含绝对值的不等式知识点

含绝对值的不等式1．绝对值的意义是：)0x(x)0x(xx.2．｜x｜＜a(a＞0)的解集是｛x｜－a＜x＜a｝．｜x｜＞a(a＞0)的解集是｛x｜x＜－a或x＞a｝．【思考导学】1．|ax＋b|＜b(b＞0)转化成－b＜ax＋b＜b的根据是什么？答：含绝对值的不等式|ax＋b|＜b转化－b＜ax＋b＜b的根据是由绝对值的意义确定．2．解含有绝对值符号的不等式的基本思想是什么？答：解含有绝对值符号的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法就与解一般不等式或不等式组相同．【典例剖析】［例1］解不等式2＜｜2x－5｜≤7．解法一：原不等式等价于7|52|2|52|xx∴7|5272522|52xxx或即612327xxx或∴原不等式的解集为｛x｜－1≤x＜23或27＜x≤6｝解法二：原不等式的解集是下面两个不等式组解集的并集(Ⅰ)7522052xx(Ⅱ)7252052xx不等式组(Ⅰ)的解集为｛x｜27＜x≤6｝不等式组(Ⅱ)的解集是｛x｜－1≤x＜23｝∴原不等式的解集是｛x｜－1≤x＜23或27＜x≤6｝解法三：原不等式的解集是下面两个不等式解集的并集．(Ⅰ)2＜2x－5≤7(Ⅱ)2＜5－2x≤7不等式(Ⅰ)的解集为｛x｜27＜x≤6｝不等式(Ⅱ)的解集是｛x｜－1≤x＜23｝∴原不等式的解集是｛x｜－1≤x＜23或27＜x≤6｝．点评：含绝对值的双向不等式的解法，关键是去绝对值号．其方法一是转化为单向不等式组如解法一，再就是利用绝对值的定义如解法二、解法三．［例2］解关于x的不等式：(1)｜2x＋3｜－1＜a(a∈R)；(2)｜2x＋1｜＞x＋1．解：(1)原不等式可化为｜2x＋3｜＜a＋1当a＋1＞0，即a＞－1时，由原不等式得－(a＋1)＜2x＋3＜a＋1－24a＜x＜22a当a＋1≤0,即a≤－1时，原不等式的解集为，综上，当a＞－1时，原不等式的解集是｛x｜－24a＜x＜22a}当a≤－1时，原不等式的解集是．(2)原不等式可化为下面两个不等式组来解(Ⅰ)112012xxx或(Ⅱ)1)12(012xxx不等式组(Ⅰ)的解为x＞0不等式组(Ⅱ)的解为x＜－32∴原不等式的解集为｛x｜x＜－32或x＞0｝点评：由于无论x取何值，关于x的代数式的绝对值均大于或等于0，即不可能小于0，故｜f(x)｜＜a(a≤0)的解集为．解不等式分情况讨论时，一定要注意是对参数分类还是对变量分类，对参数分类的解集一般不合并，如(1)对变量分类，解集必须合并如(2)．例3］解不等式|x－|2x＋1||＞1．解：∵由|x－|2x＋1||＞1等价于(x－|2x＋1|)＞1或x－|2x＋1|＜－1(1)由x－|2x＋1|＞1得|2x＋1|＜x－1∴1)12(012112012xxxxxx或即021221xxxx或均无解(2)由x－|2x＋1|＜－1得|2x＋1|＞x＋1∴112012xxx或1)12(012xxx即3221021xxxx或，∴x＞0或x＜－32综上讨论，原不等式的解集为{x|x＜－32或x＞0}．点评：这是含多重绝对值符号的不等式，可以从“外”向“里”，反复应用解答绝对值基本不等式类型的方法，去掉绝对值的符号，逐次化解．【随堂训练】1．不等式|8－3x|＞0的解集是()A．B．RC．{x|x≠38，x∈R}D．{38}答案：C2．下列不等式中，解集为R的是()A．｜x＋2｜＞1B．｜x＋2｜＋1＞1C．(x－78)2＞－1D．(x＋78)2－1＞0答案：C3．在数轴上与原点距离不大于2的点的坐标的集合是()A．｛x｜－2＜x＜2}B．｛x｜0＜x≤2}C．｛x｜－2≤x≤2｝D．｛x｜x≥2或x≤－2｝解析：所求点的集合即不等式｜x｜≤2的解集．答案：C4．不等式｜1－2x｜＜3的解集是()A．｛x｜x＜1}B．｛x｜－1＜x＜2}C．｛x｜x＞2｝D．｛x｜x＜－1或x＞2｝解析：由｜1－2x｜＜3得－3＜2x－1＜3，∴－1＜x＜2答案：B5．不等式｜x＋4｜＞9的解集是__________．解析：由原不等式得x＋4＞9或x＋4＜－9，∴x＞5或x＜－13答案：｛x｜x＞5或x＜－13}6．当a＞0时，关于x的不等式｜b－ax｜＜a的解集是________．解析：由原不等式得｜ax－b｜＜a，∴－a＜ax－b＜a∴ab－1＜x＜ab＋1∴｛x｜ab－1＜x＜ab＋1}答案：｛x｜ab－1＜x＜ab＋1｝【强化训练】1．不等式｜x＋a｜＜1的解集是()A．｛x｜－1＋a＜x＜1＋aB．｛x｜－1－a＜x＜1－a}C．｛x｜－1－｜a｜＜x＜1－｜a｜}D．｛x｜x＜－1－｜a｜或x＞1－｜a｜｝解析：由｜x＋a｜＜1得－1＜x＋a＜1∴－1－a＜x＜1－a答案：B2．不等式1≤｜x－3｜≤6的解集是()A．｛x｜－3≤x≤2或4≤x≤9｝B．｛x｜－3≤x≤9｝C．｛x｜－1≤x≤2｝D．｛x｜4≤x≤9｝解析：不等式等价于63103xx或63103xx解得：4≤x≤9或－3≤x≤2．答案：A3．下列不等式中，解集为｛x｜x＜1或x＞3｝的不等式是()A．｜x－2｜＞5B．｜2x－4｜＞3C．1－｜2x－1｜≤21D．1－｜2x－1｜＜21解析：A中，由｜x－2｜＞5得x－2＞5或x－2＜－5∴x＞7或x＜－3同理，B的解集为｛x｜x＞27或x＜－1｝C的解集为｛x｜x≤1或x≥3｝D的解集为｛x｜x＜1或x＞3｝答案：D4．已知集合A＝{x||x－1|＜2}，B＝{x||x－1|＞1}，则A∩B等于()A．{x|－1＜x＜3}B．{x|x＜0或x＞3}C．{x|－1＜x＜0}D．{x|－1＜x＜0或2＜x＜3}解析：|x－1|＜2的解为－1＜x＜3，|x－1|＞1的解为x＜0或x＞2．∴A∩B＝{x|－1＜x＜0或2＜x＜3}．答案：D5．已知不等式｜x－2｜＜a(a＞0)的解集是｛x｜－1＜x＜b}，则a＋2b＝．解析：不等式｜x－2｜＜a的解集为｛x｜2－a＜x＜2＋a｝由题意知：｛x｜2－a＜x＜2＋a｝＝｛x｜－1＜x＜b｝∴53212cacaa∴a＋2b＝3＋2×5＝13答案：136．不等式|x＋2|＞x＋2的解集是______．解析：∵当x＋2≥0时，|x＋2|＝x＋2，x＋2＞x＋2无解．当x＋2＜0时，|x＋2|＝－(x＋2)＞0＞x＋2∴当x＜－2时，｜x＋2｜＞x＋2答案：｛x｜x＜－2｝7．解下列不等式：(1)|2－3x|≤2；(2)|3x－2|＞2．解：(1)由原不等式得－2≤2－3x≤2，各加上－2得－4≤－3x≤0，各除以－3得34≥x≥0，解集为{x|0≤x≤34}．(2)由原不等式得3x－2＜－2或3x－2＞2，解得x＜0或x＞34，故解集为{x|x＜0或x＞34}．8．解下列不等式：(1)3≤|x－2|＜9；(2)|3x－4|＞1＋2x．解：(1)原不等式等价于不等式组由①得x≤－1或x≥5；由②得－7＜x＜11，把①、②的解表示在数轴上(如图)，∴原不等式的解集为{x|－7＜x≤－1或5≤x＜11}．(2)原不等式等价于下面两个不等式组，即原不等式的解集是下面两个不等式组解集的并集：①;2143,043xxx②.21)43(,043xxx由不等式组①解得x＞5；由不等式组②解得x＜53．∴原不等式的解集为{x|x＜53或x＞5}．9．设A＝｛x｜｜2x－1｜≤3｝，B＝｛x｜|x＋2｜＜1｝，求集合M，使其同时满足下列三个条件：(1)M［(A∪B)∩Z］；(2)M中有三个元素；(3)M∩B≠解：∵A＝｛x｜｜2x－1｜≤3｝＝｛x｜－1≤x≤2｝B＝｛x｜|x＋2｜＜1｝＝｛x｜－3＜x＜－1｝∴M［(A∪B)∩Z］＝｛x｜－1≤x≤2｝∪｛x｜－3＜x＜－1｝∩Z＝｛x｜－3＜x≤2｝∩Z＝｛－2，－1，0，1，2｝又∵M∩B≠，∴－2∈M．又∵M中有三个元素∴同时满足三个条件的M为：｛－2，－1，0｝，｛－2，－1，1｝，｛－2，－1，2｝，｛－2，0，1｝，｛－2，0，2｝，｛－2，1，2｝．【学后反思】解绝对值不等式，关键在于“转化”．根据绝对值的意义，把绝对值不等式转化为一次不等式(组)．｜x｜＜a与｜x｜＞a(a＞0)型的不等式的解法及利用数轴表示其解集．不等式｜x｜＜a(a＞0)的解集是｛x｜－a＜x＜a｝．其解集在数轴上表示为(见图1—7)：不等式｜x｜＞a(a＞0)的解集是｛x｜x＞a或x＜－a｝，其解集在数轴上表示为(见图1—8)：把不等式｜x｜＜a与｜x｜＞a(a＞0)中的x替换成ax＋b，就可以得到｜ax＋b｜＜b与｜ax＋b｜＞b(b＞0)型的不等式的解法．