2019考研数学二真题及答案

2019考研数学二真题及答案一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.1、当0x时，若tanxx与kx是同阶无穷小量，则k（）A、1.B、2.C、3.D、4.【答案】C.【解析】因为3tan~3xxx，所以3k，选C.2、曲线3sin2cosyxxxx　　－２２的拐点是（）A、,　２２.B、0,2　.C、,2　.D、33,　２２.【答案】C.【解析】cossinyxxx　　，sinyxx，令sin0yxx，解得0x或x。当x时，0y；当x时，0y，所以,2　是拐点。故选C.3、下列反常积分发散的是（）A、0xxedx.B、20xxedx.C、20tan1arxxdxx.D、201xdxx.【答案】D.【解析】A、00001xxxxxedxxdexeedx，收敛；B、222001122xxxedxedx，收敛；C、22200tan1arctan128arxxdxxx，收敛；D、2222000111(1)ln(1)1212xdxdxxxx，发散，故选D。4、已知微分方程的xyaybyce通解为12()xxyCCxee，则,,abc依次为（）A、1,0,1.B、1,0,2.C、2,1,3.D、2,1,4.【答案】D.【解析】由题设可知1r是特征方程20rarb的二重根，即特征方程为2(1)0r，所以2,1ab　。又知*xye是方程2xyyyce的特解，代入方程的4c。故选D。5、已知积分区域,2Dxyxy　，221DIxydxdy，222sinDIxydxdy，2231cosDIxydxdy，则（）A、321III.B、213III.C、123III.D、231III.【答案】A.【解析】比较积分的大小，当积分区域一致时，比较被积函数的大小即可解决问题。由2xy，可得2222xy【画图发现2xy包含在圆2222xy的内部】，令22uxy，则02u，于是有sinuu，从而2222sinDDxydxdyxydxdy。令()1cossinfuuu，则()sincosfuuu，()04f。()fu在0,4内单调减少，在,42单调增加，又因为(0)()02ff，故在0,2内()0fu，即1cossinuu，从而2222sin(1cos)DDxydxdyxydxdy。综上，选A。6、设函数(),()fxgx的二阶导数在xa处连续，则2()()lim0()xafxgxxa是两条曲线()yfx，()ygx在xa对应的点处相切及曲率相等的（）A、充分非必要条件.B、充分必要条件.C、必要非充分条件.D、既非充分也非必要条件.【答案】A.【解析】充分性：利用洛必达法则，由2()()lim0()xafxgxxa可得()()lim02()xafxgxxa及()()lim02xafxgx，进而推出()()faga，()()faga，()()faga。由此可知两曲线在xa处有相同切线，且由曲率公式322[1()]yKy可知曲线在xa处曲率也相等，充分性得证。必要性：由曲线()yfx，()ygx在xa处相切，可得()()faga，()()faga；由曲率相等332222()()[1(())][1(())]fagafaga，可知()()faga或()()faga。当()()faga时，所求极限2()()()()()()limlimlim()()2()2xaxaxafxgxfxgxfxgxfaxaxa，而()fa未必等于0，因此必要性不一定成立。故选A。7、设A是4阶矩阵，*A为A的伴随矩阵，若线性方程组0Ax的基础解系中只有2个向量，则*()rA（）。A、0.B、1.C、2.D、3.【答案】A.【解析】因为方程组0Ax的基础解系中只有2个向量，，所以4()2rA，从而()241rA，则*()rA0，故选A。8、设A是3阶实对称矩阵，E是3阶单位矩阵，若22AAE,且4A，则二次型TxAx的规范型为（）A、222123yyy.B、222123yyy.C、222123yyy.D、222123yyy.【答案】C.【解析】设是A的特征值，根据22AAE得22，解得1或2；又因为4A，所以A的特征值为1，-2，-2，根据惯性定理，TxAx的规范型为222123yyy。故选C。二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.9、20lim(2)xxxx.【答案】24e。【解析】0222limln[1(21)]00lim(2)lim[1(21)]xxxxxxxxxxxxe0212lim2(1ln2)24xxxxeee.10、曲线sin1cosxttyt在32t对应点处的切线在y轴上的截距为。【答案】322.【解析】斜率32sin11costdytdxt，切线方程为322yx，截距为322。11、设函数()fu可导，2()yzyfx，则2zzxyxy。【答案】2yyfx.【解析】3222222,zyyzyyyfffxxxyxxx　　，22zzyxyyfxyx．12、曲线lncos(0)6yxx的弧长为．【答案】1ln32【解析】2211tansecdsydxxdxxdx66001secln(sectan)ln3.2sxdxxx13、已知函数21sin()xtfxxdtt，则10()fxdx．【答案】1(cos11)4．【解析】设21sin()xtFxdtt,则1111122200000111()()()[()]()222fxdxxFxdxFxdxxFxxdFx211112222000011sin111()sincos(cos11)22244xxFxdxxdxxxdxxx.14、已知矩阵1100211132210034A，ijA表示元素ija的代数余子式，则1112AA．【答案】4.【解析】由行列式展开定理得1112110010001111112111211112101043221312103403400340034AAA．三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15、（本题满分10分）已知函数2,0()1,0xxxxfxxex，求()fx，并求函数()fx的极值．【解析】当0x时，22ln()xxxfxxe，2()2(ln1)xfxxx；当0x时，()(1)xfxxe；22000()(0)12(ln1)(0)limlimlim1xxxxxfxfxxxfxx，即()fx在0x处不可导．综合上述：22(ln1),0()(1),0xxxxxfxxex；令()0fx得驻点1211,xxe；0x是函数()fx的不可导点。当1x时，()0fx；当10x时，()0fx；当10xe时，()0fx；当1xe时，()0fx；故11x是函数的极小值点，极小值为1(1)1fe；21xe是函数的极小值点，极小值为21()efee；函数()fx在0x处连续且有极大值(0)1f．16、（本题满分10分）求不定积分2236(1)(1)xdxxxx．【解析】设222236(1)(1)1(1)1xABCxDxxxxxxx（1）两边同乘以2(1)x且令1x，可得3B；（2）两边同乘以x且令x，可得0AC；（3）两边分别令0x，1x，可得63244ABDABCD；解得2,2,1ACD。则2222362321(1)(1)1(1)1xxxxxxxxx，于是2222362321(1)(1)1(1)1xxdxdxxxxxxxx2223(1)32ln12ln1ln(1)111dxxxxxxCxxxx。17、（本题满分10分）设函数()yx是微分方程2212xyxyex满足条件(1)ye的特解．（1）求()yx的表达式；（2）设平面区域{(,)|12,0()}Dxyxyyx，求D绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积．【解析】（1）方程为一阶线性非齐次微分方程．由通解公式可得222()22211()()()()22xxxxdxxdxyxeeedxCedxCexCxx，把初始条件(1)ye代入，得0C，从而得到22().xyxxe（2）旋转体的体积为2222411()()2xxVyxdxxedxee．18、（本题满分10分）设平面区域2234{(,)|,()}Dxyxyxyy，计算二重积分22Dxydxdyxy．【解析】显然积分区域D关于y轴对称，由对称性可得220Dxdxdyxy；将2234()xyy化为极坐标，有20sinr，于是23sin4222204sinDDxyydxdydxdydrdrxyxy33522444411432sin(1cos)cos22120dd.19、（本题满分10分）设n是正整数，记nS为曲线sin(0)xyexxn与x轴所形成图形的面积，求nS，并求lim.nnS【解析】当2,(21)xkk时，sin0x；当(21),(22)xkk时，sin0x，故曲线sin(0)xyexxn与x轴之间图形的面积应表示为(1)00sinsinnnkxxnkkSexdxexdx，先计算(1)sinkxkkbexdx，作变量替换uxk，于是有()0sin()ukkbeukdu0sinkueeudu001sin[sincos]2kukueeudueeuu12kee.所以00(1)(1)(1)(1)(1)22(1)2(1)knnnnnkkkeeeeeeSbee，因此(1)(1)1limlim2(1)2(1)nnnneeeSee。20、（本题满分11分）已知函数(,)uxy满足关系式222222330uuuuxyxy．求,ab的值，