线性代数知识点总结

1线性代数知识点总结第一章行列式第一节：二阶与三阶行列式把表达式11221221aaaa称为11122122aaaa所确定的二阶行列式，并记作11122112aaaa，即1112112212212122.aaDaaaaaa结果为一个数。（课本P1）同理，把表达式112233122331132132112332122133132231,aaaaaaaaaaaaaaaaaa称为由数表111213212223313233aaaaaaaaa所确定的三阶行列式，记作111213212223313233aaaaaaaaa。即111213212223313233aaaaaaaaa=112233122331132132112332122133132231,aaaaaaaaaaaaaaaaaa二三阶行列式的计算：对角线法则（课本P2，P3）注意：对角线法则只适用于二阶及三阶行列式的计算。利用行列式计算二元方程组和三元方程组：对二元方程组11112212112222axaxbaxaxb设111221220aaDaa1121222baDba1112212.abDab则1122221111122122babaDxaaDaa，1112122211122122.ababDxaaDaa（课本P2）对三元方程组111122133121122223323113223333axaxaxbaxaxaxbaxaxaxb，设1112132122233132330aaaDaaaaaa，21121312222333233baaDbaabaa，1111322122331333abaDabaaba，1112132122231323aabDaabaab，则11DxD，22DxD，33DxD。（课本上没有）注意：以上规律还能推广到n元线性方程组的求解上。第二节：全排列及其逆序数全排列：把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列（或排列）。n个不同的元素的所有排列的总数，通常用Pn(或An)表示。（课本P5）逆序及逆序数：在一个排列中，如果两个数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么称它们构成一个逆序，一个排列中，逆序的总数称为这个排列的逆序数。排列的奇偶性：逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列。（课本P5）计算排列逆序数的方法：方法一：分别计算出排在1,2,,1,nn前面比它大的数码之和即分别算出1,2,,1,nn这n个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数。方法二：分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数。（课本上没有）第三节：n阶行列式的定义定义：n阶行列式111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa等于所有取自不同行、不同列的n个元素的乘积1212nppnpaaa的代数和，其中p1p2…pn是1，2，…，n的一个排列，每一项的符号由其逆序数决定。1112112222112211220100ntnnnnnnnnaaaaaDaaaaaaa也可简记为detija，其中ija为行列式D的（i，j元）。（课本P6）根据定义，有121212111212122212121nnnntpppnppnppppnnnnaaaaaaDaaaaaa说明：1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程3组的需要而定义的;2、n阶行列式是!n项的代数和;3、n阶行列式的每项都是位于不同行、不同列n个元素的乘积;4、1212nppnpaaa的符号为1t，t的符号等于排列12,,...nppp的逆序数5、一阶行列式aa不要与绝对值记号相混淆。推论1：上，下三角行列式的值均等于其主对角线上各元素的乘积。即1112112222112211220100ntnnnnnnnnaaaaaDaaaaaaa推论2：主对角行列式的值等于其对角线上各元的乘积，副对角行列式的值等于121nn乘以其副对角线上各元的乘积。即1212nn，1122121nnnn（上述二推论证明课本P7例6）第四节：对换定义：在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换。将相邻两个元素对调，叫做相邻对换。（课本P8）定理1一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数。（上述二定理证明课本P8）定理2n阶行列式det()ijDa的项可以写为12121122()()(1)nnnntqqqtpppqpqpqpaaa，其中q1q2…qn是行标排列，p1p2…pn是列标排列。（证明课本P9）推论设有n阶行列式det()ijDa，则1212()12(1)nntqqqqqqnDaaa或12121122()()(1)nnnntqqqtpppqpqpqpDaaa或1212()12(1)nntqqqppnpDaaa（行列式三种不同表示方法）推论在全部n阶排列中2n，奇偶排列各占一半。证明设在全部n阶排列中有s个奇排列，t个偶排列，现来证st。将s个奇排列的前两个数对换，则这s个奇排列全变成偶排列，并且它们彼此不同，所以st。若将t个偶排列的前两个数对换，则这t个偶排列，全变成奇排列，并且它们彼此不4同，于是有ts。综上有s=t。第五节：行列式的性质定义记111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa，112111222212nnTnnnnaaaaaaDaaa，行列式TD称为行列式D的转置行列式。性质1行列式与它的转置行列式相等。（证明课本P9）说明行列式中行与列具有同等地位，因此凡是对行成立的行列式的性质的对列也成立。性质2互换行列式的两行ijrr或列ijcc，行列式变号。（证明课本P10）推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零。性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数()jkrk，等于用数k乘此行列式；推论1D的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到D的外面;推论2D中某一行（列）所有元素为零，则=0D。性质4行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．（证明课本P10）性质5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则1112111212222212()()()iiniinnnnininnaaaaaaaaaaDaaaaa1112111112112122222122221212ininininnnninnnnninnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa性质6把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式的值不变。（课本P11）计算行列式常用方法：①利用定义；②利用运算ijrkr把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值。说明行列式中行与列具有同等的地位，行列式的6个性质凡是对行成立的对列也同样成立。第六节行列式按行（列）展开余子式在n阶行列式中，把元素ija所在的第i行和第j列划去后，留下来的1n阶行列式叫做元素ija的余子式，记作ijM。5代数余子式1ijijijAM记，叫做元素ija的代数余子式。（课本P16）引理一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除（i，j）(,)ij元外ija都为零，那么这行列式等于ija与它的代数余子式的乘积，即ijijDaA。（证明课本P16）定理n阶行列式111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即1122iiiiininDaAaAaA，(1,2,,)in1122jjjjnjnjDaAaAaA或，(1,2,,)jn。（证明课本P17）扩展范德蒙德(Vandermonde)行列式1222212111112111()nnnijnijnnnnxxxDxxxxxxxx的证明见课本P18展开定理推论n阶行列式111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa的任意一行（列）的各元素与另一行（列）对应的代数余子式的乘积之和为零，即11220()isisinsnaAaAaAis11220()jtjtnjntaAaAaAjt或（证明课本P19）第七节克拉默法则如果线性方程组11112211211222221122nnnnnnnnnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb的系数行列式不等于零，即1112121222120nnnnnnaaaaaaDaaa，那么该方程组有唯一解6312123,,,,nnDDDDxxxxDDDD其中Di是用非齐次项代替D中第i列元素后所得的行列式。（证明课本P53，第二章）注意克拉默法则只适用于方程个数与未知量个数相等的情形。定理4如果线性方程组(1)的系数行列式D≠0，则(1)一定有解，且解是唯一的。逆否定理如果线性方程组(1)无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零。定理5若齐次线性方程组111122121122221122...0...0..........0nnnnnnnnnaxaxaxaxaxaxaxaxax＝＝＝的系数行列式0D，则其次线性方程组没有非零解。（即解唯一，只有零解）逆否定理如齐次方程组有非零解，则它的系数行列式D必为零。（课本P25）7第二章矩阵第一节矩阵定义由mn个数1,2,,;1,2,,ijaimjn排成的m行n列的数表111212122212nnmmmnaaaaaaaaa称为m行n列矩阵。简称mn矩阵，记作111212122211nnmmmnaaaaaaAaaa，简记为mnijijmnAAaa，,mnA这个数称为的元素简称为元。说明元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。扩展几种特殊的矩阵：方阵：行数与列数都等于n的矩阵A。记作：An。行(列)矩阵：只有一行(列)的矩阵。也称行(列)向量。同型矩阵：两矩阵的行数相等，列数也相等。相等矩阵：AB同型,且对应元素相等。记作：A＝B零矩阵：元素都是零的矩阵（不同型的零矩阵不同）对角阵：不在主对角线上的元素都是零。单位阵：主对角线上元素都是1，其它元素都是0，记作：En(不引起混淆时，也可表示为E)（课本P29—P31）注意矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同。第二节矩阵的运算矩阵的加法设有两个mn矩阵ijijAaBb和，那么矩阵A与B的和记作AB，规定为111112121121212222221122nnnnmmmmmnmnababababababABababab说明只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。（课本P33）矩阵加法的运算规律1ABBA；2ABCABC81112121222113,()nnijijmnmnmmmnaaaaaaAaAaaaa设矩阵记，A称