1.3.1函数的单调性例题

11.3.1函数的单调性题型一、利用函数的图象确定函数的单调区间例1.作出下列函数的图象，并写出函数的单调区间（1）12xy;（2）322xxy;（3）2)2(1xxy;（4）969622xxxxy相应作业1：课本P32第3题.题型二、用定义法证明函数的单调性用定义法证明函数的单调性步骤：取值作差变形定号下结论取值，即_____________________________；作差变形,作差____________,变形手段有__________、_____、_____、_______等；定号，即____________________________________________________________;④下结论，即______________________________________________________。例2.用定义法证明下列函数的单调性（1）证明：1)(3xxf在,上是减函数.2▲定义法证明单调性的等价形式：设baxx,21、，21xx,那么)(0)()(0)()()(21212121xfxxxfxfxfxfxx在ba,上是增函数；)(0)()(0)()()(21212121xfxxxfxfxfxfxx在ba,上是减函数.(2)证明：xxxf1)(2在其定义域内是减函数；（3）证明：21)(xxf在0,上是增函数；法一：作差法二：作商3（4）已知函数)(xfy在,0上为增函数，且)0(0)(xxf，试判断)(1)(xfxF在,0上的单调性，并给出证明过程；▲方法技巧归纳——判断函数单调性的方法：1、直接法：熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等；如，练习册P27（2）P31（上5、1）2、图象法；3、定义法；4、运算性质法：①当0a时，函数)(xaf与)(xf有相同的单调性；当0a时，函数)(xaf与)(xf有相反的单调性；②当函数)(xf恒不等于零时，)(xf与)(1xf单调性相反；③若0)(xf，则)(xf与)(xf具有相同的单调性；④若)(xf、)(xg的单调性相同，则)()(xgxf的单调性与之不变；▲即：增+增=增减+减=减⑤若)(xf、)(xg的单调性相反，则)()(xgxf的单调性与)(xf同.▲即：增-减=增减-增=增注意：（1）可熟记一些基本的函数的单调性，一些较复杂的函数可化为基本函数的组合形式，再利用上述结论判断；（2）)()(xgxf与)()(xgxf的单调性不能确定.4相应作业2：（1）讨论函数1)(2xaxxf在1,1上的单调性（0a）；▲（2）务必记住“对勾”函数)0()(kxkxxf的单调区间（见练习册P29探究之窗.探究1）知识拓展——复合函数单调性（▲难点）一、复习回顾：复合函数的定义：如果函数)(tfy的定义域为A，函数)(xgt的定义域为D，值域为C，则当AC时，称函数))((xgfy为f与g在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，)(xgt叫内层函数，)(xfy叫外层函数。二、引理1已知函数y=f［g(x)］.若t=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c，d)，又函数y=f(t)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.引理2已知函数y=f［g(x)］.若t=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c，d)，又函数y=f(t)在区间(c,d)上是减函数，那么，复合函数y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.引理1的证明：▲重要结论1：复合法则若)(xgt)(tfy则)(xgfy增增增减减增增减减减增减规律可简记为“_____________________”（四个字）▲重要结论2：若一个函数是由多个简单函数复合而成的，则此复合函数的单调性由简单函数中减函数的个数决定:若减函数有偶数个，则复合函数为增函数；若减函数有奇数个，则复合函数为减函数.5规律可简记为“_____________________”（四个字）题型三、求复合函数的单调区间例3.求下列函数的单调区间.（1）267xxy（2）3212xxy▲小结：1、注意：（1）求单调区间必先求定义域；（2）单调区间必须是定义域的子集；（3）写多个单调区间时，区间之间不能用“”并起来，应用“，”隔开.2、判断复合函数单调性步骤：求函数的定义域；将复合函数分解成基本初等函数：)(tfy与)(xgt；确定两个函数的单调性；④由复合法则“同増异减”得出复合函数单调性.相应作业3：求下列函数的单调区间.（1）228xxy（2）3212xxy（3）xxy4126单调性的应用题型四、比较函数值的大小例4.已知函数)(xfy在,0上是减函数，试比较)43(f与)1(2aaf的大小.题型五、已知单调性，求参数范围例5.已知函数2)(2)(2xaxxxf（1）若)(xf的减区间是4,，求实数a的值；（2）若)(xf在4,上单调递减，求实数a的取值范围.例6.若函数0,)2(0,1)12()(2xxbxxbxbxf在R上为增函数，求实数b的取值范围.7题型六、利用单调性，求解抽象不等式例7.已知函数)(xfy是1,1上的减函数，且)1()1(2afaf，求实数a的取值范围.例8.已知)(xf是定义在,0上的增函数，且)()()(yfxfyxf，且1)2(f，解不等式2)31()(xfxf.相应作业4：已知)(xf是定义在,0上的增函数，且)()()(yfxfxyf，且1)2(f，解不等式3)2()(xfxf.题型七、抽象函数单调性的判断——定义法解决此类问题有两种方法：“凑”，凑定义或凑已知条件，从而使用定义或已知条件得出结论；赋值法，给变量赋值要根据条件与结论的关系，有时可能要进行多次尝试.8例9.已知函数)(xf对任意实数x、y都有)()()(yfxfyxf，且当0x时0)(xf，求证：)(xf在R上单调递增.例10.已知定义在,0上的函数)(xf对任意x、y,0，恒有)()()(yfxfxyf，且当10x时0)(xf，判断)(xf在,0上单调性.相应作业5：定义在,0上的函数)(xf对任意x、y,0，满足)()()(nfmfmnf，且当1x时0)(xf.（1）求)1(f的值；（2）求证：)()()(nfmfnmf；（3）求证：)(xf在,0上是增函数；（4）若1)2(f，解不等式2)2()2(xfxf；9函数的最大（小）值1、函数的最大（小）值定义2、利用单调性求最值常用结论（1）若函数)(xfy在闭区间ba,上单调递增，则)(minafy，)(maxbfy；（2）若函数)(xfy在闭区间ba,上单调递减，则)(minbfy，)(maxafy；（3）若函数)(xfy在开区间ba,上单调递增，则函数无最值，但值域为)(),(bfaf；（4）若函数)(xfy在闭区间ba,上单调递增，在闭区间cb,上单调递减，那么函数)(xfy，cax,在bx处有最大值，即)(maxbfy；（5）若函数)(xfy在闭区间ba,上单调递减，在闭区间cb,上单调递增，那么函数)(xfy，cax,在bx处有最小值，即)(minbfy.题型八、单调性法求函数最值（值域）例11、（1）函数121)(xxf在5,1上的最大值为________,最小值为________;（2）函数112xxy在4,2上的最大值为________,最小值为________;（3）函数xxy212的值域为________________;（4）函数1xxy的值域为________________;（5）函数212xxy的值域为________________;（6）函数xxy1的值域为________________;10二次函数的区间最值的求法二次函数在给定区间nm,上求最值，常见类型：（1）定轴定区间：对称轴与区间nm,均是确定的；（2）动轴定区间：（3）定轴动区间：（4）动轴动区间：1、定轴定区间可数形结合，较易解决，注意对称轴与区间位置关系。例12.当22x时，求函数322xxy的最值.相应作业6：求函数542xxy在5,1上的最值.2、动轴定区间例13.已知函数22)(2axxxf，求)(xf在5,5上的最值.▲动轴定区间问题一般解法：对对称轴在区间左侧、右侧、内部三种情况进行讨论，从而确定最值在区间端点处还是在顶点处取得.相应作业7：求函数12)(2axxxf在2,0上的最值.113、定轴动区间例14.已知函数22)(2xxxf，当1,ttx时，求)(xf的最小值)(tg.相应作业8：已知函数34)(2xxxf，当2,mmx时，求)(xf的最大值)(mg.4、动轴动区间解决方法：可将对称轴和区间之一看做不动，进行讨论.例15.求函数axxy2在ax,1上的最大值.相应作业9：求函数222axxy在1,ax上的最值.