有理数培优：数形结合谈数轴【附答案】

数形结合谈数轴一、详解知识点数学是研究数和形的学科，在数学里数和形是有密切联系的。我们常用代数的方法来处理几何问题；反过来，也借助于几何图形来处理代数问题，寻找解题思路，这种数与形之间的相互作用叫数形结合，是一种重要的数学思想。运用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段数轴是数形结合的有力工具，主要体现在以下几个方面：1、利用数轴能形象地表示有理数；2、利用数轴能直观地解释相反数；3、利用数轴比较有理数的大小；4、利用数轴解决与绝对值相关的问题。二、知识点反馈(一)利用数轴能形象地表示有理数1、已知有理数𝑎在数轴上原点的右方，有理数𝑏在原点的左方，那么（）A．𝑎𝑏𝑏B．𝑎𝑏𝑏C．𝑎+𝑏0D．𝑎−𝑏0拓广训练：2、如图𝑎,𝑏为数轴上的两点表示的有理数，在𝑎+𝑏,𝑏−2𝑎,|𝑎−𝑏|,|𝑏|−|𝑎|中，负数的个数有（）A．1B．2C．3D．43、把满足2|𝑎|≤5中的整数𝑎表示在数轴上，并用不等号连接。（二）利用数轴能直观地解释相反数；4、如果数轴上点A到原点的距离为3，点B到原点的距离为5，那么A、B两点的距离为。拓广训练：5、在数轴上表示数𝑎的点到原点的距离为3，则𝑎−3=_________。6、已知数轴上有A、B两点，A、B之间的距离为1，点A与原点O的距离为3，那么所有满足条件的点B与原点O的距离之和等于。Oab（三）利用数轴比较有理数的大小；7、已知𝑎0,𝑏0且𝑎+𝑏0，那么有理数𝑎,𝑏,−𝑎,|𝑏|的大小关系是。（用“”号连接）拓广训练：8、若𝑚0,𝑛0且|𝑚||𝑛|，比较−𝑚,−𝑛,𝑚,𝑛,𝑚−𝑛,𝑛−𝑚的大小，并用“”号连接。9、已知𝑎5，比较|𝑎|与4的大小拓广训练：10、已知𝑎−3，试讨论|𝑎|与3的大小。（四）利用数轴解决与绝对值相关的问题。11、有理数𝑎,𝑏,𝑐在数轴上的位置如图所示，式子|𝑎|+|𝑏|+|𝑎+𝑏|+|𝑏−𝑐|化简结果为（）A．2𝑎+3𝑏−𝑐B．3𝑏−𝑐C．𝑏+𝑐D．𝑐−𝑏拓广训练：12、有理数𝑎,𝑏,𝑐在数轴上的位置如图所示，则化简|𝑎+𝑏|−|𝑏−1|−|𝑎−𝑐|−|1−𝑐|的结果为（）A．0B．−2C．2𝑎D．2𝑐Oab-11cOab1c13、已知有理数𝑎,𝑏,𝑐在数轴上的对应的位置如下图：则|𝑐−1|+|𝑎−𝑐|+|𝑎−𝑏|化简后的结果是（）A．𝑏−1B．2𝑎−𝑏−1C．1+2𝑎−𝑏−2𝑐D．1−2𝑐+𝑏三、培优训练14、已知是有理数，且(|𝑥|−1)2+(2𝑦+1)2=0，那以𝑥+𝑦的值是（）A．12B．32C．12或−32D．−1或3215、如图，数轴上一动点𝐴向左移动2个单位长度到达点𝐵，再向右移动5个单位长度到达点𝐶．若点𝐶表示的数为1，则点𝐴表示的数为（）Ａ．7Ｂ．3Ｃ．−3Ｄ．−216、如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A、B、C、D对应的数分别是整数𝑎,𝑏,𝑐,𝑑且𝑑−2𝑎=10，那么数轴的原点应是（）A．A点B．B点C．C点D．D点17、数𝑎,𝑏,𝑐,𝑑所对应的点A、B、C、D在数轴上的位置如图所示，则𝑎+𝑐与𝑏+𝑑的大小关系是（）A．𝑎+𝑐𝑏+𝑑B．𝑎+𝑐=𝑏+𝑑C．𝑎+𝑐𝑏+𝑑D．不确定的18、设𝑦=|𝑥−1|+|𝑥+1|，则下面四个结论中正确的是（）A．𝑦没有最小值B．只一个𝑥使𝑦取最小值C．有限个𝑥（不止一个）使𝑦取最小值D．有无穷多个𝑥使𝑦取最小值19、在数轴上，点A，B分别表示−13和15，则线段AB的中点所表示的数是。20、已知𝑎,𝑏,𝑐,𝑑为有理数，在数轴上的位置如图所示：且6|𝑎|=6|𝑏|=3|𝑐|=4|𝑑|=6,求|3𝑎−2𝑑|−|3𝑏−2𝑎|+|2𝑏−𝑐|的值。Oab-1cDCBABC0DAOabdc10A2B5C21、（南京市中考题）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数𝑎,𝑏，A、B两点这间的距离表示为|𝐴𝐵|，当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，|𝐴𝐵|=|𝑂𝐵|=|𝑏|=|𝑎−𝑏|；图1图2图3图4当A、B两点都不在原点时，①如图2，点A、B都在原点的右边|𝐴𝐵|=|𝑂𝐵|−|𝑂𝐴|=|𝑏|−|𝑎|=𝑏−𝑎=|𝑎−𝑏|；②如图3，点A、B都在原点的左边|𝐴𝐵|=|𝑂𝐵|−|𝑂𝐴|=|𝑏|−|𝑎|=−𝑏−(−𝑎)=|𝑎−𝑏|；③如图4，点A、B在原点的两边|𝐴𝐵|=|𝑂𝐴|+|𝑂𝐵|=|𝑎|+|𝑏|=𝑎+(−𝑏)=|𝑎−𝑏|。综上，数轴上A、B两点之间的距离|𝐴𝐵|=|𝑎−𝑏|。回答下列问题：（1）数轴上表示2和5两点之间的距离是，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是；（2）数轴上表示𝑥和-1的两点A和B之间的距离是，如果|𝐴𝐵|=2，那么𝑥为；（3）当代数式|𝑥+1|+|𝑥−2|取最小值时，相应的𝑥的取值范围是；（4）求|𝑥−1|+|𝑥−2|+|𝑥−3|+⋅⋅⋅+|𝑥−1997|的最小值。B(A)OobBAOobaBAOaboBAOoba参考答案1、D2、B3、-5−4−33454、2或85、0或-66、n−m−mn−nmm−n7、b−aa|b|8、129、解：当a=±4时，|a|=4当4a5时，4|a|5，∴|a|4当−4a4时，0|a|4，∴|a|4当a−4时，|a|4综上所述：当a=±4时，|a|=4当−4a4时，|a|4当4a5或a−4时，|a|410、当−3a3，|a|3；当a=3时，|a|=3；当a3时，|a|311、C12、B13、D14、C15、D16、B17、A18、D解：由题意知：当x−1时，y=-x+1-1-x=-2x当-1≤x≤1时，y=-x+1+1+x=2当x1时，y=x-1+1+x=2x故由上得-1≤x≤1时，y有最小值为219、5解：由题意知：db0ac则①6a=-4d即3a=-2d则3a-2d=-4d0②6a=-6b即3b=-3a则3b-2a=-5a0③6b=-3c即2b=-c则2b-c=-2c0故原式=3a-2d+3b-2a+c-2b=a+b+c-2d又因为6|𝑎|=6|𝑏|=3|𝑐|=4|𝑑|=6所以a=1,b=-1,c=2,d=−32则原式=1-1+2-2×（−32）=520、（1）数轴上表示1和5的两点之间的距离是|5-1|=4，数轴上表示-2和-4的两点之间的距离是|-4-（-2）|=2，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是|1-（-3）|=4；（2）根据绝对值的定义有：数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是|x-（-1）|=|x+1|，如果|AB|=2，那么|x+1|=2，x+1=±2，x=1或-3；（3）根据绝对值的定义有：|x+1|+|x-2|可表示为点x到-1与2两点距离之和，根据几何意义分析知：当x在-1与2之间时，|x+1|+|x-2|有最小值3．故答案为（1）4，2，4；（2）|x-（-1）|=|x+1|，1或-3；（3）-1≤x≤2．（4）本题考点：最大与最小．考点点评：此题主要考查了绝对值的性质以及利用数形结合求最值问题，利用已知得出x=999时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…|x-2007|能够取到最小值是解题关键．此题可以用数形结合来解题：x为数轴上的一点，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…|x-1997|表示：点x到数轴上的1997个点（1、2、3、…、1997）的距离之和，由于原式的绝对值共有1997项，最中间的那一项是|x-999|，所以只需取x=999，它们的和就可以获得最小值。由于原式的绝对值共有1997项，最中间的那一项是|x-999|，所以只需取x=999，它们的和就可以获得最小值，原式可以展开为：|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-1997|，=|999-1|+|999-2|+…+|999-998|+|999-999|+|999-1000|+…+|999-1997|，=998+997+…+1+0+1+…+998，=2×（1+2+3+…+998），=2×998×998+12=998×999，=997002；故答案为：997002