必修1一元二次不等式的解法复习(含详细知识点和例题答案)

1①一元二次不等式的定义象250xx这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式②探究一元二次不等式250xx的解集怎样求不等式（1）的解集呢？探究：（1）二次方程的根与二次函数的零点的关系容易知道：二次方程的有两个实数根：120,5xx二次函数有两个零点：120,5xx于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点。（2）观察图象，获得解集画出二次函数25yxx的图象，如图，观察函数图象，可知：当x0，或x5时，函数图象位于x轴上方，此时，y0,即250xx；当0x5时，函数图象位于x轴下方，此时，y0,即250xx；所以，不等式250xx的解集是|05xx，从而解决了本节开始时提出的问题。③探究一般的一元二次不等式的解法任意的一元二次不等式，总可以化为以下两种形式：220,(0)0,(0)axbxcaaxbxca或一般地，怎样确定一元二次不等式cbxax20与cbxax20的解集呢？组织讨论：从上面的例子出发，综合学生的意见，可以归纳出确定一元二次不等式的解集，关键要考虑以下两点：(1)抛物线ycbxax2与x轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程cbxax2=0的根的情况(2)抛物线ycbxax2的开口方向，也就是a的符号总结讨论结果：（l）抛物线ycbxax2（a0）与x轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程cbxax2=0的判别式acb42三种取值情况(Δ0，Δ=0，Δ0）来确定.因此，要分二种情况讨论（2）a0可以转化为a02分ΔO，Δ=0，Δ0三种情况，得到一元二次不等式cbxax20与cbxax20的解集一元二次不等式00022acbxaxcbxax或的解集：设相应的一元二次方程002acbxax的两根为2121xxxx且、，acb42，则不等式的解的各种情况如下表：000二次函数cbxaxy2（0a）的图象cbxaxy2cbxaxy2cbxaxy2一元二次方程的根002acbxax有两相异实根)(,2121xxxx有两相等实根abxx221无实根的解集)0(02acbxax21xxxxx或abxx2R的解集)0(02acbxax21xxxx④解一元二次不等式的步骤：①将二次项系数化为“+”：A=cbxax20(或0)(a0)②计算判别式，分析不等式的解的情况：ⅰ.0时，求根1x2x，.002121xxxAxxxA，则若；或，则若ⅱ.=0时，求根1x＝2x＝0x，.00000xxAxAxxA，则若；，则若的一切实数；，则若ⅲ.0时，方程无解，.00xARxA，则若；，则若③写出解集.⑤求解不等式的方法，就是将不等式转化为熟悉，可解的不等式，因此一元二次不等式的求解，也可采用以下解法。3x2+3x-40(x+4)(x-1)0或或-4x1或。原不等式解集为{x|-4x1}。x2+3x-40(x+)2|x+|-x+-4x1。原不等式解集为{x|-4x1}。⑥含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按2x项的系数a的符号分类，即0,0,0aaa;例1解不等式：0122xaax分析：本题二次项系数含有参数，044222aaa，故只需对二次项系数进行分类讨论。解：∵044222aaa解得方程0122xaax两根,24221aaaxaaax24222∴当0a时,解集为aaaxaaaxx242242|22或当0a时，不等式为012x,解集为21|xx当0a时,解集为aaaxaaax242242|224二、按判别式的符号分类，即0,0,0；例2解不等式042axx分析本题中由于2x的系数大于0,故只需考虑与根的情况。解：∵162a∴当4,4a即0时，解集为R；当4a即Δ＝0时，解集为2axRxx且；当4a或4a即0,此时两根分别为21621aax，21622aax，显然21xx,∴不等式的解集为21621622aaxaaxx〈或例3解不等式Rmxxm014122解因,012m2223414)4(mm所以当3m，即0时，解集为21|xx；当33m，即0时，解集为1321322222mmxmmxx〈或；当33mm或，即0时，解集为R。5三、按方程02cbxax的根21,xx的大小来分类，即212121,,xxxxxx；例4解不等式)0(01)1(2axaax分析：此不等式可以分解为：0)1(axax，故对应的方程必有两解。本题只需讨论两根的大小即可。解：原不等式可化为：0)1(axax，令aa1，可得：1a∴当1a或10a时，aa1，故原不等式的解集为axax1|；当1a或1a时，aa1,可得其解集为；当01a或1a时,aa1,解集为axax1|。