[高中数学课件]2.3.1-等差数列的前n项和(一)

一、数列前n项和的意义:设数列｛an｝:a1,a2,a3,…,an,…我们把a1＋a2＋a3＋…＋an叫做数列｛an｝的前n项和,记作Sn实例探究:高斯(1777—1855）德国著名数学家.1+2+3+…+98+99+100=?高斯10岁时曾很快算出这一结果,如何算的呢?思考:1+2+3+…+n=?1+2+…+(n-1)+nn+(n-1)+…+2+1(n+1)+(n+1)+…+(n+1)+(n+1)(1)1232nnn推广:其它等差数列是不是也可以用这个思路来求前n项和呢?一般地,我们称a1+a2+…+an为数列{an}的前n项和,常用Sn表示,即Sn=a1+a2+…+an对公差为d的等差数列{an},有Sn=a1+a2+…+anSn=an+an-1+…+a1所以2Sn=(a1+a2+…+an)+(an+an-1+…+a1)=(a1+an)+(a2+an-1)+…+(an+a1)=(a1+an)+(a1+an)+…+(a1+an)=n(a1+an)1()2nnnaaSn个等差数列前n项和公式的推导:等差数列的前n项和公式:1()2nnnaaS1(1)2nnnSnad若把an=a1+(n-1)d代入上式,则可得1,,,nanad比较：两个公式的共同点是须知和不同点是前者还需知后者还需知解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。例1、等差数列-10,-6,-2,…的前多少项的和为54?解:设该数列的前n项的和为54,则有(1)104542nnn整理得n2-6n-27=0解得n=9或n=-3（舍去）∴这个数列的前9项的和为54练习:已知在等差数列{an}中（1）an=4n-1,求S50；（2）a1=12,a8=26,求S20；（3）a6+a9=8,求S14；620505056思考:若知道a7=10,你能求出前几项的和?等差数列的前n项和公式:1()2nnnaaS1(1)2nnnSnad注意a1+an的变形方程的思想例2、已知一个等差数列{an}的前10项的和是310,前20项的和是1220,由这些条件能确定这个等差数列的通项公式及前n项和的公式吗?解:依题意知,S10=310,S20=12201(1)2nnnSnad10a1+45d=31020a1+190d=1220得解得a1=4,d=646(1)62nann将它们代入公式2(1)4632nnnSnnn思考:对于等差数列的相关a1,an,d,n,Sn,已知几个量就可以确定其他量?例2、已知一个等差数列{an}的前10项的和是310,前20项的和是1220,由这些条件能确定这个等差数列的通项公式及前n项和的公式吗?思考:对于等差数列的相关a1,an,d,n,Sn,已知几个量就可以确定其他量?a1,d,n是等差数列的三个基本量，an,Sn可以用这三个量表示，a1,an,d,n,Sn,可知三求二。一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解。练习:已知在等差数列{an}中1131(1),,15,22(2)1,512,1022,nnnnadSnaaaSd求和求1212,4na171d例3、2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施校校通工程的通知》.某市据此提出了实施“校校通”工程的总体目标:从2001年起用10年的时间,在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算,2001年该市用于“校校通”的工程经费为500万元.为了保证工程的顺利实施,计划每年投入的资金都比上一年增加50万元.那么从2001年起的未来10年间,该市“校校通”工程中的总投入是多少?解:根据题意,从2001～2010年,该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元.所以,可以建立一个等差数列{an},表示从2001年起各年投入的资金,其中,10(101)10500507250102S1500,50ad那么,到2010年（n=10）,投入的资金总额为答:从2001～2010”年,该市在“校校通”工程中的总投入是7250元.分析:∵Sn=a1+a2+…+an,Sn-1=a1+a2+…+an-1(n≥2)∴an=Sn-Sn-1(n≥2)特别地,当n=1时,a1=S1例3、已知数列{an}的前n项和为,求该数列的通项公式,这个数列是等差数列吗?212nSnnS1，n=1Sn-Sn-1，n≥2an=故S1，n=1Sn-Sn-1，n≥2an=S1，n=1Sn-Sn-1，n≥2an=故例3、已知数列{an}的前n项和为,求该数列的通项公式,这个数列是等差数列吗?212nSnn解:当n=1时,211131122aS当n≥2时,1nnnaSS113121,12222nanan即当时仍成立，∴数列{an}的通项公式为122nan2211[(1)(1)]22nnnn122n这是首项为,公差为2的等差数列3211,1,2nnnSnaSSn等差数列的前n项和公式:1()2nnnaaS1(1)2nnnSnad若已知数列{an}前n项和为Sn,则该数列的通项公式为S1，n=1Sn-Sn-1，n≥2an=探究:一般地,如果一个数列{an}的前n项和为Sn=pn2+qn+r,其中p、q、r为常数,且p≠0,那么这个数列一定是等差数列吗?若是,则它的首项与公差分别是什么?分析:当n=1时,a1=S1=p+q+r又∵当n=1时,an=2p-p+q=p+q∴当且仅当r=0时,a1满足an=2pn-p+q故只有当r=0时该数列才是等差数列,此时首项a1=p+q,公差d=2p(p≠0)∵当n1时,an=Sn-Sn-1=pn2+qn+r-p(n-1)2-q(n-1)-r=2pn-p+q