材料力学第5版(孙训方编)第二章

第二章轴向拉伸和压缩§2-1轴向拉伸和压缩的概念§2-2内力·截面法·及轴力图§2-3应力·拉(压)杆内的应力§2-4拉(压)杆的变形·胡克定律§2-5拉(压)杆内的应变能§2-6材料在拉伸和压缩时的力学性能§2-7强度条件·安全因数·许用应力§2-8应力集中的概念§2-1轴向拉伸和压缩的概念第二章轴向拉伸和压缩工程中有很多构件，例如屋架中的杆，机械连接用的螺栓，机械或建筑支撑用的立柱，是等直杆，作用于杆上的外力的合力作用线与杆的轴线重合。在这种受力情况下，杆的主要变形形式是轴向拉伸或压缩。屋架结构简图而受轴向外力作用的等截面直杆称为拉杆或压杆。桁架的示意图若不考虑端部连接情况，屋桁架上的钢杆可以简化为以下拉杆或压杆第二章轴向拉伸和压缩拉杆压杆§2-2内力·截面法·及轴力图材料力学中所研究的内力——物体内各质点间原来相互作用的力由于物体受外力作用而改变的量。Ⅰ.内力概念根据可变形固体的连续性假设，内力在物体内为连续分布。通常把物体内任一截面两侧相邻部分之间分布内力的合力和合力偶简称为该截面上的内力（实为分布内力系的合成）。内力求解的方法：截面法。第二章轴向拉伸和压缩Ⅱ.截面法·轴力及轴力图FN=F第二章轴向拉伸和压缩1.内力求解方法——截面法其求解步骤如下：（1）截开：假想地截开指定截面；（2）代替：用内力代替另一部分对所取分离体的作用力；（3）平衡：根据分离体的平衡求出内力值。横截面m－m上的内力FN其作用线与杆的轴线重合(垂直于横截面并通过其形心)——轴力（等直拉压杆的内力）。无论取横截面m－m的左边或右边为分离体均可。轴力的正负:按所对应的纵向变形为伸长或缩短规定当轴力背离截面产生伸长变形为正，即拉力为正；当轴力指向截面产生缩短变形为负，即压力为负。轴力背离截面FN=+F2.轴力注意：用截面法求内力的过程中，在截取分离体前，作用于物体上的外力(荷载)不能任意移动或用静力等效的相当力系替代（与理论力学的不同）。轴力指向截面FN=-F第二章轴向拉伸和压缩杆受多个轴向外力作用时，在杆的不同截面上的轴力各不相同。为表示横截面上的轴力随横截面位置而变化的情况，用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，垂直于轴线的坐标表示横截面上轴力的数值，从而绘制处轴力与横截面位置关系的图形，称为轴力图，正值的轴力画上轴线上方，负值绘制轴线下方。第二章轴向拉伸和压缩3.轴力图(FN图)——显示横截面上轴力与横截面位置的关系。轴力图(FN图)——显示横截面上轴力与横截面位置的关系。第二章轴向拉伸和压缩F(c)F(f)例题1试作此杆的轴力图。等直杆的受力示意图第二章轴向拉伸和压缩(a)注意：杆受多个轴向外力作用时，应以外力作用点处的横截面作为特征截面，将梁分成若干段来求整段梁的轴力。为求轴力方便，先求出约束力FR=10kN为方便，取横截面1－1左边为分离体，假设轴力为拉力，得FN1=10kN(拉力)解：第二章轴向拉伸和压缩为方便取截面3－3右边为分离体，假设轴力为拉力。FN2=50kN(拉力)FN3=-5kN（压力），同理，FN4=20kN(拉力)第二章轴向拉伸和压缩轴力图(FN图)显示了各段杆横截面上的轴力。kN502NmaxN,FF思考：为何在F1，F2，F3作用着的B，C，D截面处轴力图发生突变？能否认为C截面上的轴力为55kN？第二章轴向拉伸和压缩例题2：试作此杆的轴力图。FFFqFR112233FFFFRF'=2qlFF=RFFFl2lllFq解：第二章轴向拉伸和压缩FF=RFF=N1FFF=3NqFFF=RFx1N2FFlFxF1N2FFF=RFx1lFxF12NF0--201RN2lFxFFFFx2FFFq11233FF=Rx第二章轴向拉伸和压缩FFq=F/ll2llF第二章轴向拉伸和压缩FN图FFF+-+课堂练习：试求出下列图形当中1-1、2-2、3-3截面上的轴力.10KN10KN6KN6KN332211FF211233(1)(2)第二章轴向拉伸和压缩在这两道题中其实可以用一种“整体法”的眼光来看：例如第一题就是两个力F的作用效果是只拉伸了这两个力之间的部分，而对两个力之外的部分没有作用。即可判断出截面13处没有力的作用。而2处力均为F（自己总结的2013.3.8）思考：AB杆、杆材料相同，杆截面面积大于AB杆，若挂相同重物，哪根杆较危险？若，哪根杆较危险？''BA''BAccWW'§2-3应力·拉(压)杆内的应力第二章轴向拉伸和压缩A=10mm2A=100mm210KN10KN100KN100KN哪个杆先破坏?第二章轴向拉伸和压缩在确定了拉(压)杆的轴力以后，并不能判断杆件是否会因强度不足而破坏。因为轴力只是杆横截面上分布内力系的合力，而要判断杆是否会因强度不足而破环，还必须知道度量分布内力大小的内力集度，以及材料承受荷载的能力。一、应力的概念应力:指受力杆件某截面上某一点处的内力分布疏密程度，即内力集度。.F1FnF3F2(工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，集度的定义不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从内力集度最大处开始。)第二章轴向拉伸和压缩指受力杆件(物体)某一截面的M点附近微面积ΔA上分布内力的平均集度即平均应力，，其方向和大小一般而言，随所取ΔA的大小而不同。AFpm第二章轴向拉伸和压缩平均应力定义：该截面上M点处分布内力的集度为，其方向一般既不与截面垂直，也不与截面相切，称为总应力。AFAFpAddlim0第二章轴向拉伸和压缩总应力定义：F1F2ΔAFΔFQyΔFQzΔFNdAdFAFNNA0limdAdFAFQQA0lim垂直于截面的应力称为“正应力”;与截面相切的应力称为“切应力”应力的国际单位为N/m2（帕斯卡）1N/m2=1Pa1MPa=106Pa＝1N/mm21GPa=109PadAdFAFpA0limM——上的平均应力mpAAFpm总应力p法向分量正应力某一截面上法向分布内力在某一点处的集度切向分量切应力某一截面上切向分布内力在某一点处的集度应力单位：Pa(1Pa=1N/m2，1MPa=106Pa)。第二章轴向拉伸和压缩注意：正应力和切应力的正负规定：)()()()(1、对正应力：离开截面的正应力为正；指向截面的正应力为负。2、对切应力：对截面内部一点产生顺时针力矩为正；对截面内部一点产生逆时针力矩为负。二、拉(压)杆横截面上的应力(1)轴力与应力的关系：与轴力相应的只可能是正应力，不可能是切应力（因为轴力是个法向力）；(2)通过试验了解在横截面上的变化规律：横截面上各点处相等时可组成通过横截面形心的法向分布内力的合力——轴力FN；(3)试验的方法第二章轴向拉伸和压缩试验现象及假设：1.观察等直杆表面上相邻两条横向线在杆受拉(压)后的相对位移：两横向线仍为直线，仍相互平行，且仍垂直于杆的轴线。2.设想横向线为杆的横截面与杆的表面的交线。平截面假设——原为平面的横截面在杆变形后仍为平面，对于拉(压)杆且仍相互平行，仍垂直于轴线。第二章轴向拉伸和压缩3.推论：拉(压)杆受力后任意两个横截面之间纵向线段的伸长(缩短)变形是均匀的。根据对材料的均匀、连续假设进一步推知，拉(压)杆横截面上的内力均匀分布，亦即横截面上各点处的正应力都相等。由合力概念知：得：等截面拉(压)杆横截面上正应力的计算公式。AFN第二章轴向拉伸和压缩dAdFNdAdFAFNNA0lim应力不均匀时：应力均匀时：等截面拉(压)杆横截面上正应力的计算公式：AFNAFN第二章轴向拉伸和压缩1.上述正应力计算公式来自于等直杆的平截面假设；对于某些特定杆件,例如锲形变截面杆，受拉伸(压缩)时，平截面假设不成立，故原则上不宜用上式计算其横截面上的正应力。公式应用范围：2.即使是等直杆，由于连接点的复杂性，导致在外力作用点附近，横截面上的应力情况也很复杂。而圣维南(Saint-Venant)原理指出：“力作用于杆端方式的不同，只会使与杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内受到影响”。第二章轴向拉伸和压缩等直杆受几个轴向外力时，由轴力图可求得其最大轴力，代入公式可得杆内最大正应力为：最大正应力（注意课本P15最后一行）所在的横截面成为危险截面，危险截面上的正应力为最大工作应力。AFNmax,NF3、最大正应力：圣维南原理已被实验所证实，故等直拉压杆的正应力计算都可以以公式为准。AFN•最大正应力（注意课本P15最后一行）所在的横截面成为危险截面，危险截面上的正应力为最大工作应力。例题2-2试求此正方形砖柱（阶梯状）由于荷载引起的横截面上的最大工作应力。已知F=50kN。第二章轴向拉伸和压缩Ⅱ段柱横截面上的正应力12所以，最大工作应力为max=2=-1.1MPa(压应力）解：Ⅰ段柱横截面上的正应力MPa87.0Pa1087.0)m24.0()m24.0(N10506311N1AF(压应力)MPa1.1Pa101.1m37.0m37.0N101506322N2AF(压应力)第二章轴向拉伸和压缩例题2-3（不讲）试求薄壁圆环在内压力作用下径向截面上的拉应力。已知：d=200mm，δ=5mm，p=2MPa。第二章轴向拉伸和压缩2RNFF而pbddpbF)sind2(π0R所以MPa40Pam)102(5m)Pa)(0.23-661040102221()(pdpbdb解：薄壁圆环(δd)在内压力作用下，径向截面上的拉应力可认为沿壁厚均匀分布，故在求出径向截面上的法向力FN后用式求拉应力。bFN第二章轴向拉伸和压缩例题4图示支架，AB杆为圆截面杆，d=30mm，BC杆为正方形截面杆，其边长a=60mm，F=10KN，试求AB杆和BC杆横截面上的正应力。FABFBCMPa.AFσABNABAB328MPa.AFσBCNBCBC84KNFFFAB20230sin/0KNFFFABBC310330cos0CdABFa030第二章轴向拉伸和压缩FNBCFNAB三、拉(压)杆斜截面上的应力FF斜截面上的内力：变形假设：两平行的斜截面在杆受拉(压)而变形后仍相互平行。即两平行的斜截面之间的所有纵向线段伸长变形相同。第二章轴向拉伸和压缩斜截面上的总应力：coscoscos/0AFAFAFp推论：与横截面成角的斜截面上各点处轴向分布内力的集度相同，即斜截面上各点处的总应力p相等。式中，为拉(压)杆横截面上(=0)的正应力。AF0第二章轴向拉伸和压缩斜截面上的正应力(normalstress)和切应力(shearingstress)：20coscosp220sinsinp正应力和切应力的正负规定（书上P14）：)()()()(第二章轴向拉伸和压缩讨论：轴向拉压杆件的最大正应力发生在横截面上。轴向拉压杆件的最大切应力发生在与杆轴线成450截面上。在平行于杆轴线的截面上、均为零。001、2cos2sin21F045045045045第二章轴向拉伸和压缩§2-4拉(压)杆的变形·胡克定律一、拉(压)杆的纵向变形基本情况下(等直杆，两端受轴向力)：纵向总变形：Δl=l1-l（反映绝对变形量），无法说明沿杆长度方向上各段的变形量。单位长度的纵向伸长即：纵向线应变纵向线应变：（反映杆的变形程度）ll第二章轴向拉伸和压缩1、轴向变形为均匀变形时（适于两端受轴向力的等直杆）x截面处沿x方向的纵向平均线应变为xx图示一般情况下在不同截面处杆的横截面上的轴力不同，故不同截面的变形不同。lxf沿杆长均匀分布的荷载集度为ffl轴力图第二章轴向拉伸和压缩)(xxffxxx微段的分离体2、轴向变形为非均匀变形时（适于两端受轴向力的等直杆）线