9.8章定积分考研专题

2012数学分析2第九章定积分考研专题典型例习题与考研题----------一元函数积分学20sin1sincos(03(3)10229#4(2))xdxxxp例定积分的计算重庆大学二分，华上质进行计算。法二：利用定积分的性公式；定积分），再用法一：先求原函数（不定积分计算的一般方法LN变换。用三角函数的关系进行积分方法；用三角有理函数的不定先求不定积分解法一：)2)1cossinsindxxxx于是：参见华上则令法一：)),10(~)8(194(12.11cos,12sin,2tan2222ptdtdxttxttxtxCttttdttttttdtttttdtttttdtttttttdxxxx|21|ln21|21|ln21arctan)1ln(21)211212112111(1)21)(21(41212212111212cossinsin2222222222Cxxxx|12tan2)2(tan|ln21)2arctan(tan))2(tan1ln(21224|]12tan2)2(tan|ln21)2arctan(tan))2(tan1ln(21[cossinsin202220xxxxdxxxx所以：Cxxxdxxxxxdxxxxxxxdxxxx|)cossin|ln(21]cossin)cos(sin1[21cossin)cos(sin)cos(sin21cossinsin'法二：4/||)cossin|ln(21cossinsin2/02/0xxxdxxxx所以：4/21cossincossin21]sincoscoscossinsin[21cossinsinsincoscossincoscos2/cossinsin2/02/02/02/02/02/02/02/0dxdxxxxxdxxxxdxxxxdxxxxdxxxxdtttttxdxxxx法三：dxxxxdxxxxpdxxfdxxfnnnnnn2/02/02/02/0cossincoscossinsin))1(7#230()(cos)(sin或计算法三可推广：参见华上性质：法三则利用了定积分的；导数间关系，构思巧妙法二利用了双弦函数的；思路简单但计算量太大，式的不定积分一般步骤法一利用三角函数有理注：)8)1(01()cossincossin(402分四东南大学练习：dxxxxx422cossinsincos|cossincossincossin1)cos(sin)cos(sin)cos(sincossin)cossincossin(404/040402402dxxxxxxxxxxxdxxxxdxxxxdxxxxx102ln(1)(96(5))xdx例定积分的计算山东大学一21|)|ln221(2ln)12(2ln)1(|ln)1()1(ln)1ln(,)1(,121221212212221102tttdtttdttttttdtdxxtxtx则解：令要换积分限。换元的同时记住分））三（西师。练习6100(1110dxxx2ln4311||)|ln48332()243(2)1(2)1(1111212321221210ttttdttttdtttttxdxxx20sin3(091cos55;011601150326230#7(2))xxdxxp例定积分的计算浙江理工大学二（）分重大三（）分；哈工大一（）分；杭州电子工业学院一（）分；华上行变换。其方法是利用换元法进的结论。此题需要利用教材华上)2(7#230p4|)arctan(cos2)(coscos112cos1sin2cos1sincos1sincos1sincos1sincos1sincos1sin)(cos1sin20020202020202020202xxdxdxxxdxxxxdxxxxdxxxdttttdtttdtttttxdxxxx解：12042(0244xxdx例定积分的计算西师一（）分）tdcxbaxdcxbax并令形式法：将根式写成法二：采用根式代换方后用三角代换；法一：将根式内部配方分；此题考查根式函数的积,12042(0244xxdx例定积分的计算西师一（）分）)198~195(0)0(022ptxacbxaxccxtcbxax参见华上，令如果二次项系数大于，令如果二次项系数小于法三：用欧拉变换，4|)42sin2(cossin1)1(1202022102102ttdtttxdxxdxxx法一：12042(0244xxdx例定积分的计算西师一（）分）103210221032210322102221022222210102)1(18)1(18)1(118)1(8)1(4122)1(4,122,12,2,2)2(2dttdttdtttdtttdtttttdxxxdtttdxtxttxtxxdxxxxdxxx则令法二：太难！！！???122015(0264()32(),()_________fxxfxdxfxdx例定积分的计算西师一（）分）设则5|)2()23()(,121)23()()(23)()(213212211021010210xxdxxdxxfCCdxCxdxxfCdxxfxxfCdxxf则两边积分得到：对，达式。令此题需要先明确函数表06|sin|(04210nxxdxn例定积分的计算，其中为正整数武汉理工一（）分）积分区间进行分段。应考虑先去绝对值，将函数取绝对值，分析：此题涉及到被积。解：211)1(11)1(10)12(|)cos(sin)1(sin)1(|sin|nkxxxxdxxdxxxnknkkkknkkkkn1207()||,[0,),()(9813FyxyxdxyFy例定积分的计算设求的最小值。重庆大学二分）的范围。量所不同的是需要考虑变绝对值，分析：此题同样需要去y10102|1|||)(dxyxxdxyxxyF解：)1(01),10(011yxyxyxyxy时，当321|)32()1()(0110103210yyxxdxyxxyFyxy时，当32131)]3121()321[(3121|)32(|)32()1()1()(222221/132/10321/1/10yyyyyyyyxxyxxdxyxxdxyxxyFyyyy),1(32131]1,0[321)(2yyyyyyF所以：61)1()(]10[]10[)(]1,0[FyFmyFx的最小值为内，内单调递减，所以其在，在而03)(,33)(),1(433'yyFyyyFy时，当唯一的极小值点。内在区间为函数且所以),1()(3,0)3(33'yFF3321931)3()(333),1(FyFmx?61332193133成立。而27243323293461219343321933321931333333321934)3(),0[)(33FyF上的最小值为在区间所以函数'220811[arctan(2tan)],1sin21(01361sinxxIdxx例定积分的计算已知求积分上海大学一（）分）0)]tan2arctan(21[sin11002xdxxILN公式：解：用公式。利用处不成立，故不能直接在系由在于题目所给导数关上述解法是错误的。理LNx2'220811[arctan(2tan)],1sin21(01361sinxxIdxx例定积分的计算已知求积分上海大学一（）分）0221sin111sin11210022dxdxxx因为：从另一方面也可看出，vvuuvvuuxxdxxdxxdxxdxxdxxI|)]tan2arctan(21[lim|)]tan2arctan(21[limsin11limsin11limsin11sin11sin11)2(0)2(2)2(02)2(2/22/0202解：2)2(2)]tan2arctan(21[lim)]tan2arctan(21[lim)2()2(vuvu02cos11dxxI类例：求积分21219(ln(1))(0041xxxdxx例定积分的计算。山东大学一（））2|)arctan(0)111(1)1ln(11))1ln((11112112211221122xxdxxdxxxxdxxxdxxxxx解：））一（陕西师范大学。练习：403()1ln(ln2002200224200312dxxxxxdxxe奇偶性。对第二个积分用函数的分部积分法，提示：对第一个积分用2010101(),(1).01(0145xxxxfxfxdxexe例定积分的计算设求华南理工大学一（）分）区间进行分段。函数的分段情况对积分一般要根据提示：分段函数的积分)1ln(2ln2||1|ln||1|ln111)()()(1)1(11001100110011120etedttdteedttfdttfdttftxdxxfttt解：22211(Schwarz):()()[,](()())()()(0110237#6)bbbaaafxgxabfxgxdxfxdxgxdxp例积分不等式问题证明施瓦茨不等式若和在上可积，则哈工大八分；华上2212()[,]()1,,(()cos)(()sin)1(0110237#6)babbaafxabfxdxkNfxkxdxfxkxdxp例积分不等式问题若在非负连续，对任意有哈工大八分；华上可证。提示了：利用上例结果，同理，证明：bababababababababakxdxxfkxdxxfkxdxxfkxdxxfdxxfdxkxxfdxxfkxdxxfxfkxdxxf22222222sin)()sin)((cos)(cos)())()cos)(())(()cos)()(()cos)((。所以：1)(]sin)[cos(sin)(cos)()sin)(()cos)((222222babababababadxxfdxkxkxxfkxdxxfkxdxxfkxdxxfkxdxxf))2(7#237;12209()(1)(,0)(],[)(2pabdxxfdxxfmxfbaxfbaba华上分）三（浙江理工大学证明：上可积，且在设函数练习：))1(00()(1)(,0)(],[)(2二山东大学证明：上连续，且在设函数abdxxfdxxfxfbaxfbaba分六练习：北京师范大学1599六、（15分）设函数)(xg在],0[