第三章复变函数积分

1第三章复变函数的积分•第一节复变函数积分的概念•第二节柯西－古萨基本定理•第三节基本定理的推广•第四节原函数与不定积分•第五节柯西积分公式•第六节高阶导数•第七节解析函数与调和函数的关系第一节复变函数积分的概念一、积分的定义二、积分存在的条件及其计算法三、积分的性质四、小结与思考3一、积分的定义1.有向曲线:设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线,如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向),那么我们就把C理解为带有方向的曲线,称为有向曲线.xyoAB如果A到B作为曲线C的正向,那么B到A就是曲线C的负向,.C记为4简单闭曲线正向的定义:简单闭曲线C的正向是指当曲线上的点P顺此方向前进时,邻近P点的曲线的内部始终位于P点的左方.xyoPPPP与之相反的方向就是曲线的负方向.关于曲线方向的说明:在今后的讨论中,常把两个端点中的一个作为起点,另一个作为终点,除特殊声明外,正方向总是指从起点到终点的方向.52.积分的定义:,,,,,,,,,,)(110BzzzzzAnCBADCDzfwnkk设分点为个弧段任意分成把曲线的一条光滑的有向曲线终点为内起点为为区域内定义在区域设函数oxyAB1nzkz1kz2z1zkC12,),,2,1(1kkknkzz上任意取一点在每个弧段6,)()()(111knkknkkkknzfzzfS作和式oxyAB1nzkz1kz2z1zkC12},{max1knks记,,11的长度这里kkkkkkzzszzz,0时无限增加且当n,)(,,记为的积分沿曲线函数那么称这极限值为一极限有唯的取法如何的分法及如果不论对CzfSCnk.)(limd)(1knkknCzfzzf7关于定义的说明:.d)(,)1(CzzfC记为那么沿此闭曲线的积分是闭曲线如果.),()(,)2(定积分的定义实变函数这个积分定义就是一元而轴上的区间是如果xuzfbxaxC8二、积分存在的条件及其计算法1.存在的条件.d)(,)(一定存在积分是光滑曲线时是连续函数而如果CzzfCzf9,,0)(ttz并且,),(),()(内处处连续在如果Dyxviyxuzf,),(),(内均为连续函数在和那么Dyxvyxu,kkki设)(111kkkkkkkiyxiyxzzz因为)()(11kkkkyyixx,kkyix10knkkzf1)(所以nkkkkkkkyixviu1))](,(),([nkkkkkkknkkkkkkkyuxviyvxu11]),(),([]),(),([,,都是连续函数由于vu根据线积分的存在定理,11当n无限增大而弧段长度的最大值趋于零时,,,),(,下式两端极限存在的取法如何点的分法任何不论对kkCnkkkkkkknkkkkkkknkkkyuxviyvxuzf111]),(),([]),(),([)(Czzfd)(CyvxuddCyuxvddi12:ddd)(相乘后求积分得到与yixzivuzfCzzfd)(Cyixivu)dd)((Cyvyiuxivxudddd.ddddCCyuxviyvxuCzzfd)(CyvxuddCyuxvddi在形式上可以看成是公式132.积分的计算法.d)(积分来计算函数的线可以通过两个二元实变CzzfttytytxutxtytxvittytytxvtxtytxuzzfCd)}()](),([)()](),([{d)}()](),([)()](),([{d)(ttyitxtytxivtytxud)}()()]}{(),([)](),([{.d)()]([ttztzf14ttztzfzzfCd)()]([d)(则光滑曲线相互连接所组成的按段等光滑曲线依次是由如果,,,,21nCCCCCzzfd)(.d)(d)(d)(21nCCCzzfzzfzzf在今后讨论的积分中,总假定被积函数是连续的,曲线C是按段光滑的.15例1解.43:,d的直线段从原点到点计算iCzzC直线方程为,10,4,3ttytx,)43(,tizC上在,d)43(dtizd)43(d102ttizzCd)43(102tti.2)43(2i)dd)((dCCyixiyxzz又因为16dddddCCCyxxyiyyxxzz这两个积分都与路线C无关,43曲线的是怎样从原点连接到点所以不论iC.2)43(d2izzC17例2解.11(3);1(2);1(1):,dRe2的折线再到轴到点从原点沿的弧段上从原点到点抛物线的直线段从原点到点为其中计算ixixyiCzzC(1)积分路径的参数方程为),10()(titttz,d)1(d,Retiztz于是CzzdRe10d)1(tit);1(21ixyoi11i18(2)积分路径的参数方程为xyoi11i2xy),10()(2titttz,d)21(d,Rettiztz于是CzzdRe10d)21(titt1032322tit;3221i19xyoi11i2xy(3)积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数方程为),10()(tttz1到1+i直线段的参数方程为),10(1)(tittz,dd,Retztz于是,dd,1Retizz于是CzzdRe10dtt10d1ti.21i20例3解.2:,dzCzzC圆周为其中计算积分路径的参数方程为),π20(2iezd2diiezCzzdπ20d22iie)2(z因为π20d)sin(cos4ii.021例4解.,,,d)(1010为整数径的正向圆周为半为中心为以求nrzCzzzCnzxyor0z积分路径的参数方程为),π20(0irezzCnzzzd)(110π20)1(1dninierire,dπ20inneri22zxyor0z,0时当nCnzzzd)(110π20di;2i,0时当nCnzzzd)(110π20d)sin(cosninrin;0rzznzzz0d)(110所以.0,0,0,2nni重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.23三、积分的性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质.;d)(d)()1(CCzzfzzf)(;d)(d)()2(为常数kzzfkzzkfCC;d)(d)(d)]()([)3(CCCzzgzzfzzgzfCCMLszfzzfMzfCzfLC.d)(d)(,)()(,)4(那末上满足在函数的长度为设曲线估值不等式24性质(4)的证明,1两点之间的距离与是因为kkkzzz,度为这两点之间弧段的长ksknkkzf1)(所以nkkkzf1)(nkkksf1)(两端取极限得.d)(d)(CCszfzzfnkkksf1)(因为nkksM1,ML.d)(d)(MLszfzzfCC所以[证毕]25例5解.d1,43绝对值的一个上界试求积分的直线段为从原点到点设CziziC1)(0,)43(ttizC的参数方程为根据估值不等式知Czizd1Csizd1ittizC)14(311,上因为在2622)14()3(1tt2592542512t,35Czizd1从而Csd35325.325d1Cziz故527四、小结与思考本课我们学习了积分的定义、存在条件以及计算和性质.应注意复变函数的积分有跟微积分学中的线积分完全相似的性质.本课中重点掌握复积分的一般方法.28思考题?d)()(函数定积分是否一致与一元的积分定义式复函数Czzfzf29思考题答案,],[是实轴上区间若C,d)(d)(xxfzzfC则,)(是实值的如果xf即为一元实函数的定积分..d)(,,,d)()(,Czzfzzfzf必须记作线的限制要受积分路因为这是一个线积分记作的积分的函数终点为一般不能把起点为放映结束，按Esc退出.30第二节柯西－古萨基本定理一、问题的提出二、基本定理三、典型例题四、小结与思考31例1解.43:,d的直线段从原点到点计算iCzzC直线方程为,10,4,3ttytx,)43(,tizC上在,d)43(dtizd)43(d102ttizzCd)43(102tti.2)43(2i)dd)((dCCyixiyxzz又因为32dddddCCCyxxyiyyxxzz这两个积分都与路线C无关,43曲线的是怎样从原点连接到点所以不论iC.2)43(d2izzC33:ddd)(相乘后求积分得到与yixzivuzfCzzfd)(Cyixivu)dd)((Cyvyiuxivxudddd.ddddCCyuxviyvxuCzzfd)(CyvxuddCyuxvddi在形式上可以看成是公式34定理一.d)(,)(无关线与连结起点及终点的路那末积分内处处解析在单连通域如果函数CzzfBzfC由定理一可知:解析函数在单连通域内的积分只与起点和终点有关35B基本定理柯西－古萨基本定理.0d)(:)(,)(czzfCBzfBzf的积分为零内的任何一条封闭曲线沿那末函数内处处解析在单连通域如果函数C定理中的C可以不是简单曲线.此定理也称为柯西积分定理.柯西介绍古萨介绍38关于定理的说明:(1)如果曲线C是区域B的边界,)(在函数zf,上解析即在闭区域CBB,上解析内与CBczzf.0d)(那末(2)如果曲线C是区域B的边界,)(在函数zf那末上连续在闭区域,CBB,内解析B定理仍成立.39三、典型例题例1解1.d321zzz计算积分,1321内解析在函数zz根据柯西－古萨定理,有1.0d321zzz40例2.),1(0d)(任意闭曲线是其中证明Cnzzcn证,)1(为正整数时当n,)(平面上解析在zzn由柯西－古萨定理,.0d)(cnzz,1)2(时为负整数但不等于当n,)(平面上解析的整个在除点zzn,:点不包围若情况一C41由柯西－古萨定理,;0d)(cnzz,:点包围若情况二C由上节例4可知,.0d)(cnzz,)(围成的区域内解析在Czn42例3.d)1(1212izzzz计算积分解,11211)1(12izizzzz,2111上解析都在和因为izizz根据柯西－古萨定理得212d)1(1izzzz21d1211211izzizizz43212121d121d121d1izizizzizzizzz021d121izzizi221.i44四、小结与思考通过本课学习,重点掌握柯西－古萨基本定理:.0d)(:)(,)(czzfCBzfBzf的积分为零内的任何一条封闭曲线沿那末函数内处处解析在单连通域如果函数并注意定理成立的条件.45思考题应用柯西–