空间几何体表面积和体积练习题

1/8一、知识回顾（1）棱柱、棱锥、棱台的表面积=侧面积+______________；（2）圆柱：r为底面半径，l为母线长侧面积为_______________；表面积为_______________.圆锥：r为底面半径，l为母线长侧面积为_______________；表面积为_______________.圆台：r’、r分别为上、下底面半径，l为母线长侧面积为_______________；表面积为_______________.（3）柱体体积公式：________________________；（S为底面积，h为高）锥体体积公式：________________________；（S为底面积，h为高）台体体积公式：________________________；（S’、S分别为上、下底面面积，h为高）二、例题讲解题1：如图(1)所示，直角梯形ABCD绕着它的底边AB所在的直线旋转一周所得的几何体的表面积是______________；体积是______________。图（1）题2：若一个正三棱柱的三视图如图(2)所示，求这个正三棱柱的表面积与体积图（2）左视图俯视图主视图232483ADCB2/8题3：如图(3)所示，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且ADE，BCF均为正三角形，EF//AB，EF=2，则该多面体的体积为（）A．32B．33C．34D．23图（3）1、若圆柱的侧面积展开图是长为6cm，宽为4cm的矩形，则该圆柱的体积为2、如图(4)，在正方体1111DCBAABCD中，棱长为2，E为11BA的中点，则三棱锥11DABE的体积是____________.图（4）3、已知某几何体的俯视图是如图(5)所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S。图（5）（选做题）4、如图(6)，一个圆锥的底面半径为2cm，高为6cm，在其中有一个高为xcm的内接圆柱。EABDCFBCBBBABDBC1BB1EBA1BD13/8（1）试用x表示圆柱的侧面积；（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大？一、选择题（每小题5分，共计60分。请把选择答案填在答题卡上。）1．以三棱锥各面重心为顶点，得到一个新三棱锥，它的表面积是原三棱锥表面积的A.31B.41C.91D.1612．正六棱锥底面边长为a，体积为323a，则侧棱与底面所成的角等于A.6B.4C.3D.1253．有棱长为6的正四面体S-ABC，CBA,,分别在棱SA，SB，SC上，且SA=2，SB=3，SC=4，则截面CBA将此正四面体分成的两部分体积之比为A.91B.81C.41D.314.长方体的全面积是11，十二条棱长的和是24，则它的一条对角线长是A．32.B.14C.5D.65.圆锥的全面积是侧面积的2倍，侧面展开图的圆心角为，则角的取值范围是A．90,0B270,180C180,90D6.正四棱台的上、下底面边长分别是方程01892xx的两根，其侧面积等于两底面积的和，则其斜高与高分别为A．25与2B.2与23C.5与4D.2与37.已知正四面体A-BCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H，设四面体E-FGH的表面积为T，则ST等于A．91B.94C.41D.318.三个两两垂直的平面，它们的三条交线交于一点O，点P到三个平面的距离比为1∶2∶3，PO=214，则P到这三个平面的距离分别是A．1，2，3B．2，4，6C．1，4，6D．3，6，99.把直径分别为cmcmcm10,8,6的三个铁球熔成一个大铁球，这个大铁球的半径是A．cm3B.cm6C.cm8D.cm129.如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方4/8形，且BCFADE、均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为A.3/2B.33C.34D.2310．如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别交于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A－BEFD与三棱锥A－EFC的表面积分别是21SS、，则必有A.S1S2B.S1S2C.S1=S2D.21S与S的大小关系不能确定11.三角形ABC中，AB=32，BC=4，120ABC，现将三角形ABC绕BC旋转一周，所得简单组合体的体积为A．4B.)34(3C.12D.)34(12.棱台的上、下底面面积分别为4和9，则这个棱台的高和截得棱台的原棱锥的高的比是A．21B.31C.32D.43二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题5分，共20分）.13.一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为3.14.已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a，最小值为b，那么这个圆柱被截后剩下部分的体积是2)(2rba.15.（江西卷）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面为直角三角形，ACB＝90，AC＝6，BC＝CC1＝2，P是BC1上一动点，则CP＋PA1的最小值是137.16.圆柱的轴截面的对角线长为定值，为使圆柱侧面积最大，轴截面对角线与底面所成的角为450.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共4个大题，共20分）.17.圆锥的底面半径为cm5，高为12cm，当它的内接圆柱的底面半径为何值时，圆锥的内接圆柱全面积有最大值？最大值是多少？当r=30/7cm时，S的最大值是736018．如图，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的侧面对角线A1B与侧面ACC1A1成45°角，AB=4，求棱柱的侧面积.棱柱的侧面积为242题号123456789101112答案CBBCDAABBACCBDBAOCEF5/8练习11空间几何体的表面积与体积A组1．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（）.（A）122（B）144（C）12（D）1422．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去与8个顶点相关的8个三棱锥后，剩下的几何体的体积是（）.（A）32（B）43（C）54（D）653．一个直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）的底面是菱形，对角线长分别是6cm和8cm，高是5cm，则这个直棱柱的全面积是。4．已知两个母线长相等的圆锥的侧面展开图恰能拼成一个圆，且它们的侧面积之比为1：2，则它们的高之比为。5．已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为1cm，2cm，3cm，则此棱锥的体积_______________。6．矩形两邻边的长为a、b，当它分别绕边a、b旋转一周时,所形成的几何体的体积之比为。7．球面上有三点，其中任意两点间的球面距离都等于大圆周长的16，经过这三点的小圆周长为4π，则这个球的表面积为。B组1．四面体ABCD四个面的重心分别为E、F、G、H，则四面体EFGH的表面积与四面体ABCD的表面积的比值是。2．半径为R的半球，一正方体的四个顶点在半球的底面上，另四个顶点在半球的球面上，则该正方体的表面积是。3．如图，一个棱锥S－BCD的侧面积是Q，在高SO上取一点A，使SA=31SO，过点A作平行于底面的截面得一棱台，求这个棱台的侧面积.4．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，边长6/8AB=a，且PD=a，PA=PC=2a，若在这个四棱锥内放一个球，求球的最大半径.练习七参考答案A组1．答案：A解：设展开图的正方形边长为a，圆柱的底面半径为r，则2πr=a，2ar，底面圆的面积是24a，于是全面积与侧面积的比是2221222aaa，选A.2．答案：D解：正方体的体积为1，过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体截得的三棱锥的体积是111111()3222248，于是8个三棱锥的体积是61，剩余部分的体积是65，选D.3．答案：148cm2解：底面菱形中，对角线长分别是6cm和8cm，所以底面边长是5cm，侧面面积是4×5×5=100cm2，两个底面面积是48cm2，所以棱柱的全面积是148cm2.4．答案：22：5解：设圆柱的母线长为l，因为两个圆锥的侧面展开图恰能拼成一个圆，且它们的侧面积之比为1：2，所以它们的展开图即扇形的圆心角分别是23和43，由圆锥侧面展开图扇形的圆心角的计算公式2rl，得13lr，223lr，所以它们的高的比是2222()22325()3llll.5．答案：1cm3解：转换一个角度来认识这个三棱锥，即把它的两条侧棱(如长度为1cm，2cm的两条)确定的侧面看作底面，另一条侧棱作为高，则此三棱锥的底面面积是1，高为3，7/8则它的体积是31×1×3=1cm3.6．答案：ba解：矩形绕a边旋转，所得几何体的体积是V1=πb2a，矩形绕b边旋转，所得几何体的体积是V2=πa2b，所以两个几何体的体积的比是2122VbabVaba.7．答案：48π解：小圆周长为4π，所以小圆的半径为2，又这三点A、B、C之间距离相等，所以每两点间的距离是AB=BC=AC=23，又A、B之间的大圆劣弧长等于大圆周长的61，所以A、B在大圆中的圆心角是60°，所以大圆的半径R=23，于是球的表面积是4πR2=48π.B组1．答案：1：9解：如图，不难看出四面体EFGH与四面体ABCD是相似的。所以关键是求出它们的相似比，连接AF、AG并延长与BC、CD相交于M、N，由于F、G分别是三角形的重心，所以M、N分别是BC、CD的中点，且AF：AM=AG：AN=2：3，所以FG：MN=2：3，又MN：BD=1：2，所以FG：BD=1：3，即两个四面体的相似比是1：3，所以两个四面体的表面积的比是1：9.2．答案：24R解：如图，过正方体的对角面AC1作正方体和半球的截面。则OC1=R，CC1=a，OC=22a，所以2222()2aaR，得a2=32R2，所以正方体的表面积是6a2=4R2.3．解：棱锥S－BCD的截面为B’C’D’，过S作SF⊥B’C’，垂足为F，延长SF交BC于点E，连结AF和OE，∵平面BCD//平面B’C’D’，平面B’C’D’∩平面SOE=AF，NMHGFEDCBAC1A1OCA8/8平面BCD∩平面SOE=OE，∴AF//OE，于是13AFSASFOESOSE，即13SFSE，同理可得1''3BCBC，∴''19SBCSBCSS，''19SBDSBDSS，''19SCDSCDSS，∴S棱锥S－B’C’D’=91Q，∴S棱台侧=98Q.4．解：设放入的球的半径为R，球心为S，当且仅当球与四棱锥的各个面都相切时，球的半径最大，连结SA、SB、SC、SD、SP，则把此四棱锥分割成四个三棱锥和一个四棱锥，这些小棱锥的高均为R，底面为原四棱锥的侧面或底面.由体积关系，得()3PABCDPABPBCPCDPADABCDRVSSSSS222222211()32222Raaaaa2(22)3Ra又VP－ABCD=31S正方形ABCD·PD=31a3，∴231(22)33Raa，解得R=222a，故所放入的球的最大半径为222a.