ARIMA预测原理以及SAS实现代码

█ARIMA定义ARIMA的完整写法为ARIMA(p,d,q)►其中p为自回归系数，代表数据呈现周期性波动►d为差分次数，代表数据差分几次才能达到平稳序列►q为移动平均阶数，代表数据为平稳序列，可以用移动平均来处理。█平稳性检测方法►方法一：时序图序列始终在一个常数值附近随机波动，且波动范围有界，且没有明显的趋势性或周期性，所以可认为是平稳序列。下图明显不是一个平稳序列procgplotdata=gdp;plotgdp*year=1;symbolc=redi=joinv=star;run;►方法二：自相关图自相关系数会很快衰减向0，所以可认为是平稳序列。procarimadata=gdp;identifyvar=gdpstationarity=(adf=3)nlag=12;run;►ADF单位根检验（精确判断）三个检验中只要有一个PrRho小于0.05即可认定为平稳序列，主要是stationarity=(adf=3)起作用procarimadata=gdp;identifyvar=gdpstationarity=(adf=3)nlag=12;run;█白噪声检验Pr卡方0.05即可认定为通过白噪声检验。procarimadata=gdp;identifyvar=gdpstationarity=(adf=3)nlag=12;run;█非平稳序列转换为平稳序列方法一：将数据取对数。方法二：对数据取差分dif函数datagdp_log;setgdp;loggdp=log(gdp);cfloggdp=dif(loggdp);run;/**对数数据散点图**/procgplot;plotloggdp*year=1;symbolc=blacki=joinv=star;run;/*一阶差分对数数据散点图*/procgplot;plotcfloggdp*year=1;symbolc=greenv=doti=join;run;从上图中可以看出，一阶差分后序列已经变成平稳的了，因此，数列需要做一阶差分█转换完毕后再验证下面代码中的（1）就代表1阶差分，adf=3则代表平稳性检验0-3，/*一阶差分对数数据的自相关图、偏自相关图、纯随机性检验、单位根检验*/procarimadata=gdp_log;identifyvar=loggdp(1)stationarity=(adf=3)nlag=12;run;用QLB统计量作的2检验结果表明：对数差分后的GDP序列的QLB统计量的P值为0.0045（0.05），故序列为非白噪声序列。单位根检验结果表明：对数差分后的GDP序列有常数均值、无趋势的二阶自回归模型的Tau统计量的P值小于0.0573，故序列基本可以确定为平稳序列，并可初步考虑用ARMA（2，q）模型对它们进行拟合。█模型定阶/**定阶**/procarimadata=gdp_log;identifyvar=loggdp(1)nlag=6minicp=(0:2)q=(0:4);run;/*minic为一定范围模型定阶——相对最优模型识别*/采用相对最优模型识别，根据上述分析及序列的自相关和偏自相关图，适当选择m=4，n=2，使用indentify命令中的minicp=(0:n)q=(0:m)短语进行相对最优模型定阶。结果显示（图6.10），在p=1，q=4时，BIC函数值最小。执行ARIMA过程的Estimatep=1q=4命令做参数检验，结果未能通过参数检验。让q在0～3之间取值，通过反复测试，只有ARMA(1,3)模型与ARMA(1,0)模型通过参数检验及模型检验，其检验结果及参数估计如图6.11所示。█参数估计/**参数估计**/procarimadata=gdp_log;identifyvar=loggdp(1);estimatep=1q=4;run;/*SAS支持三种估计，默认为条件最小二乘估计，要制定可增加选项：METHOD=ML极大似然估计METHOD=ULS最小二乘估计METHOD=CLS条件最小二乘估计输出项的含义见王燕P104*/;从上面可以看出，在p=1q=4时，通不过检验。p=1q=3和p=1q=0时能通过检验从上面2个模型的检验结果可以看到，它们均为有效模型，但ARMA(1,0)模型的AIC为-67，SBC为-65均比ARMA(1,3)的AIC与SBC小，根据AIC准则和SBC准则，ARMA(1,0)应该更有效，所以应选择前者作为预测模型。GDP对数序列模型的口径为：Bxtt49853.01155955.0log其中，xt表示GDP序列，模型可写为：ttttxxx078207.0log49853.0log49853.1log21█预测/**参数估计及预测**/procarimadata=gdp_log;identifyvar=loggdp(1)nlag=16;estimatep=1q=0;forecastlead=4id=yearout=results;run;█还原预测数值并画图/**绘制预测图**/dataresults;setresults;y=exp(loggdp);estimate1=exp(forecast);el95=exp(l95);eu95=exp(u95);run;procgplotdata=results;ploty*year=1estimate1*year=2el95*year=3eu95*year=3/overlay;symbol1c=blacki=nonev=star;symbol2c=redi=joinv=none;symbol3c=greeni=joinv=nonel=2;run;█另一种确定p、q的方式procarimadata=gdp;identifyvar=gdpstationarity=(adf=3);run;直接对gdp求arima模型，可已看出acf是拖尾，而pacf是1阶截尾，所以最好是p=1，q=0█确定p、q的方式理论由于),(qpARMA模型可以转化为无穷阶移动平均模型，所以),(qpARMA模型的自相关系数不截尾。同理，由于),(qpARMA模型也可以转化为无穷阶自回归模型，所以),(qpARMA模型的偏自相关系数也不截尾。总结)(pAR模型、)(qMA模型和),(qpARMA模型的自相关系数和偏自相关系数的规律，见表6.1所示。模型自相关系数k偏自相关系数kk)(pAR拖尾p阶截尾)(qMAq阶截尾拖尾),(qpARMA拖尾拖尾█模型优化指标当一个拟合模型在指定的置信水平下通过了检验，说明了在这个置信水平下该拟合模型能有效地拟合时间序列观察值的波动。但是这种有效的拟合模型并不是惟一的。如果同一个时间序列可以构造两个拟合模型，且两个模型都显著有效，那么应该选择哪个拟合模型用于统计推断呢？通常采用AIC和SBC信息准则来进行模型优化。1.AIC准则AIC准则是由日本统计学家赤池弘次（Akaike）于1973年提出，AIC全称是最小信息量准则（aninformationcriterion）。AIC准则是一种考评综合最优配置的指标，它是拟合精度和参数未知个数的加权函数：AIC=－2ln(模型中极大似然函数值)+2(模型中未知参数个数)(6.68)使AIC函数达到最小值的模型被认为是最优模型。2.BIC准则AIC准则也有不足之处：如果时间序列很长，相关信息就越分散，需要多自变量复杂拟合模型才能使拟合精度比较高。在AIC准则中拟合误差等于)ˆln(2n，即拟合误差随样本容量n放大。但是模型参数个数的惩罚因子却与n无关，权重始终为常数2。因此在样本容量n趋于无穷大时，由AIC准则选择的拟合模型不收敛于真实模型，它通常比真实模型所含的未知参数个数要多。为了弥补AIC准则的不足，Akaike于1976年提出BIC准则。而Schwartz在1978年根据Bays理论也得出同样的判别准则，称为SBC准则。SBC准则定义为：SBC=－2ln(模型中极大似然函数值)+ln(n)(模型中未知参数个数)(6.69)它对AIC的改进就是将未知参数个数的惩罚权重由常数2变成了样本容量n的对数)ln(n。在所有通过检验的模型中使得AIC或SBC函数达到最小的模型为相对最优模型。之所以称为相对最优模型是因为不可能比较所有模型。表6.2河南省历年国民生产总值数据年份(Year)生产总值(亿元)(GDP)人均生产总值(元)(PGDP)年份(Year)生产总值(亿元)(GDP)人均生产总值(元)(PGDP)1978162.92232.319921279.751452.31979190.09266.719931662.761867.41980229.16316.719942224.432475.21981249.69340.119953002.743312.81982263.3035319963661.184007.41983327.95432.919974079.264430.11984370.04481.619984356.604695.11985451.74579.719994576.104893.71986502.91635.320005137.6654441987609.60755.820015640.115923.61988749.09909.920026168.736436.51989850.711012.320037048.597570.21990934.651090.620048815.099469.919911045.731201.2█附：完整代码datagdp;infiledatalines;inputyeargdppgdp;formatgdpBEST12.2pgdpBEST12.2;datalines;1978162.92232.31979190.09266.71980229.16316.71981249.69340.11982263.303531983327.95432.91984370.04481.61985451.74579.71986502.91635.31987609.60755.81988749.09909.91989850.711012.31990934.651090.619911045.731201.219921279.751452.319931662.761867.419942224.432475.219953002.743312.819963661.184007.419974079.264430.119984356.604695.119994576.104893.720005137.66544420015640.115923.620026168.736436.520037048.597570.220048815.099469.9;run;/**原始数据散点图**/procgplotdata=gdp;plotgdp*year=1;symbolc=redi=joinv=star;run;/*注symbol常用参数C—图形颜色，red_红色，black_黑色，green_绿色，blue_蓝色，pink_洋红等*//*V—观测值的图形，star_*,dot_.,cicle_圆圈，diamond_菱形，none_不标*//*I—观察值的链接方式，join_线连，spline_光滑连接，needle_作观察值到横轴悬垂线，none_不连*/procarimadata=gdp;identifyvar=gdpstationarity=(adf=3);run;/**原始数据对数、差分变换**/datagdp_log;setgdp;loggdp=log(gdp);cfloggdp=dif(loggdp);run;/**对数数据散点图**/procgplot;plotloggdp*year=1;symbolc=blacki=joinv=star;run;/*一阶差分对数数据散点图*/procgplot;plotcflo