第一部分-第二章-§2-三角形中的几何计算.

把握热点考向应用创新演练§2三角形中的几何计算考点一考点三考点二第二章解三角形§2三角形中的几何计算[例1](2012·中山高二检测)在△ABC中，已知B＝30°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，(1)求∠ADC的大小；(2)求AB的长．[思路点拨](1)∠ADC是△ADC的一个内角，因为△ADC的三边均已知，可以直接应用余弦定理求解．(2)△ABD中，由(1)求得∠ADB，又已知AD，和∠B，所以可应用正弦定理来解．[精解详析](1)在△ADC中，AD＝10，AC＝14，DC＝6，由余弦定理得cos∠ADC＝AD2＋DC2－AC22AD·DC＝100＋36－1962×10×6＝－12，∴∠ADC＝120°.(2)由(1)知∠ADB＝60°，在△ABD中，AD＝10，B＝30°，∠ADB＝60°，由正弦定理得ABsin∠ADB＝ADsinB，∴AB＝ADsin∠ADBsinB＝10sin60°sin30°＝10×3212＝103.[一点通]有关角和线段的长度计算问题，可以把它们放在三角形中，通过分析三角形中的已知的边和角，选择正弦定理或余弦定理求解．1．(2011·福建高考)如图，△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝23，点D在BC边上，∠ADC＝45°，则AD的长度等于________．解析：在△ABC中，∵AB＝AC＝2，BC＝23，∴cosC＝AC2＋BC2－AB22AC·BC＝22＋12－222×2×23＝32.∴sinC＝12.在△ADC中，由正弦定理得，ADsinC＝ACsin∠ADC，∴AD＝2sin45°×12＝2.答案：22．在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上的一点，AB＝5，AC＝14，DC＝6，求AD的长．解：在△ABC中，ABsinC＝ACsinB∴sinC＝AB·sinBAC＝56×2214＝5314.∵ABAC，∴CB＝45°.∴cosC＝1－sin2C＝1114.在△ACD中，AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·cosC＝142＋62－2×14×6×1114＝100.∴AD＝10.3．如图，已知梯形ABCD中，CD＝2，AC＝19，∠BAD＝60°求梯形的高．解：∵∠BAD＝60°，∴∠ADC＝120°.在△ACD中，AC＝19，CD＝2，∠ADC＝120°，由余弦定理，得AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC，即(19)2＝AD2＋22－4ADcos120°，整理得，得AD2＋2AD－15＝0，∴AD＝3或AD＝－5(舍去)．∴h＝ADsin60°＝332.[例2]如图，在△ABC中，BC＝5，AC＝4，cos∠CAD＝3132且AD＝BD，求△ABC的面积．[思路点拨]先由余弦定理求出CD长，再利用正弦定理求角C的正弦值，最后根据S＝12BC·AC·sinC求△ABC的面积．[精解详析]设CD＝x，则AD＝BD＝5－x，在△CAD中，由余弦定理可知：cos∠CAD＝5－x2＋42－x22×4×5－x＝3132.解得x＝1.在△CAD中，由正弦定理可知：ADsinC＝CDsin∠CAD，∴sinC＝ADCD·1－cos2∠CAD＝41－31322＝387，∴S△ABC＝12AC·BC·sinC＝12×4×5×387＝1547.所以三角形ABC的面积为1547.[一点通]求三角形的面积即求三角形的两边及夹角．解题时要充分挖掘题目中的已知条件．有时要应用方程的思想和整体代换的思想解题．4．△ABC的三边分别为a、b、c且S△ABC＝a2＋b2－c24，则C＝________.解析：∵S△ABC＝12absinC，∴12absinC＝a2＋b2－c24.即a2＋b2－c2＝2absinC．又c2＝a2＋b2－2abcosC，∴a2＋b2－c2＝2abcosC＝2absinC，从而tanC＝1，即C＝45°.答案：45°5．(2012·银川高二检测)在△ABC中，C－A＝π2，sinB＝13.(1)求sinA的值；(2)设AC＝6，求△ABC的面积．解：(1)∵C－A＝π2，且sinB＝13.∴sinB＝sin(A＋C)＝sin(A＋π2＋A)＝sin(π2＋2A)＝cos2A＝13.∴1－2sin2A＝13.解得sinA＝33.(2)根据正弦定理得BCsinA＝ACsinB∴BC＝ACsinAsinB＝6×3313＝32.∵C＝π2＋A，∴C为钝角，A，B为锐角．∴sinC＝sin(π2＋A)＝cosA＝63.∴S△ABC＝12BC·AC·sinC＝12×32×6×63＝32.6．△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，且2b·cosA＝c·cosA＋a·cosC，(1)求A的大小；(2)若a＝7，b＋c＝4，求△ABC的面积．解：(1)由已知条件得2cosAsinB＝sinAcosC＋cosAsinC＝sin(A＋C)＝sinB.又∵sinB≠0，∴cosA＝12.又∵0°A180°，∴A＝60°.(2)由余弦定理得7＝b2＋c2－2bc·cos60°＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc将b＋c＝4代入，得bc＝3.故△ABC面积为S＝12bcsinA＝334.[例3](12分)在△ABC中，C＝2A，a＋c＝10，cosA＝34，求b.[思路点拨]解答本题可以先由正弦定理结合a＋c＝10求出a，c，再由余弦定理求b.[精解详析]由正弦定理得ca＝sinCsinA＝sin2AsinA＝2cosA，∴ca＝32(2分)又a＋c＝10，∴a＝4，c＝(3分)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2－9b＋20＝0，∴b＝4或b＝(7分)当b＝4时，∵a＝4，∴A＝B.又C＝2A，且A＋B＋C＝π，∴A＝π4.与已知cosA＝34矛盾，不合题意，舍去．分)当b＝5时，满足题意．(12分)[一点通]本题体现了正弦定理和余弦定理的综合应用．先是由正弦定理求a，c，再是由余弦定理求b.正弦定理和余弦定理揭示的都是三角形的边角关系都是解三角形的重要工具，解三角形时要注意根据题目的条件合理选择．7．(2011·四川高考)在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，则A的取值范围是()A．(0，π6]B．[π6，π)C．(0，π3]D．[π3，π)解析：由已知及正弦定理有a2≤b2＋c2－bc，而由余弦定理可知a2＝b2＋c2－2bccosA，于是可得b2＋c2－2bccosA≤b2＋c2－bc，可得cosA≥12，注意到在△ABC中，0Aπ，故A∈(0，π3]．答案：C8．(2012·黄冈高二检测)△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列且cosB＝35.(1)求cosAsinA＋cosCsinC的值；(2)设BA·BC＝3，求a＋c的值．解：(1)由已知b2＝ac，及正弦定理得sin2B＝sinAsinC由cosB＝35，则sinB＝45.cosAsinA＋cosCsinC＝sinCcosA＋cosCsinAsinAsinC＝A＋CsinAsinC＝sinBsinAsinC＝1sinB＝54.(2)由BA·BC＝3，得accosB＝3，ac＝3cosB＝5，由余弦定理：b2＝a2＋c2－2ac×35得ac＝a2＋c2－65ac，a2＋c2＋2ac＝215ac＝21，∴(a＋c)2＝21.∴a＋c＝21.1．正弦定理、余弦定理研究的是任意三角形中边与角之间的关系，应用它们可以解以下四种三角形：(1)已知两边和夹角，运用余弦定理求第三边；(2)已知三边，运用余弦定理求角；(3)已知两角和其中一角的对边，运用正弦定理求另外一角的对边；(4)已知两边和其中一边的对角，运用正弦定理求另一边的对角．对以上四种类型的三角形中，前三种可能是一解或者无解，第四类的三角形可能无解、一解或两解．2．对于三角形中的几何计算问题，首先要把所求的量转化到三角形中，然后选用正弦定理、余弦定理解决．3．解三角形问题除了应用正、余弦定理外，也经常用到内角和定理以及三角变换公式中的平方关系、两角和与差的正、余弦公式等．点此进入