222022422042=28422202dxx二、利用函数的周期性计算定积分如果一个被积函数是一个周期函数的话，我们应注意将积分区间进行分割，分割成几段类似的区间，这样我们只需要计算一个区间的定积分就可以得到整个区间的定积分的值。这样可以简化计算，减少计算量。（一）函数周期性定理：如果f(x)是一周期为T（T0）的连续函数，a为任意实数，则必有1.TTTTTaadxxfdxxfdxxf022)()()(，即f(x)在任意长度等于T的区间上，定积分值相等，和区间的两端点位置没有关系。2.nTTdxxfndxxf00,)()(（n为整数）3.000cossinsinxdxcoxxdxxdxxdx，正弦函数、余弦函数在周期区间上的定积分的值为0.4.TTTxdxxdx020coscos，即余弦函数在半周期的区间上，定积分的值等于0.南京晓庄学院14届本科毕业论文7（二）例题例1求定积分02222cossin1dxxbxaI解：由题意得：被积函数是一个以为周期的偶函数abxbaabxbaabxdxabxddxxbxadxxbxaI0)]tanarctan(2[])tan(1[)(tan2tantan2cossin1cossin1202022022222222202222例2设)(x表示距离x最近整数的距离，计算dxx1000)(解：由121,1210,)(xxxxx，且)(x为周期函数，周期为1，则25])1([100)(100)(121121210101000dxxdxxdxxdxxdxx三、利用换元法计算定积分换元积分法是通过引入另一个变量来简化积分运算的一种方法。一般在求解过程中，我们可以根据题意，适当变换积分的上下限。该方法可以简化积分运算过程和提高准确率。（一）定积分的换元法定理：设f(x)在[a,b]上连续，x=)t（满足条件：(1)当t在[a,b]上变化时，x=)(t在[a,b]上也南京晓庄学院14届本科毕业论文8变化；（2）)('t在],[内符号保持不变；（3）,)(,)(bbaa而且;)(bta（4）)(t在[a,b]上具有连续导数，就有badtttfdxxf)(')]([)(。（二）例题例1求501321dxxx的值。（]5,0[x）解：令tx13，则当x=0时，t=1;当x=5时，t=4.原式=412)1(3232dtttt=4122322dtttt=41)2)(12(2dtttt=414121541252dtttdt=41)]2ln(54)12ln(51[tt=112ln51例2求301arcsindxxx的值。解：令tx11arcsin，则xtxxtxxt11cos,1sin,1sin22则tx2tan