第五章留数

1第五章留数•第一节孤立奇点•第二节留数•第三节留数在定积分计算上的应用第一节孤立奇点一、孤立奇点的概念二、函数的零点与极点的关系三、函数在无穷远点的性态四、小结与思考3一、孤立奇点的概念定义如果函数0z)(zf在不解析,但)(zf在0z的某一去心邻域00zz内处处解析,则称0z)(zf为的孤立奇点.例10z是函数zzezsin,1的孤立奇点.1z是函数11z的孤立奇点.注意:孤立奇点一定是奇点,但奇点不一定是孤立奇点.4例2指出函数0z在点zzzf1sin)(2的奇点特性.解kzz1,0),2,1(k，因为01limkk即在0z的不论怎样小的去心邻域内,的奇点存在,函数的奇点为)(zf总有0z不是孤立奇点.所以52.分类以下将f(z)在孤立奇点的邻域内展成洛朗级数，根据展开式的不同情况，将孤立点进行分类。考察：)!12()1(!5!31sin)1(242nzzzzznn特点：没有负幂次项!!211!!1)2(1010nzzznznzzzennnnnz特点：只有有限负幂次项nznzzez!1!211)3(211特点：有无穷多负幂次项6孤立奇点的分类依据)(zf在其孤立奇点0z的去心邻域00zz内的洛朗级数的情况分为三类:1．可去奇点1．可去奇点;2．极点;3．本性奇点.如果洛朗级数中不含的负幂项,0zz0z)(zf那末孤立奇点称为的可去奇点.1)定义7其和函数)(zF为在0z解析的函数.000,,)()(zzczzzFzf说明:(1),)(0的孤立奇点若是zfz.)()()(0010nnzzczzcczf)0(0zz)(lim)(00zfzfzz,)(00czf(2)无论在是否有定义,)(zf0z补充定义则函数在0z解析.)(zf82)可去奇点的判定(1)由定义判断:的洛朗级数无负0z)(zf在如果幂项则0z为)(zf的可去奇点.(2)判断极限:)(lim0zfzz若极限存在且为有限值,则0z为)(zf的可去奇点.9如果补充定义:0z时,,1sinzz那末zzsin在0z解析.例342!51!311sinzzzz中不含负幂项,0z是zzsin的可去奇点.10例4说明0z为zez1的可去奇点.解zez1,!1!2111nznzz0所以0z为的可去奇点.zez1无负幂项另解zzzzeze00lim1lim因为0z所以的可去奇点.为zez1)1!1!211(12nznzzz,1112.极点1012020)()()()(zzczzczzczfmm)0,1(mcm)(010zzcc,)()(1)(0zgzzzfm10)(zz,)(0mzz其中关于的最高幂为即级极点.0z)(zfm那末孤立奇点称为函数的或写成1)定义0zz如果洛朗级数中只有有限多个的负幂项,12说明:20201)()()(zzczzcczgmmm1.内是解析函数在0zz2.0)(0zg特点:(1)(2)的极点,则0z)(zf为函数如果.)(lim0zfzz例5有理分式函数,)2(23)(2zzzzf是二级极点,0z2z是一级极点.,)()(1)(0zgzzzfm132)极点的判定方法)(zf的负幂项为有0zz的洛朗展开式中含有限项.在点的某去心邻域内0zmzzzgzf)()()(0其中在的邻域内解析,且)(zg0z.0)(0zg(1)由定义判别(2)由定义的等价形式判别(3)利用极限)(lim0zfzz判断.14课堂练习求1123zzz的奇点,如果是极点,指出它的级数.答案1123zzz由于,1:是函数的一级极点所以z.1是函数的二级极点z,)1)(1(12zz15本性奇点3.如果洛朗级数中含有无穷多个0zz那末孤立奇点0z称为)(zf的本性奇点.的负幂项,例如，,!1!211211nzznzze)0(z含有无穷多个z的负幂项特点:在本性奇点的邻域内)(lim0zfzz不存在且不为.为本性奇点，所以0z同时zze10lim不存在.16综上所述:孤立奇点可去奇点m级极点本性奇点洛朗级数特点)(lim0zfzz存在且为有限值不存在且不为无负幂项含无穷多个负幂项含有限个负幂项10)(zzmzz)(0关于的最高幂为17二、函数的零点与极点的关系1.零点的定义不恒等于零的解析函数)(zf如果能表示成),()()(0zzzzfm)(z0z其中在,0)(0z解析且m为某一正整数,那末0z称为)(zf的m级零点.例6的一级零点，是函数3)1()(0zzzfz注意:不恒等于零的解析函数的零点是孤立的..)1()(13的三级零点是函数zzzfz182.零点的判定零点的充要条件是证(必要性)由定义:)()()(0zzzzfm设0)(zz在的泰勒展开式为:,)()()(202010zzczzccz0zm0z如果在解析,那末为的级)(zf)(zfm0z如果为的级零点)(zf;)1,2,1,0(,0)(0)(mnzfn.0)(0)(zfm19的泰勒展开式为在从而0)(zzf10100)()()(mmzzczzczf202)(mzzc其中,0)(00zc展开式的前m项系数都为零,由泰勒级数的系数公式知:);1,2,1,0(,0)(0)(mnzfn并且.0!)(00)(cmzfm充分性证明略.20的零点。均为与3)1()(10zzzfzz例如zzzzf6)1(6)1(12)('''23)1(3)1()('zzzzf又0)1('f)1(6)1(6)(2zzzzf为一级零点00)1()0('3zf为三级零点1z06)1('''f0)1(''f21(1)由于123)1(zzf知1z是)(zf的一级零点.课堂练习0z是五级零点,iz是二级零点.知是)(zf的一级零点.0z解(2)由于0cos)0(zzf答案例7求以下函数的零点及级数:,1)(3zzf(1)(2).sin)(zzf,03,01225)1()(zzzf的零点及级数.求223.零点与极点的关系定理如果0z是)(zf的m级极点,那末0z就是)(1zf的m级零点.反过来也成立.证如果0z是)(zf的m级极点,则有)()(1)(0zgzzzfm)0)((0zg当时,0zz)(1)()(10zgzzzfm)()(0zhzzm)(0zh.0)(0zh函数在0z解析且23由于,0)(1lim0zfzz只要令,0)(10zf那末0z)(1zf的m级零点.就是反之如果0z)(1zf的m级零点,是那末),()()(10zzzzfm当时,0zz),()(1)(0zzzzfm)(1)(zz解析且0)(0z所以0z是)(zf的m级极点.24说明此定理为判断函数的极点提供了一个较为简便的方法.例8函数zsin1有些什么奇点,如果是极点,指出它的级.解函数的奇点是使0sinz的点,这些奇点是.)2,1,0(kkz是孤立奇点.kzkzzzcos)(sin因为的一级零点，是所以zkzsin,0)1(kzsin1的一级极点.即25),(1!3!211zzzz解0221!11nnznzzze解析且0)0(所以0z不是二级极点,而是一级极点.0z是3sinhzz的几级极点?思考例9问0z是21zez的二级极点吗?注意:不能以函数的表面形式作出结论.26三、函数在无穷远点的性态1.定义如果函数)(zf在无穷远点z的去心邻域zR内解析,则称点为)(zf的孤立奇点.Rxyo27令变换:1zt规定此变换将:tfzf1)(则映射为z,0t扩充z平面扩充t平面映射为)(}{nnzz)0(1nnntzt映射为zRRt10映射为),(t28结论:在去心邻域zR内对函数)(zf的研究在去心邻域Rt10内对函数)(t的研究Rt10因为)(t在去心邻域内是解析的,所以0t是)(t的孤立奇点.规定:m级奇点或本性奇点.)(t的可去奇点、m级奇点或本性奇点,如果t=0是z是)(zf的可去奇点、那末就称点291)不含正幂项;2)含有有限多的正幂项且mz为最高正幂;3)含有无穷多的正幂项;那末z是)(zf的1)可去奇点;2)m级极点;3)本性奇点.判别法1(利用洛朗级数的特点)2.判别方法:)(zfzR在内的洛朗级数中:如果30判别法2:(利用极限特点)如果极限)(limzfn1)存在且为有限值;2)无穷大;3)不存在且不为无穷大;那末z是)(zf的1)可去奇点;2)m级极点;3)本性奇点.31例10(1)函数1)(zzzf在圆环域z1内的洛朗展开式为:nnzzzzzf1)1(111111)(2不含正幂项所以z是)(zf的可去奇点.(2)函数zzzf1)(含有正幂项且z为最高正幂项,所以z是)(zf的m级极点.32(3)函数zsin的展开式:)!12(!5!3sin1253nzzzzzn含有无穷多的正幂项所以z是)(zf的本性奇点.课堂练习.0,是本性奇点是一级极点zzzezzf1)(的奇点及其类型.说出函数答案33例11函数332)(sin)2)(1()(zzzzf在扩充复平面内有些什么类型的奇点?如果是极点,指出它的级.解函数)(zf除点2,1,0z外,.,2,1,0cos)(sin处均不为零在因zzz所以这些点都是zsin的一级零点,故这些点中除1,-1,2外,都是)(zf的三级极点.z内解析.在34),1)(1(12zzz因所以.2)(11级极点的是与zf)(lim2zfz那末2z是)(zf的可去奇点.为一级零点，与以11因为时，当2z3322)(sin)2)(1(limzzzz,3335时，当z使分母为零，nn1,0z不是)(zf的孤立奇点.所以,sin)21)(1(13232f因为的极点，为11fnn时，当n，0n的孤立奇点，不是故10f36四、小结与思考理解孤立奇点的概念及其分类;掌握可去奇点、极点与本性奇点的特征;熟悉零点与极点的关系.37.)1(1)(33的孤立奇点的类型确定函数zezzf思考题38,60级零点是分母的z思考题答案.6)(级极点的也即是函数zf放映结束，按Esc退出.39第二节留数一、留数的引入二、利用留数求积分三、在无穷远点的留数四、典型例题五、小结与思考40一、留数的引入01010)()()(czzczzczfnnC0z)(zf设为的一个孤立奇点;内的洛朗级数:)(zfRzz00在nnzzczzc)()(0010z.的某去心邻域0zRzz00邻域内包含0z的任一条正向简单闭曲线4112iczzzczzzczcnCnCCd)(d)(d0010CCnnzzzczzzcd)(d)(1010Czzfd)(积分0(高阶导数公式)0(柯西-古萨基本定理)i2的系数洛朗级数中负幂项101)(zzc