幂级数求和函数方法概括与总结-幂级数总结

1常见幂级数求和函数方法综述引言级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦，他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论全面发展起来。中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。幂级数是一类最简单的函数项级数，在幂级数理论中，对给定幂级数分析其收敛性，求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。但很多人往往对这一内容感到困难。产生这一问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少，仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。事实上，求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的，一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解，因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。一、幂级数的基本概念（一）、幂级数的定义[1]1、设()(1,2,3)nuxn是定义在数集E上的一个函数列，则称12()()(),nuxuxuxxE为定义在E上的函数项级数，简记为1()nnux。2、具有下列形式的函数项级数200102000()()()()nnnnnaxxaaxxaxxaxx2称为在点0x处的幂级数。特别地，在00()nnnaxx中，令0xxx，即上述形式化为20120nnnnnaxaaxaxax称为在0点的幂级数。（二）、幂级数的和函数[2]若对幂级数中的每一个x都有230123()aaxaxaxsx，则称()sx为幂级数的和函数。幂级数的部分和记为230123()nnnsxaaxaxaxax且部分和()nsx有如下性质lim()()nnsxsx二、幂级数求和函数的几种方法以下所要介绍的几种方法旨在分析不同类型的幂级数该如何进行求和，并且帮助大家掌握解题技巧。（一）、定义法[3]对于幂级数0nnnax，若前n项和函数列{()}nsx有极限，即lim()nnsx存在，则此幂级数收敛，且0()limnnnnnaxsx。例1：求幂级数0nnax的和函数，其中0a，1x。解：当1x时()lim()lim()lim11nnnnnnaaxasxsxaaxaxxx（二）、分项组合法我们通过观察可以发现有些幂级数具有某些明显的特征，比如可以将已知级数的通3项拆项组合，再计算所拆得各项的和函数，从而求得该级数的和函数。例2：求30()(1)!nnnsxxn的和函数。解:易知该级数的收敛域为(,)当0x时，()0sx当0x时2(1)(1)11()2(1)!nnxnnnnsxxn21222212(2)!!(1)!nnnnnnxxxxxnnxn211(1)2xexxxx00x所以()sx211(1)2xexxxx0x（三）、逐项求导与逐项积分法若幂级数的通项系数是自然数或相邻的自然数相乘的形式，可考虑用“先积分，再求导”的做法；若幂级数的通项系数是自然数的倒数或相邻的自然数乘积的倒数，可考虑用“先求导，再积分”的做法。定理[4]：设幂级数0nnnax在(,)RR内的和函数为()sx，则1、()sx在(,)RR内每一点都是可导的，且有逐项求导公式：'''1001()()()nnnnnnnnnsxaxaxnax求导后的幂级数与原幂级数有相同的收敛半径R。2、()sx在(,)RR内可以积分，且有逐项积分公式：1000000()t()1xxxnnnnnnnnnastdatdtatdtxn4其中x是(,)RR内任意一点，积分后的幂级数与原幂级数有相同的收敛半径R。在函数项级数一致收敛的前提下，对其进行逐项微分或积分。通过逐项求导或逐项积分将给定的幂级数化为已知和函数的级数形式，从而得到新级数的和函数；将得到的和函数做与之前相反的分析运算，便得到所求幂级数的和函数。例3：求幂级数1(1)(2)nnnnnx的和函数()sx。解：易知该级数的收敛域为(1,1)，在任意区间上可以逐项积分11()(1)(2)nnsxxnnnx令111()(1)(2)nnsxnnnx2101()()(1)(2)xnnsxstdtnnx13201()()(2)xnnsxstdtnx324301()()1xnnxsxstdtxx所以323''34232()()()1(1)xxxsxsxxx23'233662()()(1)xxxsxsxx'1246()()(1)sxsxx从而可得所求和函数416()(1)()xxxsxxs(11)x例4：求幂级数21(1)(21)nnnxnn的和函数()sx。5解：易知收敛区间为[1,1]当0x时，()0sx当0x时设211(1)()()22(21)nnnxxyxsxnn2'1(1)()2nnnxyxn2121''()(1)1nnnxyxxx得出2021'()ln(1)12xtyxdtxt201()ln(1)2xyxtdt21ln(1)arctan2xxxx22arctan()2ln(1)xsxxx00x综上所述()sx22arctan2ln(1)xxx0x（四）、代数方程法此种方法目的在于建立以所求幂级数的和为变量的代数方程，并解之，从而得到原幂级数的和函数。例5：设有等差数列：,,2,3,,(1),aabababanb等比数列：231,,,,,,nccxcxcxcx则各项为等差数列、等比数列对应项的乘积6所构成的级数为231()(2)(3),,[(1)],nacabcxabcxabcxanbcx求其和函数()sx,其中,,abc为常数。解：易知此级数的收敛域为(1,1)1(){[(1)]}nnxsxanbcx23(1)()xsxacbcxbcxbcx1bcxacx所以2()1(1)acbcxsxxx例6：求幂级数0()nmnHnx的和函数，其中()mHn为n的m次多项式。解：记0()()nmmnsxHnx10()()nmmnxsxHnx则10(1)()(0)[(1)()]nmmmmnxsxHHnHnx10(0)()nmmnHxHnx①其中1()mHn为n的1m次多项式再使用一次以上的运算方法可得110(1)()(0)()nmmmnxxsxxHxHnx②①-②得211100(1)()(0)(1)[()()]nnmmmmnnxsxHxxHnxHnx11110(0)(1){(0)[(1)()]}nmmmmnHxxHHnHnx120(0)(1)[(0)()]nmmmnHxxHxHnx其中2()mHn为n的2m次多项式反复使用以上的方法可以得到12312(1)()(1)(0)(1)(0)(1)(0)mmmmmmmmxsxxHxxHxxH721211(1)(0)[(0)]mmnnxxHxHx这样就可以求得()msx。（五）、微分方程法在幂级数中，有一类含有阶乘运算的幂级数，这种幂级数的和函数的求法，在现行高等数学教材中涉及的不多，因此成为很多同学学习的一个盲点。此方法将通过实例介绍这类幂级数和函数的求法，把幂级数求和问题划归为求解微分方程的问题，也就是把幂级数的和函数微分后，再与原来幂级数作某种运算，得到一个含有幂级数和函数以及和函数导数的关系式，即微分方程。最后求解此微分方程即得和函数。例7：求幂级数0()!nnfnxn在下列情况下的和函数()sx：①()(1)fnnd，即公差为d的等差数列，其中d为常数；②()nfnq，即公比为q的等比数列，其中q为常数。解：①易知该级数的收敛域为(,)0(1)()!nnndsxxn则'11(1)()(1)!nnndsxxn'23()()2!3!ddsxsxddxxxxde这是一个满足初始条件(0)sd的一阶常系数的线性微分方程，解此微分方程得()(1)xsxdex②易知该级数的收敛域为(,)0()!nnnqsxxn8'11()(1)!nnnqsxxn'22()()(1)(1)(1)sxsxqqqxqqx(1)qxqe这是一个满足初始条件(0)1s的一阶常系数的线性微分方程，解此微分方程得()qxsxe（六）、柯西方法[5]如果级数0nna与0nnb都绝对收敛，作这两个级数的乘积0nnc，其中0110nnnncababab，则0nnc也绝对收敛，且必有000nnnnnncab。例8:求幂级数的和函数1111()(1),123nnsxxxn。解：令,0,1,2,,1nnaxnx则001(1)1nnnnaxxx为绝对收敛级数再令0nnb为ln(1)x的泰勒级数：23ln(1)(0),123nxxxxxxn此级数在(1,1)内是绝对收敛的。从而11(1)1nnnnnxxcxxxxonn111(1)23nxn所以000ln(1)()1nnnnnnxsxcabx9（七）、差分算子求和法此方法适用于通项系数是以n为自变量的有限次多项式的幂级数求和问题。若()fx为任意实函数，为差分算子，则定义函数()fx的一阶差分为()(1)()fxfxfxn阶差分为1()(()),2,3,nnfxfxn定理[6]：设()px为m次多项式，则当1x时0()nnpnx收敛，而且其和函数10()(0)(1)kmkkkxsxpx定理证明：当1x时，幂级数0()nnpnx收敛，现在定义单位算子I及位移算子E分别为()()Ifxfx()(1)Efxfx则()()()fxEfxIfx即EI由于()(0)()(0)nnpnEpIp0(1)(1)(0)!nkknnnkpk0(1)(1)(0)!mkknnnkpk所以000(1)(1)()()(0)!mnknknnnnnksxpnxpxk00(1)(1)(0)!mknnknnnkpxk0(0)[1223(1)]!kmkkpxkkk20(0)(1)!kkmkkkpdxxxkdx0(0)1()!1kkmkkkpdxkxdx1010(0)!!(1)