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[在此处键入]--1--人教版九年级数学上册讲义(全册)第二十一章二次根式教材内容1.本单元教学的主要内容:二次根式的概念;二次根式的加减;二次根式的乘除;最简二次根式.2.本单元在教材中的地位和作用:二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的,它也是今后学习其他数学知识的基础.教学目标1.知识与技能(1)理解二次根式的概念.(2)理解a(a≥0)是一个非负数,(a)2=a(a≥0),2a=a(a≥0).(3)掌握a·b=ab(a≥0,b≥0),ab=a·b;ab=ab(a≥0,b0),ab=ab(a≥0,b0).(4)了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减.2.过程与方法(1)先提出问题,让学生探讨、分析问题,师生共同归纳,得出概念.再对概念的内涵进行分析,得出几个重要结论,并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简.(2)用具体数据探究规律,用不完全归纳法得出二次根式的乘(除)法规定,并运用规定进行计算.(3)利用逆向思维,得出二次根式的乘(除)法规定的逆向等式并运用它进行化简.(4)通过分析前面的计算和化简结果,抓住它们的共同特点,给出最简二次根式的概念.利用最简二次根式的概念,来对相同的二次根式进行合并,达到对二次根式进行计算和化简的目的.3.情感、态度与价值观[在此处键入]--2--通过本单元的学习培养学生:利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神,经过探索二次根式的重要结论,二次根式的乘除规定,发展学生观察、分析、发现问题的能力.教学重点1.二次根式a(a≥0)的内涵.a(a≥0)是一个非负数;(a)2=a(a≥0);2a=a(a≥0)及其运用.2.二次根式乘除法的规定及其运用.3.最简二次根式的概念.4.二次根式的加减运算.教学难点1.对a(a≥0)是一个非负数的理解;对等式(a)2=a(a≥0)及2a=a(a≥0)的理解及应用.2.二次根式的乘法、除法的条件限制.3.利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式.教学关键1.潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力,突出重点,突破难点.2.培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力,培养学生一丝不苟的科学精神.单元课时划分本单元教学时间约需11课时,具体分配如下:21.1二次根式3课时21.2二次根式的乘法3课时21.3二次根式的加减3课时教学活动、习题课、小结2课时21.1二次根式第一课时教学内容二次根式的概念及其运用[在此处键入]--3--教学目标理解二次根式的概念,并利用a(a≥0)的意义解答具体题目.提出问题,根据问题给出概念,应用概念解决实际问题.教学重难点关键1.重点:形如a(a≥0)的式子叫做二次根式的概念;2.难点与关键:利用“a(a≥0)”解决具体问题.教学过程一、复习引入(学生活动)请同学们独立完成下列三个问题:问题1:已知反比例函数y=3x,那么它的图象在第一象限横、纵坐标相等的点的坐标是___________.问题2:如图,在直角三角形ABC中,AC=3,BC=1,∠C=90°,那么AB边的长是__________.BAC问题3:甲射击6次,各次击中的环数如下:8、7、9、9、7、8,那么甲这次射击的方差是S2,那么S=_________.老师点评:问题1:横、纵坐标相等,即x=y,所以x2=3.因为点在第一象限,所以x=3,所以所求点的坐标(3,3).问题2:由勾股定理得AB=10[在此处键入]--4--问题3:由方差的概念得S=46.二、探索新知很明显3、10、46,都是一些正数的算术平方根.像这样一些正数的算术平方根的式子,我们就把它称二次根式.因此,一般地,我们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式,“”称为二次根号.(学生活动)议一议:1.-1有算术平方根吗?2.0的算术平方根是多少?3.当a0,a有意义吗?老师点评:(略)例1.下列式子,哪些是二次根式,哪些不是二次根式:2、33、1x、x(x0)、0、42、-2、1xy、xy(x≥0,y≥0).分析:二次根式应满足两个条件:第一,有二次根号“”;第二,被开方数是正数或0.解:二次根式有:2、x(x0)、0、-2、xy(x≥0,y≥0);不是二次根式的有:33、1x、42、1xy.例2.当x是多少时,31x在实数范围内有意义?分析:由二次根式的定义可知,被开方数一定要大于或等于0,所以3x-1≥0,31x才能有意义.[在此处键入]--5--解:由3x-1≥0,得:x≥13当x≥13时,31x在实数范围内有意义.三、巩固练习教材P练习1、2、3.四、应用拓展例3.当x是多少时,23x+11x在实数范围内有意义?分析:要使23x+11x在实数范围内有意义,必须同时满足23x中的≥0和11x中的x+1≠0.解:依题意,得23010xx由①得:x≥-32由②得:x≠-1当x≥-32且x≠-1时,23x+11x在实数范围内有意义.例4(1)已知y=2x+2x+5,求xy的值.(答案:2)(2)若1a+1b=0,求a2004+b2004的值.(答案:25)五、归纳小结(学生活动,老师点评)本节课要掌握:1.形如a(a≥0)的式子叫做二次根式,“”称为二次根号.2.要使二次根式在实数范围内有意义,必须满足被开方数是非负数.六、布置作业1.教材P8复习巩固1、综合应用5.2.选用课时作业设计.[在此处键入]--6--3.课后作业:《同步训练》第一课时作业设计一、选择题1.下列式子中,是二次根式的是()A.-7B.37C.xD.x2.下列式子中,不是二次根式的是()A.4B.16C.8D.1x3.已知一个正方形的面积是5,那么它的边长是()A.5B.5C.15D.以上皆不对二、填空题1.形如________的式子叫做二次根式.2.面积为a的正方形的边长为________.3.负数________平方根.三、综合提高题1.某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒,其高为0.2m,按设计需要,底面应做成正方形,试问底面边长应是多少?2.当x是多少时,23xx+x2在实数范围内有意义?3.若3x+3x有意义,则2x=_______.4.使式子2(5)x有意义的未知数x有()个.A.0B.1C.2D.无数5.已知a、b为实数,且5a+2102a=b+4,求a、b的值.第一课时作业设计答案:一、1.A2.D3.B[在此处键入]--7--二、1.a(a≥0)2.a3.没有三、1.设底面边长为x,则0.2x2=1,解答:x=5.2.依题意得:2300xx,320xx∴当x-32且x≠0时,23xx+x2在实数范围内没有意义.3.134.B5.a=5,b=-421.1二次根式(2)第二课时教学内容1.a(a≥0)是一个非负数;2.(a)2=a(a≥0).教学目标理解a(a≥0)是一个非负数和(a)2=a(a≥0),并利用它们进行计算和化简.通过复习二次根式的概念,用逻辑推理的方法推出a(a≥0)是一个非负数,用具体数据结合算术平方根的意义导出(a)2=a(a≥0);最后运用结论严谨解题.教学重难点关键[在此处键入]--8--1.重点:a(a≥0)是一个非负数;(a)2=a(a≥0)及其运用.2.难点、关键:用分类思想的方法导出a(a≥0)是一个非负数;用探究的方法导出(a)2=a(a≥0).教学过程一、复习引入(学生活动)口答1.什么叫二次根式?2.当a≥0时,a叫什么?当a0时,a有意义吗?老师点评(略).二、探究新知议一议:(学生分组讨论,提问解答)a(a≥0)是一个什么数呢?老师点评:根据学生讨论和上面的练习,我们可以得出a(a≥0)是一个非负数.做一做:根据算术平方根的意义填空:(4)2=_______;(2)2=_______;(9)2=______;(3)2=_______;(13)2=______;(72)2=_______;(0)2=_______.老师点评:4是4的算术平方根,根据算术平方根的意义,4是一个平方等于4的非负数,因此有(4)2=4.同理可得:(2)2=2,(9)2=9,(3)2=3,(13)2=13,(72)2=72,(0)2=0,所以[在此处键入]--9--(a)2=a(a≥0)例1计算1.(32)22.(35)23.(56)24.(72)2分析:我们可以直接利用(a)2=a(a≥0)的结论解题.解:(32)2=32,(35)2=32·(5)2=32·5=45,(56)2=56,(72)2=22(7)724.三、巩固练习计算下列各式的值:(18)2(23)2(94)2(0)2(478)222(35)(53)四、应用拓展例2计算1.(1x)2(x≥0)2.(2a)23.(221aa)24.(24129xx)2分析:(1)因为x≥0,所以x+10;(2)a2≥0;(3)a2+2a+1=(a+1)≥0;(4)4x2-12x+9=(2x)2-2·2x·3+32=(2x-3)2≥0.所以上面的4题都可以运用(a)2=a(a≥0)的重要结论解题.解:(1)因为x≥0,所以x+10(1x)2=x+1[在此处键入]--10--(2)∵a2≥0,∴(2a)2=a2(3)∵a2+2a+1=(a+1)2又∵(a+1)2≥0,∴a2+2a+1≥0,∴221aa=a2+2a+1(4)∵4x2-12x+9=(2x)2-2·2x·3+32=(2x-3)2又∵(2x-3)2≥0∴4x2-12x+9≥0,∴(24129xx)2=4x2-12x+9例3在实数范围内分解下列因式:(1)x2-3(2)x4-4(3)2x2-3分析:(略)五、归纳小结本节课应掌握:1.a(a≥0)是一个非负数;2.(a)2=a(a≥0);反之:a=(a)2(a≥0).六、布置作业1.教材P8复习巩固2.(1)、(2)P97.2.选用课时作业设计.3.课后作业:《同步训练》第二课时作业设计一、选择题1.下列各式中15、3a、21b、22ab、220m、144,二次根式的个数是().A.4B.3C.2D.12.数a没有算术平方根,则a的取值范围是().A.a0B.a≥0C.a0D.a=0二、填空题[在此处键入]--11--1.(-3)2=________.2.已知1x有意义,那么是一个_______数.三、综合提高题1.计算(1)(9)2(2)-(3)2(3)(126)2(4)(-323)2(5)(2332)(2332)2.把下列非负数写成一个数的平方的形式:(1)5(2)3.4(3)16(4)x(x≥0)3.已知1xy+3x=0,求xy的值.4.在实数范围内分解下列因式:(1)x2-2(2)x4-93x2-5第二课时作业设计答案:一、1.B2.C二、1.32.非负数三、1.(1)(9)2=9(2)-(3)2=-3(3)(126)2=14×6=32(4)(-323)2=9×23=6(5)-62.(1)5=(5)2(2)3.4=(3.4)2(3)16=(16)2(4)x=(x)2(x≥0)3.103304xyxxyxy=34=81[在此处键入]--12--4.(1)x2-2=(x+2)(x-2)(2)x4-9=(x2+3)(x2-3)=(x2+3)(x+3)(x-3)(3)略21.1二次根式(3)第三课时教学内容2a=a(a≥0)教学目标理解2a=a(a≥0)并利用它进行计算和化简.通过具体数据的解答,探究2a=a(a≥0),并利用这个结论解决具体问题.教学重难点关键1.重点:2a=a(a≥0).2.难点:探究结论.3.关键:讲清a≥0时,2a=a才成立.教学过程一、复习引入老师口述并板收上两节课的重要内容;[在此处键入]--13--1.形如a(a≥0)的式子叫做二次根式;2.a(a≥0)是一个非负数;3.(a)2=a
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