1质点动力学

第一章质点动力学基础课堂教学软件制作：支希哲朱西平侯美丽第一章质点动力学基础动力学一、动力学的任务质点动力学质点系动力学动力学质点系——一群具有某种联系的质点，刚体可以看成不变形的质点系。质点——具有一定质量但可以忽略其尺寸大小的物体。——研究物体的机械运动与作用力之间关系的科学。二、动力学的应用动力学的形成与发展是和生产的发展密切联系的，特别是在现代工业与科学技术迅猛发展的今天，对动力学提出了更加复杂的课题。例如：高速转动机械的动力计算、航空航天高技术、动强度分析、机械手、机器人、系统的动力稳定性等都需要动力学理论。三、动力学的分类绪论第一章质点动力学基础动力学西北工业大学支希哲朱西平侯美丽质点动力学基础第一章第一章质点动力学基础§1-1动力学的基本定律§1-2质点运动微分方程§1-3质点动力学基本问题§1-4质点动力学问题的例子第一章质点动力学基础§1-5质点的相对运动动力学动力学目录第一章质点动力学基础第一定律惯性定律第二定律力与加速度关系定律第三定律作用与反作用定律§1-1动力学的基本定律第一章质点动力学基础质点因受力作用而产生的加速度,其方向与力相同，其大小与力成正比而与质量成反比。§1-1动力学的基本定律第一定律惯性定律质点如不受力作用,则保持其运动状态不变,即作直线匀速运动或者静止。第二定律力与加速度关系定律第三定律作用与反作用定律任何两个物体间相互作用的力,总是大小相等，方向相反,沿同一直线，同时分别作用在这两个物体上。第一定律说明了任何物体都具有惯性。F=ma第二定律说明了物体机械运动状态的改变，不仅决定于作用于物体的力，而且与物体的惯性有关。第三定律说明了二物体间相互作用力的关系。(1–1)第一章质点动力学基础§1-1动力学的基本定律2.牛顿第一定律和第二定律不是在任何参考系中皆成立的。1.F=ma该式称为质点动力学基本方程。说明：3.牛顿定律适用的参考系称为基础坐标系。4.惯性参考系——相对于基础参考系作惯性运动的坐标系。5.在惯性参考系中牛顿定律也同样适用。加速度可分为aa，ae，ar，ac，公式F=ma中的a指的是什么加速度。思考题第一章质点动力学基础矢量形式直角坐标形式自然形式§1-2质点运动微分方程第一章质点动力学基础§1-2质点运动微分方程设有可以自由运动的质点M，质量是m，作用力的合力是F，加速度是a。这就是质点运动微分方程的矢量形式。)21(dd22FrtmxyzrMFaO一、矢量形式第一章质点动力学基础§1-2质点运动微分方程把上式沿固定直角坐标系Oxyz的各轴投影,得Fx,Fy,Fz是作用力F的合力在各轴上的投影。式(1-3)是直角坐标形式的质点运动微分方程。)31(dd,dd,dd222222zyxFtzmFtymFtxm二、直角坐标形式)21(dd22Frtm这就是质点运动微分方程的矢量形式。xyzrMFaO第一章质点动力学基础如采用自然轴系Mtnb,并把式(1-2)向各轴投影,可得式中是加速度a在切线、主法线和副法线正向的投影;Ft,Fn和Fb是合力F在相应轴上的投影。式(1-4)就是自然形式的质点运动微分方程。)41(0,,ddbn2t22FFvmFtsm0,ddb2n22tavatsa和§1-2质点运动微分方程xyzrMFaOntb三、自然形式)21(dd22Frtm这就是质点运动微分方程的矢量形式。第一章质点动力学基础质点动力学的第一类问题质点动力学的第二类问题§1-3质点动力学基本问题第一章质点动力学基础§1-3质点动力学基本问题质点动力学的两类问题:质点动力学的第二类问题：已知力，求运动。质点动力学的第一类问题：已知运动，求力。●解决第一类问题，只需根据质点的已知运动规律r=r(t)，通过导数运算，求出加速度，代入(1-1)——(1-4)，即得作用力F。)21(dd22Frtmma=F(1-1))41(0,,ddbn2t22FFvmFtsmzyxFtzmFtymFtxm222222dd)31(dddd●求解第二类问题，是个积分过程。必须注意：在求解第二类问题时，方程的积分中要出现积分常数，为了完全确定质点的运动,必须根据运动的初始条件定出这些积分常数。第一章质点动力学基础§1-3质点动力学基本问题例题1-1设电梯以不变的加速度a上升,求放在电梯地板上重W的物块M对地板的压力。分析物体M，它受重力W和地板反力FN的作用。ma=FNW注意到m=W/g，则由上式解得地板反力)1(NgaWagWWFMMFNaWx根据F=ma可得解:例题1-1第一章质点动力学基础§1-3质点动力学基本问题例题1-1)1(NgaWagWWF上式第一部分称为静压力，第二部分称为附加动压力，FN'称为动压力。令gan1nWF则1.n＞1,动压力大于静压力，这种现象称为超重。2.n＜1,动压力小于静压力，这种现象称为失重。所以地板所受的压力为MMFNaWx讨论第一章质点动力学基础磅秤指针如何变化？§1-3质点动力学基本问题第一章质点动力学基础磅秤指针如何变化？§1-3质点动力学基本问题第一章质点动力学基础§1-3质点动力学基本问题1.明确研究对象；质点动力学解题步骤：2.进行受力分析，并画出受力图；3.进行运动分析，并画出相应的运动学量，如速度、加速度、角速度、角加速度等；4.选择动力学定理进行分析求解。第一章质点动力学基础例题1-2单摆M的摆锤重W,绳长l,悬于固定点O,绳的质量不计。设开始时绳与铅垂线成偏角0≤/2,并被无初速释放，求绳中拉力的最大值。§1-3质点动力学基本问题例题1-2第一章质点动力学基础任意瞬时，质点的加速度在切向和法向的投影为写出质点的自然形式的运动微分方程22n22t)dd(,ddltlaltla)2(cos)1(sinN2ntWFlgWmaWlgWma§1-3质点动力学基本问题OMM0φφ0解:摆锤M在绳的约束下只能沿已知圆弧运动，用自然形式的质点用自然形式的运动微分方程求解较方便。nt以摆锤M为研究对象。选择如图自然轴系。OMM0φφ0FNWanatφ例题1-2第一章质点动力学基础考虑到则式(1)化成对上式采用定积分,把初条件作为积分下限，有从而得把式(4)代入式(2)，得绳拉力FN=W(3cos2cos0)显然，当摆球M到达最低位置=0时，有最大值。故FNmax=W(32cos0)dd21dddddddd2ttsindd212lgd)sin2()(d002lg)4()cos(cos202lg)2(cos)1(sinN2WFlgWWlgW§1-3质点动力学基本问题例题1-2OMM0φφ0FNWanatφ（3）第一章质点动力学基础例题1-3小车载着质量为m物体以加速度a沿着斜坡上行，如果物体不捆扎，也不致于掉下，物体与小车接触面的摩擦系数至少应为多少？aφ解：取物体为研究对象。mgFNFφayxsinmgFmacos0NmgFcosNmgF)sin(gamgF解得§1-3质点动力学基本问题例题1-3第一章质点动力学基础cosNmgF)sin(gamgF要保证物体不下滑，应有即cos)sin(mingaf§1-3质点动力学基本问题aφmgFNFφayx例题1-3NmaxfFFF≤cos)sin(fmggamg≤第一章质点动力学基础质点相对运动动力学基本方程几种特殊情形§1-5质点的相对运动微分方程第一章质点动力学基础§1-5质点的相对运动微分方程设已知坐标系O1x1y1z1对于基础坐标系Oxyz进行着某种运动。以F和FN代表作用于质点M的主动力和约束力，对于基础坐标系Oxyz，有maa=F+FN由运动学知，绝对加速度aa等于牵连加速度ae，相对加速度ar和科氏加速度aC三者的矢量和，即aa=ae+ar+aCMxyzOaaaraeaCvr一、质点相对运动动力学基本方程代入上式得m(ae+ar+aC)=F+FN第一章质点动力学基础则有mar=F+FN+Fe*+FC*这就是质点的相对运动微分方程，又叫质点相对运动的动力学基本方程。令Fe*=mae,FC*=maC§1-5质点的相对运动微分方程m(ae+ar+aC)=F+FNmar=F+FN－mae－maCMarxyzOaeaaaCvrFe*和FC*分别称为质点的牵连惯性力和科氏惯性力，通称为欧拉惯性力。第一章质点动力学基础设动系O1x1y1z1对于基础坐标系Oxyz作匀速直线运动。牵连加速度、科氏加速度都等于零。故设动系O1x1y1z1相对基础坐标系作平动。在此情况下,没有科氏加速度和对应的科氏惯性力。故这时质点的相对加速度就等于对基础坐标系的绝对加速度。1.相对于平动坐标系的运动mar=F+FN+Fe*2.相对于惯性坐标系的运动mar=F+FN§1-5质点的相对运动微分方程二、几种特殊情形MarxyzOaeaaaCvrmar=F+FN+Fe*+FC*mar=F+FN－mae－maC第一章质点动力学基础（1）相对平衡——F+FN+Fe*+FC*=0当质点相对于动系作匀速直线运动时，称为相对平衡。F+FN+Fe*=03.相对平衡和相对静止§1-5质点的相对运动微分方程几种特殊情形此时ar=0，有（2）相对静止——当质点在动系中的位置不变时，称为相对静止。此时vr=0,ar=0,aC=0,有mar=F+FN+Fe*+FC*mar=F+FN－mae－maC第一章质点动力学基础例题1-8设车厢以匀加速度a沿水平直线轨道向右行驶。求由车厢棚顶M0处自由落下的质点M的相对运动。§1-5质点的相对运动微分方程x1z1y1hFe*WM0Ma例题1-8第一章质点动力学基础解:分析质点M，取动坐标系O1x1y1z1固连于车厢。根据质点相对运动动力学基本方程mar=W+Fe*(1)其中：Fe*=mae，方向与车厢加速度a相反。把式(1)向动坐标系各轴上投影,得相对运动微分方程mgzmmaymxm111,,0即)2(,,0111gzayx§1-5质点的相对运动微分方程mar=F+FN+Fe*+FC*注意到动系作直线平动，有x1z1y1hFe*WM0Ma例题1-8第一章质点动力学基础当t=0时,)3(0;,0111111zyxvvvhzyx把式(2)积分，并利用初始条件(3)确定积分常量，求得质点的相对运动规律为2121121,21,0gthzatyx消去时间t后，得到相对轨迹方程11yaghz这表示轨迹是一条向后方偏斜的直线。)2(,,0111gzayx根据所选坐标系,质点运动的初始条件写成§1-5质点的相对运动微分方程x1z1y1hFe*WM0Ma例题1-8第一章质点动力学基础例题1-9细管AB以匀角速度绕铅直轴O1z1转动，管内放一质量是m的光滑小球M。欲使小球在管内任何位置处于相对静止，或沿管作匀速相对运动，则细管应在铅直平面O1y1z1内弯成何种曲线?§1-5质点的相对运动微分方程My1z1O1cθABω例题1-9第一章质点动力学基础动画演示§1-5质点的相对运动微分方程小球相对静止小球作匀速相对运动例题1-9第一章质点动力学基础解:设细管弯成图示形状，取动系与弯管固连。分析小球，实际作用于小球的力有重力W和管壁的法向反力FN。此外，当研究小球M相对于转动坐标系O1y1z1的运动时，还要加入小球的牵连惯性力和科氏惯性力。小球牵连惯性力Fe*的大小等于Fe*=m2|y1|,其方向水平而背离铅直转轴O1z1。§1-5质点的相对运动微分方程My1z1O1cθABωFe*vr科氏惯性力FC*方向垂直于相对速度vr和转轴O1z1，即垂直于O1y1z1平面向里；FNWaeartarn●受力