精选最新-人教版-九年级-24.1圆的有关性质(共44张PPT)

圆的有关性质1点和圆的位置关系点在圆外⇔________点在圆上⇔________如果圆的半径是r，点到圆心的距离是d，那么点在圆内⇔________drd＝rdr知识梳理确定圆的条件不在同一条直线上的三个点确定一个圆三角形的外心三角形外接圆的圆心是三角形三条边的________________的交点，叫做这个三角形的外心防错提醒锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在直角三角形的斜边上，钝角三角形的外心在三角形的外部2确定圆的条件垂直平分线3圆的对称性圆既是轴对称图形，又是______对称图形，圆还具有旋转不变性．中心4垂径定理及其推论垂径定理垂直于弦的直径__________，并且平分弦所对的两条弧平分弦推论(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧总结简言之，对于①过圆心；②垂直弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧中的任意两条结论成立，那么其他的结论也成立定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的______相等，所对的______也相等推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角﹑两条弧或两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等5圆心角、弧、弦之间的关系弧弦圆周角定义顶点在圆上，并且两边都与圆相交，这样的角叫做圆周角圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的________推论1同弧或等弧所对的圆周角______推论2半圆(或直径)所对的圆周角是______，90°的圆周角所对的弦是______6圆周角一半相等直角直径圆内接多边形如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆圆内接四边形的性质圆内接四边形的对角____________7圆内接多边形互补定义：不直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法．步骤：(1)假设命题的结论不正确，即提出与命题结论相反的假设；(2)从假设的结论出发，推出矛盾；(3)由矛盾的结果说明假设不成立，从而肯定原命题的结论正确．8反证法探究1确定圆的条件命题角度：1．点和圆的位置关系与数量关系的互逆判断；2．求三角形的外接圆的半径或确定三角形的外心．精选例题例1[2015·盐城]如图26－5，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A，B，C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是________．图26－5解析连接BD，在Rt△ABD中，AB＝4，AD＝3，则BD＝32＋42＝5.由题意可知3r5.故答案为3r5.探究2垂径定理及其推论命题角度：1．圆的半径(或直径)、弦、弦心距已知其中的两个，求另一个；2．证明弧相等或弦相等．例2[2014·北京]如图26－6，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，若∠A＝22.5°，OC＝4，则CD的长为()图26－6A．22B．4C．42D．8解析∵∠A＝22.5°，∴∠BOC＝2∠A＝45°.∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，∴CE＝DE，△OCE为等腰直角三角形，∴CE＝22OC＝22，∴CD＝2CE＝42.故选C.方法模型垂径定理及其推论是证明两线段相等、两条弧相等及两直线垂直的重要依据之一，在有关弦长、弦心距的计算中常常需要作垂直于弦的线段，构造直角三角形．式题[2015·六盘水]赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙．如图26－7，若桥跨度AB约为40米，主拱高CD约为10米，则桥弧AB所在圆的半径R＝________米．图26－7解析根据垂径定理，得AD＝12AB＝20米．在Rt△AOD中，根据勾股定理，得R2＝202＋(R－10)2，解得R＝25.探究3圆心角、弧、弦之间的关系命题角度：在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系互相转化求解或证明．例3[2014·贵港]如图26－8，AB是⊙O的直径，BC︵＝CD︵＝DE︵，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是()图26－8A．51°B．56°C．68°D．78°解析∵BC︵＝CD︵＝DE︵，∠COD＝34°，∴∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝34°，∴∠AOE＝180°－∠EOD－∠COD－∠BOC＝78°.又∵OA＝OE，∴∠AEO＝∠OAE，∴∠AEO＝12×(180°－78°)＝51°.故选A.失分盲点(1)在应用圆心角、弧、弦之间的关系定理时要注意“同圆或等圆”这一前提条件，没有该条件，结论不一定成立；(2)在同圆或等圆中，半径相等是一个重要的隐含条件．探究4圆周角定理及推论命题角度：1．利用圆心角与圆周角之间的关系求圆周角或圆心角的度数；2．利用直径所对的圆周角为90度得到直角三角形；3．圆中求圆周角的锐角三角函数值．例4[2015·深圳]如图26－9，AB为⊙O的直径，若∠DCB＝20°，则∠DBA的度数为()图26－9A．50°B．20°C．60°D．70°解析∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACD＝90°－∠DCB＝90°－20°＝70°，∴∠DBA＝∠ACD＝70°.方法模型(1)圆周角定理为圆周角与圆心角的角度转换提供了依据；(2)在圆中，如果有直径，那么直径所对的圆周角是直角，常利用此结论构造直角三角形解题．探究5与圆有关的综合运用命题角度：1．圆周角定理、垂径定理、勾股定理结合求线段长；2．相似三角形、圆周角定理、直角三角形结合求三角函数．例5[2015·德州改编]如图26－10，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°.(1)判断△ABC的形状，并说明理由；(2)试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；图26－10解析(1)利用圆周角定理可得∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，而∠APC＝∠CPB＝60°，所以∠BAC＝∠ABC＝60°，从而可判断△ABC的形状；(2)在PC上截取PD＝AP，则△APD是等边三角形，然后证明△APB≌△ADC，可得BP＝CD.解：(1)△ABC是等边三角形．理由如下：在⊙O中，∵∠BAC与∠CPB都是BC︵所对的圆周角，∠ABC与∠APC都是AC︵所对的圆周角，∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC.又∵∠APC＝∠CPB＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形．(2)PC＝PB＋PA.证明：在PC上截取PD＝AP，如图．∵∠APC＝60°，∴△APD是等边三角形，∴AD＝AP＝PD，∠ADP＝60°，即∠ADC＝120°.又∵∠APB＝∠APC＋∠BPC＝120°，∴∠ADC＝∠APB.在△APB和△ADC中，∵∠APB＝∠ADC，∠ABP＝∠ACP，AP＝AD，∴△APB≌△ADC(AAS)，∴PB＝CD.又∵PD＝PA，∴PC＝PD＋CD＝PB＋PA.1．如图26－1是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交圆O于点E，并且CD＝4m，EM＝6m，则⊙O的半径为________m.图26－1巩固练习解析∵M是⊙O中弦CD的中点，根据垂径定理的推论，得EM⊥CD.又CD＝4，∴CM＝12CD＝2.设圆的半径为x米，连接OC，在Rt△COM中，由勾股定理，得OC2＝CM2＋OM2，即x2＝22＋(6－x)2，解得x＝103.2．如图26－2，AB是⊙O的直径，BC︵＝CD︵＝DE︵，∠COD＝35°，则∠AOE的度数为________．图26－2解析∵BC︵＝CD︵＝DE︵，∠COD＝35°，∴∠BOC＝∠DOE＝∠COD＝35°，∴∠EOB＝105°.∵∠EOB＋∠EOA＝180°，∴∠AOE＝75°.3．⊙O的半径为13cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm，则AB和CD之间的距离为_________________．解析过点O作OE⊥AB于点E，直线OE交CD于点F，连接OA，OC，如图，∵AB∥CD，∴OF⊥CD，∴AE＝BE＝12AB＝12，CF＝DF＝12CD＝5，在Rt△OAE中，∵OA＝13，AE＝12，∴OE＝5，在Rt△OCF中，∵OC＝13，CF＝5，∴OF＝12.解析当圆心O在弦AB与CD之间时，EF＝OF＋OE＝12＋5＝17；当圆心O不在弦AB与CD之间时，EF＝OF－OE＝12－5＝7.综上所述，AB和CD之间的距离为7cm或17cm.4．如图26－3，A，B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°，C是AB︵的中点．求证：四边形OACB是菱形．图26－3证明：连接OC，∵C为AB︵的中点，∴AC︵＝BC︵，∴∠AOC＝∠BOC.∵∠AOC＋∠BOC＝120°，∴∠AOC＝∠BOC＝60°.∵OA＝OB＝OC，∴△OAC和△OCB都是等边三角形，∴OA＝AC＝CB＝BO，∴四边形OACB是菱形．5．如图26－4，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D.求证：DE＝DB.图26－4证明：连接BE，∵E为内心，∴AE，BE分别为∠BAC，∠ABC的平分线，∴∠EBA＝∠EBC，∠BAE＝∠EAC.∵∠BED＝∠BAE＋∠EBA，∴∠BED＝∠EBC＋∠EAC.∵CD︵＝CD︵，∴∠EAC＝∠CBD.∵∠EBD＝∠EBC＋∠CBD，∴∠EBD＝∠EBC＋∠EAC，∴∠EBD＝∠BED，∴DE＝BD.课堂总结本章节考查的题型常以填空、选择、解答题的形式出现，重点考查对圆的基本概念、基本性质的理解及运用，特别是垂径定理及推论、圆周角定理及推论的运动是考查的重点内容。对圆内接四边形的性质进行考查，主要以填空题、选择题、计算题、证明题的形式出现，利用圆内接四边形的性质主要是得到角相等或互补，一般不会考较复杂的计算、证明。