一元二次方程重难点

1/16一．一元二次方程的定义二．有关一元二次方程根的考查（根与系数的关系及两方程公共根问题）三．一元二次方程的解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）四．含绝对值的一元二次方程五．根的判别式及韦达定理①根与系数的关系——对方程根的个数的判别②利用判别式解参数取值范围——含参变量的一元二次方程③通过判别式，证明方程根的个数问题④利用韦达定理求代数式的值（22121212121211,,,,xxxxxxxxxx等）⑤利用韦达定理求参数的值五．一元二次方程整数根问题六．一元二次方程的应用一．一元二次方程的定义定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．关于一元二次方程的定义考查点有三个：①二次项系数不为0；②最高次数为2；③整式方程一般形式：20(0)axbxca，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．二．有关一元二次方程根的考查（根与系数的关系及两方程公共根问题）关于一元二次方程根的考查就是需要将根代入方程得到一个等式，然后再考察恒等变换。（将根代入方程，这是很多同学都容易忽略的一个条件）1.与根有关的代数式化简求值【例】已知x是一元二次方程x2+3x-1=0的实数根，求代数式：235(2)362xxxxx的值．知识导航一元二次方程重难点基础学习2/16【巩固】先化简，再求值：222412()4422aaaaa，其中a是方程x2+3x+1=0的根．2.公共解问题【思考】已知两个二次方程x2+ax+b=0与x2+cx+d=0有一个公共根为1，求证：二次方程2022acbdxx也有一个根为1．【例1】一元二次方程x2−2x−54＝0的某个根，也是一元二次方程x2−(k+2)x+94＝0的根，求k的值．【巩固】当k为何值时，方程x2-（k+2）x+12=0和方程2x2-（3k+1）x+30=0有一公共根？求出此公共根．【变式1】若两个不同的关于x的方程x2+x+a=0与x2+ax+1=0有一个共同的实数根，求a的值及这两个方程的公共实数根．3/16【变式2】已知a＞2，b＞2，试判断关于x的方程x2-（a+b）x+ab=0与x2-abx+（a+b）=0有没有公共根．请说明理由．【拓展1】已知：关于x的方程ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0有一个相同的实数根，且a•b•c≠0，求a+b+c的值【拓展2】设a，b，c为△ABC的三边，且二次三项式x2+2ax+b2与x2+2cx-b2有一个公因式，证明：△ABC一定是直角三角形．三．一元二次方程的解法及求根公式（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）【例1】解方程：（1）2243620xx．（2）（3x+1）（2x-5）=-2（2x-5）（3）2154111xxxx（4）24221933xxxx（7）x+2x−8＝0（2）x+4x−6＝04/16【巩固】（1）已知关于x的方程x2-（2a+1）x+a2+a=0的两个实数根中，只有一根大于5，求a的取值范围．（2）已知x，y满足方程x4+y4+2x2y2-x2-y2-12=0，求x2+y2的值．在解方程里面，一般采取的方法是配方法，应用公式法，因式分解法，其中因式分解法中考查最多的是十字相乘法，因此在学习的时候要求对这几种方法熟练掌握，一般来说，对于初学者而言，在解方程里面最常使用的是公式法，但在熟练掌握根与系数的关系之后，配方法相较会简单一些。【例1】若m、n为有理数，n是无理数，m+n是有理系数方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个根，证明：m-n也是这个方程的一个根．【例2】设x1、x2是方程x2-6x+a=0的两个根，以x1、x2为两边长的等腰三角形只可以画出一个，试求a的取值范围．【例3】当x满足条件13311(4)(4)23xxxx时，求出方程x2-2x-4=0的根．【巩固】（1）解方程：x2-x-5=0．（2）若不等式组2311(3)2xxx整数解是关于x的方程2x-4=ax的根，求a的值．5/16四．含绝对值的一元二次方程【例1】阅读例题，模拟例题解方程．例：解方程x2+|x-1|-1=0．解：（1）当x-1≥0即x≥1时，原方程可化为：x2+（x-1）-1=0即x2+x-2=0，解得x1=1，x2=-2（x2不合题意，舍去）；（1）当x-1＜0即x＜1时，原方程可化为：x2-（x-1）-1=0即x2-x=0，解得x3=0，x4=1（x4不合题意，舍去）．综合（1）、（2）可知原方程的根是x1=1，x2=0．请模拟以上例题解方程：x2+|x+3|-9=0．【巩固】解方程：（1）2191()1010xx|x2-1|（2）24562xxx【例2】解方程：（1）x2-|x-2|-6=0．（2）x2-4|x|-5=0．【巩固】设方程22140xx，求满足该方程的所有根之和．6/16五．根的判别式及韦达定理1根与系数的关系——对方程根的个数的判别判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程20(0)axbxca的根由其系数a、b、c确定，它的根的情况（是否有实数根）由24bac确定．设一元二次方程为20(0)axbxca，其根的判别式为：24bac则①0方程20(0)axbxca有两个不相等的实数根21,242bbacxa．②0方程20(0)axbxca有两个相等的实数根122bxxa．③0方程20(0)axbxca没有实数根．【例1】（1）解方程：x2+4x-5=0；（2）求证：无论k取任意值，关于x的一元二次方程x2-kx+（k-2）=0一定有两个不相等是实数根．【巩固1】已知关于x的方程x2+ax+a-2=0（1）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【巩固2】已知关于x的方程2(1)10nxmx①有两个相等的实数根．求证：关于y的一元二次方程222440mymymn②必有两个相等的实数根．难点突破7/16【变式】已知关于x的一元二次方程x2+2（k-1）x+k2-1=0有两个不相等的实数根．（1）求实数k的取值范围；（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．【巩固】已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2+2=0有两个相等的实数根，试判断直线y=（2k-3）x-4k+12能否通过点A（-2，4），并说明理由．②利用判别式解参数取值范围——含参变量的一元二次方程【例1】关于x的一元二次方程2(12)2110kxkx有两个不相等的实数根，求k的取值范围．【变式】已知关于x的方程222(1)50xmxm有两个不相等的实数根，化简：2|1|44mmm【例2】关于x的方程26860axx有实数根，则整数a的最大值是．【巩固】若关于x的一元二次方程2(1)210kxx有实数根，则k的最小整数值为_________【例3】已知：方程22250mxmxm没有实数根，且5m，求证：25220mxmxm8/16有两个实数根．【巩固】已知：m、n为整数，关于x的二次方程2(7)30xmxn有两个不相等的实数解，2(4)60xmxn有两个相等的实数根，2(4)10xmxn没有实数根，求m、n的值．③通过判别式，证明方程根的个数问题【例1】对任意实数m，求证：关于x的方程222(1)240mxmxm无实数根．【变式】已知方程2210xxm没有实数根，求证：方程2121xmxm一定有两个不相等的实数根.【巩固】已知：方程22250mxmxm没有实数根，且5m，求证：25220mxmxm有两个实数根．【拔高1】已知关于x的二次方程2110xpxq与2220xpxq，求证：当12122()ppqq时，这两个方程中至少有一个方程有实数．【拔高2】已知实数a、b、c、r、p满足2pr，20pcbra，求证：一元二次方程220axbxc9/16必有实根．④利用韦达定理求代数式的值（22121212121211,,,,xxxxxxxxxx等）【例1】已知关于x的一元二次方程x2-22x+m=0有两个不相等的实数根．（1）求实数m的最大整数值；（2）在（1）的条下，方程的实数根是x1，x2，求代数式x12+x22-x1x2的值．【巩固】已知x1，x2是一元二次方程（m-3）x2+2mx+m=0的两个实数根．（1）是否存在实数m，使-x1+x1x2=4+x2成立？若存在，求出m的值，若不存在，请你说明理由；（2）若|x1-x2|=3，求m的值和此时方程的两根．⑤利用韦达定理求参数的值【例1】一元二次方程mx2-2mx+m-2=0．（1）若方程有两实数根，求m的范围．（2）设方程两实根为x1，x2，且|x1-x2|=1，求m．【巩固1】已知关于x的一元二次方程x2+2（m+1）x+m2-1=0．（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；10/16（2）若方程两实数根分别为x1，x2，且满足（x1-x2）2=16-x1x2，求实数m的值．【巩固2】已知：关于x的一元二次方程kx2-（4k+1）x+3k+3=0（k是整数）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＜x2），设y=x2-x1-2，写出y关于变量k的函数表达式．【练习】已知关于x的方程mx2+（3-2m）x+（m-3）=0，其中m＞0．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，其中x1＞x2，若y＝2113xx，求y与m的函数关系式；（3）在（2）的条件下，请根据函数图象，直接写出使不等式y≤-m成立的m的取值范围．【变式1】关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2．（1）求k的取值范围；（2）如果x1+x2-x1x2＜-1且k为整数，求k的值．【巩固】已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；11/16（2）是否存在实数k使得x1•x2-x12-x22≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．【变式2】已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根．第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．【巩固】已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2-2（m+1）x+m2+5=0的两实数根．（1）若（x1-1）（x2-1）=28，求m的值；（2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．【变式3】设m是不小于-1的实数，使得关于x的方程x2+2（m-2）x+m2-3m+3=0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）若12111xx，求132m的值；（2）求2121211mxmxmxx的最大值．五．一元二次方程整数根问题12/161.有理数根问题方程20axbxc（0a，a、b、c均为有理数）的根为有理数的条件是：为有理数2.整数根问题一元二次方程有正（负、非正、非负）整数根，用十字相乘或公式法求出两个根，并将两根化简，分子部分不能有字母，再讨论整数根，并考虑根为正（负、非正、非负）数。一元二次方程有整数根，但用十字相乘或公式法求出的两个根含有根号时，如-39-4=aaxa，要利用换元法，设9-4ak，得出29-=4ka，将x中的a全部替换，得出两个不含根号的解，再讨论整数根问题，方法同上；若△=4