数列中分奇偶项求和问题

1数列中分奇偶数项求和问题数列求和问题中有一类较复杂的求和,要对正整数n进行分奇数和偶数情形的讨论,举例说明如下：一、相邻两项符号相异；例1：求和：n1nSn-3…（-1）（4）nN解：当n为偶数时：S1591342nnnnn当n为奇数时：159134n32nS（4-3）（4-）n-1nnnn二、相邻两项之和为常数；例2：已知数列{an}中a1=2，an+an+1=1，Sn为{an}前n项和，求Sn解：①当n为偶数时：12341nnnSaaaaaa…12341()()()122nnnnaaaaaa…②当n为奇数时：123451()()()nnnSaaaaaaa…13222nn三、相间两项之差为常数；例3：已知数列{an}中a1=1，a2=4，an=an-2+2（n≥3），Sn为{an}前n项和，求Sn解：∵an-an-2=2（n≥3）∴a1,a3,a5,…,a2n-1为等差数列；a2,a4,a6,…,a2n为等差数列当n为奇数时：11(1)22nnan当n为偶数时：4(1)222nnan即n∈N+时，1(1)nnan∴①n为奇数时：1(1)(123)2122nnnnSnn…②n为偶数时：(1)(123)222nnnnSnn…四、相间两项之比为常数；例4：已知an，an+1为方程21()03nnxCx的两根n∈N+，a1=2，Sn=C1+C2+…+Cn，2求an及S2n。解：依题意：11()3nnnaa∴213nnaa其中1212,6aa。∴13521,,,...,naaaa为等比数列；2462,,,...,naaaa为等比数列∴①n为偶数时：11222211111()()()36323nnnnaa②n为奇数时：11122112()2()33nnna则有：12212()21()311()2()23{nnnnkkNankkN而Cn=an+an+1∴①n为奇数时，n+1为偶数：11122211111312()()()32363nnnnnnCaa则：1352113163113nnCCCC（1-）…②n为偶数时，n+1为奇数：222111151()2()()23323nnnnnnCaa则：于是：24625163113nnCCCC（1-）…21234212...11(1)(1)1359133..(1)1166231133nnnnnnScccccc