初中反比例函数知识清单

反比例函数定义一般的，如果两个变量x,y之间的关系可以表示成(k为常数，k≠0）[1]，其中k叫做反比例系数，x是自变量，y是因变量x的函数，x的取值范围是不等于0的一切实数,且y也不能等于0。k0时，图像在一、三象限。k0时，图像在二、四象限.k的绝对值表示的是x与y的坐标形成的矩形的面积。表达式x是自变量，y是因变量，y是x的函数（即：）(k为常数且k≠0，x≠0）①在一般的情况下,自变量x的取值范围可以是不等于0的任意实数；②函数y的取值范围也是任意非零实数。解析式：其中x是自变量，y是x的函数，其定义域是不等于0的一切实数，即{x|x≠0,x属于R这个范围。R是实数范围。也就是x是实数}。下面是一些常见的形式：y*x=-1,y=x^(-1)*k（k为常数(k≠0），x不等于0）函数图像反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线（hyperbola）,反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（y≠0）。当k0时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当k0时，两支曲线分别位于第二、四象限内，两个分支无限接近x和y轴，但永远不会与x轴和y轴相交.图象画法1）列表x...-3-2-11234...y...-4-6-1212643...2）在平面直角坐标系中标出点。3）用平滑的曲线连接点。1.当K0时，在图象所在的每一象限内，Y随X的增大而减小。2.当K0时，在图象所在的每一象限内，Y随X的增大而增大。当两个数相等时那么曲线呈弯月型。k的意义及应用过反比例函数（）图像上任意一点P（x,y），作两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P点组成一个矩形，矩形的面积为。过反比例函数一点，作垂线，并连接原点，三角形的面积为。研究函数问题要透视函数的本质特征。反比例函数中，比例系数k有一个很重要的几何意义，那就是：过反比例函数图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N则矩形PMON的面积为。所以，对双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为常数。这个常数是k的绝对值。在解有关反比例函数的问题时，若能灵活运用反比例函数中k的几何意义，会给解题带来很多方便。函数性质单调性当k0时，图像分别位于第一、三象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而减小；当k0时，图像分别位于第二、四象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而增大。k0时，函数在x0上同为减函数、在x0上同为减函数；k0时，函数在x0上为增函数、在x0上同为增函数。相交性因为在(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图像不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交，只能无限接近x轴，y轴。面积在一个反比例函数图像上任取两点，过点分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为|k|，反比例函数上一点向x、y轴分别作垂线，分别交于y轴和x轴，则QOWM的面积为k|，则连接该矩形的对角线即连接OM,则RT△OMQ的面积=½|k|图像表达反比例函数图像不与x轴和y轴相交的渐近线为：x轴与y轴。k值相等的反比例函数图像重合，k值不相等的反比例函数图像永不相交。|k|越大，反比例函数的图像离坐标轴的距离越远。对称性反比例函数图像是中心对称图形，对称中心是原点；反比例函数的图像也是轴对称图形，其对称轴为y=x和y=-x；反比例函数图像上的点关于坐标原点对称。图像关于原点对称。若设正比例函数y=mx与反比例函数交于A、B两点（m、n同号），那么AB两点关于原点对称。反比例函数关于正比例函数y=±x轴对称,并且关于原点中心对称。与正比例函数交点设在平面内有反比例函数和一次函数y=mx+n，要使它们有公共交点，则反比例减去一次函数为零应用举例例1反比例函数图像上有一点P（m,n）其坐标是关于t的一元二次方程t^2+3t+k=0的两根，且P到原点的距离为根号13，求该反比例函数的解析式．分析：要求反比例函数解析式，就是要求出k，为此我们就需要列出一个关于k的方程．解：∵m,n是关于t的方程的两根∴m+n=-3，mn=k,又∵P到原点的距离为根号13m＾2+n＾2=13,m+n=-3;∴(m+n)＾2-2mn=13,m+n=-3；∴9-2k=13∴k=-2∴该反比例函数的解析式为y=-2/x.例2直线与位于第二象限的双曲线相交于A、A1两点，过其中一点A向x、y轴作垂线，垂足分别为B、C，矩形ABOC的面积为6，求：（1）求双曲线的解析式分析：矩形ABOC的边AB和AC分别是A点到x轴和y轴的垂线段，设A点坐标为（m,n），则AB=|n|,AC=|m|，根据矩形的面积公式知|m·n|=6.由已知条件知，该双曲线位于第二、四象限，因此，A点坐标值异号，即双曲线的解析式为xy=-6.例3已知一次函数y=-x+6和反比例函数y=x/k（k≠0）（1）k满足什么条件时，这两个函数在同一坐标系中的图像有两个交点？（2）当图像有两个交点时（设为A和B），判断∠AOB是锐角、钝角还是直角？说明理由。解（1）一次函数y=-x+6和反比例函数y=x/k（k不等于零）有两个交点，即化简的有两个交点则方程有两个不同的解即所以k9且k不等于0（2）当0k9时两交点在第一象限所以∠AOB是锐角当k0时两交点分别在第二和第四象限所以∠AOB是钝角例3已知函数.（1）当m为何值时，y是x的正比例函数?（2）当m为何值时，y是x的反比例函数？解（1）正比例函数则x次数是1(m-2)(m+1)=0m=2,m=-1系数不等于0m-1≠0所以m=2,m=-1（2）反比例函数则x次数是-1m(m-1)=0m=0,m=1系数不等于0m-1≠0所以舍去m=1因此m=0例4一矩形的面积为24，则该矩形的长xcm与宽ycm之间的关系是什么?请写出函数表达式，若要求矩形的各边长均为整数，请画出所有可能的的矩形。解面积xy=24函数表达式(x0)矩形的各边长均为整数可以取x=1，2，3，4，6，8，12，24知识与概念概念理解形如(k为常数且k≠0)的函数，叫做反比例函数。自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。反比例函数图像性质：反比例函数的图像为双曲线。由于反比例函数属于奇函数，有，图像关于原点对称。另外，从反比例函数的解析式可以得出，在反比例函数的图像上任取一点，向两个坐标轴作垂线，这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值，为∣k∣。如图，上面给出了k分别为正和负（2和-2）时的函数图象。当K0时，反比例函数图像经过一，三象限，是减函数当K0时，反比例函数图像经过二，四象限，是增函数反比例函数图像只能无限趋向于坐标轴，无法和坐标轴相交。[1]重点知识1.过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段，这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为|k|。2.对于双曲线，若在分母上加减任意一个实数m(m为常数)，就相当于将双曲线图象向左或右平移一个单位。（加一个数时向左平移，减一个数时向右平移）[1]延伸设n为正整数，则n的所有取值所对应的函数交于（1，1）和（-1，-1），且当n越大并且x1时，,图像离坐标轴近；当n越大并且0x1时，图像离坐标轴远；当n越大并且-1x0时，图像离坐标轴远；当n越大并且-1x时，图像离坐标轴近。设n为正整数，则n的所有取值所对应的函数交于（-1，1）和（1，1），且当n越大并且x1时，,图像离坐标轴近；当n越大并且0x1时，图像离坐标轴远；当n越大并且-1x0时，图像离坐标轴远；当n越大并且-1x时，图像离坐标轴近。设n为正整数，则n的所有取值所对应的函数和交于（1，1）。