与抛物线有关的结论

1与抛物线有结论抛物线中有一些常见、常2()22pykxypx用的结论，了解这些结论后在做选择题、填空题时可迅速解答相关问题，在做解答题时也可迅速打开思路。结论一：若AB是抛物线22(0)ypxp的焦点弦（过焦点的弦），且11(,)Axy，22(,)Bxy，则：2124pxx，212yyp。证明：因为焦点坐标为F(2p,0),当AB不垂直于x轴时，可设直线AB的方程为：()2pykx，由得:2220kypykp∴212yyp，2242121222244yyppxxppp。当AB⊥x轴时，直线AB方程为2px，则1yp，2yp，∴212yyp，同上也有：2124pxx。例：已知直线AB是过抛物线22(0)ypxp焦点F，求证：11AFBF为定值。证明：设11(,)Axy，22(,)Bxy，由抛物线的定义知：12pAFx，22pBFx，又AF+BF=AB，所以1x+2x=AB-p，且由结论一知：2124pxx。则：212121211()()()2224AFBFABABppppAFBFAFBFxxxxxx=222()424ABppppABp（常数）结论二：（1）若AB是抛物线22(0)ypxp的焦点弦，且直线AB的倾斜角为α，则22sinPAB（α≠0）。（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短。证明：（1）设11(,)Axy，22(,)Bxy，设直线AB:()2pykx由2()22pykxypx得:,2220kypykp∴122pyyk，212yyp，∴221212122221112111()41pkAByyyyyykkkk222222(1)2(1tan)2tansinpkpPk。易验证，结论对斜率不存在时也成立。（2）由（1）：AB为通径时，90，2sin的值最大，AB最小。2例：已知过抛物线29yx的焦点的弦AB长为12，则直线AB倾斜角为。解：由结论二，12=29sin（其中α为直线AB的倾斜角），则3sin2，所以直线AB倾斜角为3或23。结论三：两个相切：（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。（2）过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。已知AB是抛物线22(0)ypxp的过焦点F的弦，求证：（1）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。(2)分别过A、B做准线的垂线，垂足为M、N，求证：以MN为直径的圆与直线AB相切。证明：(1)设AB的中点为Q,过A、Q、B向准线l作垂线，垂足分别为M、P、N，连结AP、BP。由抛物线定义：AMAF，BNBF，∴111()()222QPAMBNAFBFAB，∴以AB为直径为圆与准线l相切（2）作图如（1），取MN中点P，连结PF、MF、NF，∵AMAF，AM∥OF，∴∠AMF=∠AFM，∠AMF=∠MFO，∴∠AFM=∠MFO。同理，∠BFN=∠NFO，∴∠MFN=12（∠AFM+∠MFO+∠BFN+∠NFO）=90°，∴12MPNPFPMN，∴∠PFM=∠FMP∴∠AFP=∠AFM+∠PFM=∠FMA+∠FMP=∠PMA=90°，∴FP⊥AB∴以MN为直径为圆与焦点弦AB相切。结论四：若抛物线方程为22(0)ypxp，过（2p，0）的直线与之交于A、B两点，则OA⊥OB。反之也成立。证明：设直线AB方程为:(2)ykxp，由2(2)2ykxpypx得，△0，12xxk，12xxb∵AO⊥BO，∴AO⊥BO∴22121212121212()()(1)()0xxyyxxkxbkxbkxxkbxxbBAMNQPyxOFOAMNPyxFB3将12xxk，12xxb代入得，1b。∴直线AB恒过定点（0，1）。221212121111()441222AOBSxxxxxxk∴当且仅当k=0时，AOBS取最小值1。结论五（了解）：对于抛物线22(0)xpyp，其参数方程为222xptypt，，设抛物线22xpy上动点P坐标为2(22)ptpt，，O为抛物线的顶点，显然222OPptktpt，即t的几何意义为过抛物线顶点O的动弦OP的斜率．例直线2yx与抛物线22(0)ypxp相交于原点和A点，B为抛物线上一点，OB和OA垂直，且线段AB长为513，求P的值．解析：设点AB，分别为22(22)(22)AABBptptptpt，，，，则112AOAtk，12BOAOBtkk．AB，的坐标分别为(84)2pppp，，，．228(4)2pABppp∴5135132p．2p∴．练习：1.过抛物线2(0)yaxa的焦点F作一直线交抛物线于PQ，两点，若线段PF与FQ的长分别是pq，，则11pq=【解析：化为标准方程，得21(0)xyaa，从而12pa．取特殊情况，过焦点F的弦PQ垂直于对称轴，则PQ为通径，即12PQpa，从而12pqa，故114apq】2.设抛物线22(0)ypxp的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于AB，两点．点C在抛物线的准线上，且BCx∥轴．证明直线AC经过原点O．【证明：抛物线焦点为02pF，．设直线AB的方程为2pxmy，代入抛物线方程，得2220ypmyp．若设1122()()AxyBxy，，，，则212yyp．BCx∵∥轴，且点C在准线12COpky；又由2112ypx，得1112AOypkxy，故COAOkk，即直线AC经过原点O．】3.已知抛物线的焦点是(11)F，，准线方程是20xy，求抛物线的方程以及顶点坐标和对称轴方程．4【解：设()Pxy，是抛物线上的任意一点，由抛物线的定义得222(1)(1)2xyxy．整理，得222880xyxyxy，此即为所求抛物线的方程．抛物线的对称轴应是过焦点(11)F，且与准线20xy垂直的直线，因此有对称轴方程yx．设对称轴与准线的交点为M，可求得(11)M，，于是线段MF的中点就是抛物线的顶点，坐标是(00)，】4..抛物线的顶点坐标是(10)A，，准线l的方程是220xy，试求该抛物线的焦点坐标和方程．解：依题意，抛物线的对称轴方程为220xy．设对称轴和准线的交点是M，可以求得6255M，．设焦点为F，则FM的中点是A，故得焦点坐标为4255F，．再设()Pxy，是抛物线上的任一点，根据抛物线的定义得222242555xyxy，化简整理得22444120xyxyxy，即为所求抛物线的方程．5.已知AB，为抛物线24xy上两点，且OAOB，求线段AB中点的轨迹方程．解析：设OAkt，1OBOBOAkt，据t的几何意义，可得2244(44)AttBtt，，，．设线段中点()Pxy，，则222214142214142.2xttttytttt，消去参数t得P点的轨迹方程为22(4)xy．