【教育资料】新课标人教A版高中数学必修一--第一章--1.1集合-导学案(无答案)学习精品

教育资源教育资源1.1集合1.1.1集合的含义与表示在小学和初中，我们已经接触过一些集合，例如，自然数的集合，有理数的集合，不等式x-73的解的集合等等那么，集合的含义是什么呢？我们再来看下面的一些例子：（1）1--20以内的所有整数；（2）我国古代的四大发明；（3）不等式30x的所有解；（4）所有的正方形；（5）到一条线段的两个端点距离相等的所有的点；（6）方程0232xx的所有实数根；（7）第七中学2019年9月入学的所有的高一学生。例（1）中，我们把地1一20以内的每一个整数作为元素，这些元素的全体就是一个集合；同样地，例（2）中，把我国古代四大发明的每一项发明作为元素，这些元素的全体也是一个集合。那么，请同学们说一下例（3）到例（7）也能组成集合吗？它们的元素分别是什么？一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为“集”）集合的元素具有三个特性：（1）确定性，给定的集合，它的元素必须是确定的。也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。例如，“中国的直辖市”构成一个集合，那么，北京、上海、天津、重庆在这个集合中，而杭州、南京、广州……不在这个集合中（2）互异性，一个给定集合中的元素是互不相同的。也就是说，集合中的元素是不重复出现教育资源教育资源的（3）无序性，只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的例1.判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由（1）大于3小于11的偶数；（2）我国的小河流；（3）高个子的人；（4）小于2019的数；（5）和2019非常接近的数例2.判断下列集合是否相等（1）{1,3,5}和{3,1,5}（2）{a,bd,c,e}和{e,a,c,bd}我们通常用大写拉丁字母A，B，C，D，…表示集合，用小写拉丁字母a,b,c,d,…表示集合中的元素如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作Aa；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作Aa.例如，我们用A表示“1~20以内的所有素数”组成的集合，则有3A，4A，等等，数学中一些常用的数集及其记法：（1）全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N；（2）所有正整数组成的集合称为正整数集，记作*N或N；（3）全体整数组成的集合称为整数集，记作Z；（4）全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q；（5）全体实数组成的集合称为实数集，记作R.教育资源教育资源例3.用“”和“”填空（1）8N;（2）0N;（3）-3Z;（4）2Q;（5）53R;（6）21*N例4.已知集合p的元素为1，m，132mm，若3p，-1p，求实数m的值从上面的内容看到，我们可以用自然语言描述一个集合。除此之外，还可以用什么方式表示集合呢？列举法我们可以把“地球上的四大洋”组成的集合表示为{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}，把“方程（x-1）（x+2）=0的所有实数根”组成的集合表示为{1，一2}.像这样把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法例1.用列举法表示下列集合：（1）小于10的所有自然数组成的集合；（2）方程xx2的所有实数根组成的集合；（3）由1--20以内的所有素数组成的集合思考：（1）你能用自然语言描述集合{2,4,6,8}吗？（2）你能用列举法表示不等式x-73的解集吗？描述法我们不能用列举法表示不等式x-73的解集，因为这个集合中的元素是列举不完的。但是，我们可以用这个集合中元素所具有的共同特征来描述。例如，不等式x-73的解集中所含元素的共同特征是：Rx，且x-73，即x10.所以，我们可以把这个集合表示为D={Rx|x10}.教育资源教育资源又如，任何一个奇数都可以表示为x=2k+1（Zk)的形式。所以，我们可以把所有奇数的集合表示为E={Zx|x=2k+1,Zk}.用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法。具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。例2.试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）方程022x的所有实数根组成的集合；（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合。2种表示方法各有优点，应根据具体问题决定使用哪种，一般集合中元素较少时，用列举法；元素较多或有无限个时，用描述法1.1.2集合间的基本关系实数有相等关系，大小关系，如5=5，57，53等等，那么集合之间有什么样的关系呢？观察下面几个例子，你能发现两个集合间的关系吗？（1）A={1,2,3}B={1,2,3,4,5}（2）设A为高一2班全体女生组成的集合，B为这个班全体学生组成的集合（3）C={x|x是两条边相等的三角形}D={x|x是等腰三角形}可以发现，在（1）中，集合A的任何一个元素都是B的元素，这时我们说集合A与集合B有包含关系，（2）中的集合A与集合B也有这种关系一般地，对于两个集合A，B，若集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作）（或ABBA，读作“A含于B”（或“B包含A”）在数学中，我们经常用平面上的封闭曲线的内部代表集合，这种图称为韦恩图，上述集教育资源教育资源合A和集合B的包含关系，可以用右图表示在（3）中，由于“两条边相等的三角形”是等腰三角形，因此，集合C,D都是所有等腰三角形组成的集合，即集合C中任何一个元素都是集合D中的元素，同时，集合D中任何一个元素也都是集合C中的元素，这样，集合D的元素与集合C的元素是一样的如果集合A是集合B的子集（AB）且集合B是集合A的子集（BA），此时，集合A与B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作A=B如果集合AB，但存在元素Bx，且Ax，则称集合A是集合B的真子集，记作AB（或BA）例如，在（1）中，AB，但4B，且4A，所以集合A是集合B的真子集我们知道，方程012x没有实数根，所以，方程012x的实数根组成的集合中没有元素我们把不含有任何元素的集合叫作空集，记作，并规定：空集是任何集合的子集重要结论：（1）空集是任何集合的子集（2）空集是任何非空集合的真子集（3）任何一个集合是它本身的子集（4）对于集合A.B.C.若AB，且BC，那么AC（传递性）注：元素与集合是“属于”“不属于”的关系，集合与集合是“含于”“不含于”的关系例1.写出集合{a,b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集例2.用适当符号填空①{1,2}{1,2,3}②{a,b,c}{a,b,c}③1{01|2xx}④{0}⑤0⑥{1,2,3}*N教育资源教育资源例3.已知集合A={023|2xxx}，B={1,2}，C={x|x8,xN},则：①AB②AC③{2}C④2C1.1.3集合的基本运算（1）并集我们知道，实数有加法运算。类比实数的加法运算，集合是否也可以“相加”呢?请同学们考察下列各个集合，你能说出集合C与集合A.B之间的关系吗?(1)A={1,3,5}，B={2,4,6}，C={1,2,3,4,5,6}(2)A={x|x是有理数}，B={x|x是无理数}，C={x|x是实数}在上述两个问题中，集合A,B与集合C之间都具有这样一种关系：集合C是由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与集合B的并集，记作AB（读作“A并B”），即AB={BxAxx或,|}可用韦恩图表示为：这样，在问题（1）（2）中，集合A与B的并集是C，即AB=C例1.设A={4,5,6,8}，B={3,5,7,8}，求AB例2.A={x|x是正方形},B={x|x是长方形},求AB例3.设集合A={x|-1x2},集合B={x|1x3}，求AB我们还可以在数轴上表示例3中的并集AB，如图思考：AA=；A=；ABBA；若AB，则AB=；若BA，则AB=（2）交集请同学们考察下面的问题，集合A.B与集合C之间有什么关系？教育资源教育资源②A=｛x|x是新华中学2019年9月在校的女同学｝，B=｛x|x是新华中学2019年9月入学的高一年级同学｝，C=｛x|x是新华中学2019年9月入学的高一年级女同学｝．我们看到，在上述问题中，集合C是由那些既属于集合A且又属于集合B的所有元素组成的一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作AB，（读作“A交B”），即AB={BxAxx且|}可用韦恩图表示为：这样，在问题（1）（2）中，集合A与B的并集是C，即AB=C例1.A={1,3,5,7}，B={1,2,3,4}，求AB例2.学校开运动会，设A={x|x是高一年级参加百米赛跑的同学}，B={x|x是高一年级参加跳高比赛的同学}，求AB例3.设平面内直线1l上点的集合为1L，直线2l上点的集合为2L，试用集合的运算表示1l，2l的位置关系例4.A={x|x是直角三角形}，B={x|x是等腰三角形}，求AB思考：AA=；A=；ABBA；若AB，则AB=；若BA，则AB=（3）补集教育资源教育资源在研究问题时，我们经常需要确定研究对象的范围。例如，从小学到初中，数的研究范围逐步地由自然数到正分数，再到有理数，引进无理数后，数的研究范围扩充到实数。在高中阶段，数的研究范围将进一步扩充。在不同范围研究同一个问题，可能有不同的结果。例如方程（0)3)(2(2xx的解集，在有理数范围内只有一个解2，即{Qx|0)3)(2(2xx}={2}；在实数范围内有三个解：2，3，-3，即{Rx|0)3)(2(2xx}={2，3，-3}一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，记作U（是相对于所研究问题而言的一个相对概念）对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合，叫做集合A相对于全集U的补集，记作ACU，即ACU={AxUxx且,|}可用韦恩图表示为：例1.设U={x|x是小于9的正整数}，A={1,2,3},B={3,4,5,6}，求ACU，BCU例2.设U={x|x是三角形}，A={x|x是锐角三角形}，B={x|x是钝角三角形}，求AB，)(BACU思考：AACU=；AACU=；)(ACCUU=；UCU=；UC=