20-成本最小化(2013)

CostMinimization1本章要点成本最小化规模报酬和成本函数关键词：成本函数研究思路我们的目标是研究利润最大化的厂商的行为。在上一章（第19章），我们从直接分析利润最大化问题开始，着手分析了竞争环境下利润最大化的厂商的行为。可以换一种间接的思考方法，把利润最大化问题分割为两部分：首先，考虑既定产量下的成本最小化问题（第20、21章）；然后，再研究最有利可图的产量水平（第22章）。研究思路生产函数要素需求函数供给函数第20-22章的思路（间接的思考方法，先研究既定产量下的成本最小化问题（第20、21章）；然后，再研究最有利可图的产量水平（第22章））生产函数成本函数（成本曲线）利润最大化成本最小化有条件的要素需求函数供给函数（供给曲线）第19章的思路（直接分析利润最大化）第20章第21章第22章利润函数本章研究目的本章（第20章）先研究既定产量下的成本最小化问题，目的是推导成本函数。成本最小化问题（TheCost-MinimizationProblem）考虑用两种要素生产一种产品的厂商。厂商的生产函数为y=f(x1,x2).其中y0是给定的。假定投入品价格w1、w2是给定的。则投入组合的成本为w1x1+w2x2.成本最小化问题对于给定的w1,w2和y,厂商的成本最小化问题就是求解min,xxwxwx1201122s.t.fxxy(,).12等成本线（Iso-costLines）等成本线是所有耗费相同成本的投入要素组合点的集合。例如：给定w1和w2,数量为$100的等成本线方程为wxwx1122100.等成本线一般而言，在给定w1和w2的条件下，耗费成本$c的等成本线表示为重新排列得到等成本线的斜率为-w1/w2,,纵截距为c/w2.xwwxcw21212.wxwxc1122等成本线c’w1x1+w2x2c”w1x1+w2x2c’c”x1x2等成本线c’w1x1+w2x2c”w1x1+w2x2c’c”x1x2斜率=-w1/w2.等产量线x1x2所有产出为y’的投入要素的集合。f(x1,x2)y’成本最小化问题x1x2f(x1,x2)y’所有产出为y’的投入要素的集合。哪一个最便宜？成本最小化问题x1x2f(x1,x2)y’x1*x2*所有产出为y’的投入要素的集合。哪一个最便宜？成本最小化问题相切条件的推导方法：1、直接代入法2、拉格朗日法（推导过程见下页）成本最小化问题x1x2f(x1,x2)y’x1*x2*在一个成本最小化的内点解上：(a)且fxxy(,)**12**111222(,)wMPxxTRSwMP在，(b)等成本线的斜率等于等产量线的斜率即2211212121221212112121221121221121/),(/),(:,,0),(0),(0),(:,,,)),((L:),(..,minxxxfxxxfwwyxxfxxxfwxxxfwxxyxxfxwxwyxxftsxwxwxx就可以得到二个方程并用第一个方程除以第整理得到一阶条件求导对建立拉格朗日函数成本最小化（CostMinimization）当厂商面对给定的要素价格w=(w1,w2,…,wn)成本最小的最优解组合是：x1*(w1,w2,y)和x2*(w1,w2,y)，是厂商在既定价格条件下，生产给定产量产品的要素投入。也叫做这个企业对投入品1和2的有条件的要素需求函数（conditionaldemandsforinputs1and2)成本最小化问题厂商生产y的最小可能成本（成本函数）为：成本函数度量的是当要素价格为(w1,w2,…,wn)，生产y单位产量时的最小成本!因为要素价格w是给定的，成本函c(w1,…,wn,y)通常可以写作c(y)。**1211122212c(w,w,y)=wx(w,w,y)+wx(w,w,y).w1、w2不变xy1*()xy2*()xy1*()xy1*()xy2*()xy2*()yyyyyyyyyxy2*()xy2*()xy2*()xy1*()xy1*()xy1*()投入2的条件需求投入1的条件需求x2*x1*yy产出扩展线x2x1yy要素的条件需求曲线例子：特定技术下的成本最小化1.内部解：Cobb-Douglas技术2.折拗解：完全互补技术3.边界解：完全替代技术成本最小化——Cobb-Douglas的例子一个具有Cobb-Douglas生产技术厂商的生产函数为厂商面临给定的要素价格w1、w2。厂商的有条件的要素需求函数是什么?可以采用几何法求解。也可以采用代数法求解。yfxxxx(,).//12113223成本最小化Cobb-Douglas的例子生产给定产量成本最小化的投入要素组合(x1*,x2*)满足(a)(b)yxx()()*/*/113223wwyxyxxxxxxx12121232231132132113232//(/)()()(/)()().*/*/*/*/**成本最小化：C-D技术的例子yxx()()*/*/113223wwxx12212**.(a)(b)成本最小化：C-D技术的例子yxx()()*/*/113223wwxx12212**.(a)(b)由(b)可得,xwwx21212**.成本最小化：C-D技术的例子yxx()()*/*/113223wwxx12212**.(a)(b)由(b)可得,代入(a)得：xwwx21212**.yxwwxwwx().*/*//*113121231223122成本最小化：C-D技术的例子yxx()()*/*/113223wwxx12212**.(a)(b)由(b)可得,代入(a)得：xwwx21212**.yxwwxwwx().*/*//*113121231223122xwwy121232*/所以是厂商对于投入要素1的条件需求函数。成本最小化Cobb-Douglas的例子xwwx21212**xwwy121232*/是厂商对于投入要素2的条件需求函数。由于且x*//则成本最小化Cobb-Douglas的例子柯布-道格拉斯技术：生产函数生产要素价格w1、w2下生产y单位产出品的最小成本生产要素束为：xwwyxwwywwywwy1122122123121322**//(,,),(,,),.3/223/1121xx)x,x(fy成本最小化Cobb-Douglas的例子cwwywxwwywxwwy(,,)(,,)(,,).**/////////121112221212123212132311322313113223122132212234厂商成本函数为：成本最小化：Cobb-Douglas的例子生产函数为：代数法求解：min,xxwxwx1201122s.t.3/223/1121xx)x,x(fy3/223/1121xx)x,x(fybyxbxxwayxaxxwxxyxxxbxwxaxwxxyxxxwxwyxxtsxwxwxxbababababababa212221112121212211121222112221121:,,:,,,)(L:..,min111就可以得到第二个方程乘以第一个方程乘以得到一阶条件求导对建立拉格朗日函数2211wbyxwayx中级微观经济学bababbaabaabaababaabaababbababbabbabbababababaywwbabaxwxwywwcywwbaywwxywwbaywwxwbyxwayxywwbaywbywaywbyxwayx12122112112121212121122111121212211])()[(),,()(),,()(),,(:,,)()()(:,,成本函数解出要素需求函数建立联立方程组与解出得到代入第三个一阶条件将成本最小化：完全互补技术的例子生产函数为厂商面临给定的要素价格w1、w2。厂商的有条件的要素需求函数是什么?厂商的总成本函数是什么？yxxmin{,}.412成本最小化：完全互补技术的例子x1x24x1=x2min{4x1,x2}y哪一点是成本最小的投入组合?成本最小化：完全互补技术的例子x1x2x1*=y’/4x2*=y’4x1=x2min{4x1,x2}y成本最小化：完全互补技术的例子yxxmin{,}412厂商的生产函数为：要素的条件需求函数为：xwwyy1124*(,,)xwwyy212*(,,).；成本最小化：完全互补技术的例子yxxmin{,}412厂商的生产函数为：要素的条件需求函数为xwwyy1124*(,,)xwwyy212*(,,).；厂商的总成本函数为cwwywxwwywxwwywywywwy(,,)(,,)(,,).**1211122212121244成本最小化：完全替代技术的例子ywwywywywwcywywyxxxxf212121212121,min,min),,(,),(,中较小的一个：和最小成本是时，因此，当产量为价格较低的生产要素。厂商显然会使用由于要素是完全替代的在完全替代的情况下数。的使用量，求出成本函是要素的使用量，是要素，其中、假设生产函数是21,min121221xxxx练习规模报酬和平均成本（Returns-to-ScaleandAverageTotalCosts）厂商生产技术的规模报酬特征决定了厂商的平均成本随着产量变化如何变化。假定我们的成本最小化的厂商生产y’单位的产品。假定厂商现在产量为2y’，平均成本如何变化？平均成本对一个产出为正数的厂商而言，生产y产量产品的平均成本为：ACwwycwwyy(,,)(,,).1212不变规模报酬和平均成本如果厂商技术是规模报酬不变的，那么产量增加一倍，从y’到2y’，需要所有要素投入量增加一倍。总成本平均成本增加一倍。不变。？？不变规模报酬y=f(x)x’x生产要素水平产出水平y’一种生产要素、一种产出2x’2y’不变规模报酬Constantreturns-to-scale规模报酬递减和平均成本如果厂商技术是规模报酬递减的，那么产量增加一倍，从y’到2y’，需要所有要素投入量增加超过一倍。总成本平均成本增加超过一倍。递增。？？递减规模报酬y=f(x)x’x生产要素水平产出水平f(x’)一种生产要素、一种产出2x’f(2x’)2f(x’)递减规模报酬Decreasingreturns-to-scale规模报酬递增和平均成本如果厂商技术是规模报酬递增的，那么产量增加一倍，从y’到2y’，需要所有要素投入量增加少于一倍。总成本平均成本增加少于一倍。递减。？？递增规模报酬y=f(x)x’x生产要素水平产出水平f(x’)一种生产要素、一种产出2x’f(2x’)2f(x’)递增规模报酬Increasingreturns-to-scale总结：规模报酬和平均成本规模报酬不变，AC不变。规模报酬递减，AC递增。规模报酬递增，AC递减。规模报酬和平均成本y$/产量规模报酬不变规模报酬递减规模报酬递增AC(y)规模报酬和总成本（Returns-to-ScaleandTotalCosts）这对于总成本函数的形状意味着什么?规模报酬和总成本y$c(y)y’2y’c(y’)c(2y’)Slope=