一元二次不等式及其解法(一)

一元二次不等式及其解法（一）[学习目标]1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.2.掌握图象法解一元二次不等式.3.培养数形结合、分类讨论思想方法解一元二次不等式的能力．知识点一一元二次不等式的概念一元二次不等式定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式表达式ax2＋bx＋c＞0，ax2＋bx＋c＜0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数解集ax2＋bx＋c＞0(a≠0)解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值为正数的自变量x的取值集合ax2＋bx＋c＜0(a≠0)解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值为负数的自变量x的取值集合ax2＋bx＋c≥0(a≠0)解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值大于或等于0的自变量x的取值集合ax2＋bx＋c≤0(a≠0)解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值小于或等于0的自变量x的取值集合思考下列不等式是一元二次不等式的有________．①x2＞0；②－3x2－x≤5；③x3＋5x－6＞0；④ax2－5y＜0(a为常数)；⑤ax2＋bx＋c＞0.答案①②解析①②是，符合定义；③不是，因为未知数的最高次数是3，不符合定义；④不是，当a＝0时，它是一元一次不等式，当a≠0时，它含有两个变量x，y；⑤不是，当a＝0时，不符合一元二次不等式的定义．知识点二一元二次不等式的解法利用“三个二次”的关系我们可以解一元二次不等式．解一元二次不等式的一般步骤：(1)将不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0；(2)计算相应的判别式；(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根；(4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集．知识点三“三个二次”(二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)的关系Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两个不相等的实根x1，x2，且x1＜x2有两个相等的实数根x1，x2没有实数根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x＜x1或x＞x2}xx≠－b2aRax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅思考二次不等式ax2＋2x－1＜0的解集为R，则a的取值范围是________．答案(－∞，－1)解析a＜0，Δ＜0⇒a＜0，4＋4a＜0⇒a＜－1.题型一一元二次不等式的解法例1解下列不等式：(1)2x2＋7x＋3＞0；(2)－4x2＋18x－814≥0；(3)－2x2＋3x－2＜0；(4)－12x2＋3x－5＞0.解(1)因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－12.又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为{x|x＞－12或x＜－3}．(2)原不等式可化为2x－922≤0，所以原不等式的解集为x|x＝94.(3)原不等式可化为2x2－3x＋2＞0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.(4)原不等式可化为x2－6x＋10＜0，Δ＝(－6)2－40＝－4＜0，所以方程x2－6x＋10＝0无实根，又二次函数y＝x2－6x＋10的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅.跟踪训练1解下列不等式：(1)x2－5x－6＞0；(2)(2－x)(x＋3)＜0；(3)4(2x2－2x＋1)＞x(4－x)．解(1)方程x2－5x－6＝0的两根为x1＝－1，x2＝6.结合二次函数y＝x2－5x－6的图象知，原不等式的解集为{x|x＜－1或x＞6}．(2)原不等式可化为(x－2)(x＋3)＞0.方程(x－2)(x＋3)＝0的两根为x1＝2，x2＝－3.结合二次函数y＝(x－2)(x＋3)的图象知，原不等式的解集为{x|x＜－3或x＞2}．(3)由原不等式得8x2－8x＋4＞4x－x2.∴原不等式等价于9x2－12x＋4＞0.解方程9x2－12x＋4＝0，得x1＝x2＝23.结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图象知，原不等式的解集为{x|x≠23}．题型二解含参数的一元二次不等式例2解关于x的不等式：ax2－(a－1)x－1＜0(a∈R)．解原不等式可化为：(ax＋1)(x－1)＜0，当a＝0时，x＜1；当a＞0时，x＋1a(x－1)＜0，∴－1a＜x＜1；当a＝－1时，x≠1；当－1＜a＜0时，x＋1a(x－1)＞0，∴x＞－1a或x＜1；当a＜－1时，－1a＜1，∴x＞1或x＜－1a.综上，当a＝0时，原不等式的解集是{x|x＜1}；当a＞0时，原不等式的解集是x|－1a＜x＜1；当a＝－1时，原不等式的解集是{x|x≠1}；当－1＜a＜0时，原不等式的解集是x|x＜1或x＞－1a.当a＜－1时，原不等式的解集是x|x＜－1a或x＞1.跟踪训练2解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3＞0.解原不等式可化为(x－a)(x－a2)＞0讨论a与a2的大小(1)当a2＞a即a＞1或a＜0时，x＞a2或x＜a.(2)当a2＝a即a＝0或a＝1时，x≠a.(3)当a2＜a即0＜a＜1时，x＞a或x＜a2.综上，当a＜0或a＞1时，解集为{x|x＞a2或x＜a}，当a＝0或1时，解集为{x|x≠a}，当0＜a＜1时，解集为{x|x＞a或x＜a2}．题型三“三个二次”关系的应用例3已知一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(α，β)，且0＜α＜β，求不等式cx2＋bx＋a＜0的解集．解方法一由题意可得a＜0，且α，β为方程ax2＋bx＋c＝0的两根，∴由根与系数的关系得ba＝－α＋β＜0，①ca＝αβ＞0，②∵a＜0,0＜α＜β，∴由②得c＜0，则cx2＋bx＋a＜0可化为x2＋bcx＋ac＞0.①÷②，得bc＝－α＋βαβ＝－1α＋1β＜0.由②得ac＝1αβ＝1α·1β＞0.∴1α，1β为方程x2＋bcx＋ac＝0的两根．又∵0＜α＜β，∴0＜1β＜1α，∴不等式x2＋bcx＋ac＞0的解集为x|x＜1β或x＞1α，即不等式cx2＋bx＋a＜0的解集为x|x＜1β或x＞1α.方法二由题意知a＜0，∴由cx2＋bx＋a＜0，得cax2＋bax＋1＞0.将方法一中的①②代入，得αβx2－(α＋β)x＋1＞0，即(αx－1)(βx－1)＞0.又∵0＜α＜β，∴0＜1β＜1α.∴所求不等式的解集为x|x＜1β或x＞1α.跟踪训练3已知关于x的不等式x2＋ax＋b＜0的解集为{x|1＜x＜2}，求关于x的不等式bx2＋ax＋1＞0的解集．解∵x2＋ax＋b＜0的解集为{x|1＜x＜2}，∴1,2是方程x2＋ax＋b＝0的两根．由根与系数的关系得－a＝1＋2，b＝1×2，得a＝－3，b＝2，代入所求不等式，得2x2－3x＋1＞0.解得x＜12或x＞1.∴bx2＋ax＋1＞0的解集为{x|x＜12或x＞1}．不注意一元二次不等式二次项系数的正负致误例4若一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为{x|x＜－3或x＞5}，则ax2－bx＋c＜0的解集为____________．错解由根与系数的关系得：－3＋5＝－ba，－3×5＝ca，⇒b＝－2a，c＝－15a.代入得ax2＋2ax－15a＜0，①∴x2＋2x－15＜0，②∴(x－3)(x＋5)＜0，∴－5＜x＜3.答案{x|－5＜x＜3}错因分析①式化为②式，忽略了二次项系数a的符号，并非同解变形．正解由根与系数的关系得：－ba＝－3＋5，ca＝－3×5，⇒b＝－2a，c＝－15a.∴ax2＋2ax－15a＜0，又由解集的形式知a＜0，∴上式化为x2＋2x－15＞0，∴(x－3)(x＋5)＞0，∴x＞3或x＜－5.答案(－∞，－5)∪(3，＋∞)误区警示1．注意隐含信息的提取有些信息是隐含在题设的条件中的，适当挖掘题设信息可较好地完成对解答题目不明信息的突破，如本例借助不等式及其解集的对应关系得出“a＜0”这一关键信息，从而避免不必要的讨论．2．注意“三个二次”的关系二次函数的零点，就是相应一元二次方程的根，也是相应一元二次不等式解集的分界点．1．下面所给关于x的几个不等式：①3x＋4＜0；②x2＋mx－1＞0；③ax2＋4x－7＞0；④x2＜0.其中一定为一元二次不等式的有()A．1个B．2个C．3个D．4个2．若不等式ax2＋5x＋c＞0的解集为x13＜x＜12，则a，c的值为()A．a＝6，c＝1B．a＝－6，c＝－1C．a＝1，c＝6D．a＝－1，c＝－63．已知x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0的解，则k的取值范围是______________．4．不等式x2＋3x－4＜0的解集为________．5．已知关于x的不等式mx2－(2m＋1)x＋m－1≥0的解集为空集，求实数m的取值范围．一、选择题1．不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是()A.x|x≠－13B.x|－13≤x≤13C．∅D.x|x＝－132．若集合A＝{x|(2x＋1)(x－3)＜0}，B＝{x|x∈N*，x≤5}，则A∩B等于()A．{1,2,3}B．{1,2}C．{4,5}D．{1,2,3,4,5}3．若0＜t＜1，则不等式(x－t)x－1t＜0的解集为()A.x|1t＜x＜tB.x|x＞1t或x＜tC.x|x＜1t或x＞tD.x|t＜x＜1t4．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－2,3，a＜0，那么ax2＋bx＋c＞0的解集为()A．{x|x＞3或x＜－2}B．{x|x＞2或x＜－3}C．{x|－2＜x＜3}D．{x|－3＜x＜2}5．若函数f(x)＝x2＋ax＋1的定义域为实数集R，则实数a的取值范围为()A．(－2,2)B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D．[－2,2]6．在R上定义运算“⊙”：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)＜0的实数x的取值范围为()A．(0,2)B．(－2,1)C．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D．(－1,2)7．已知函数f(x)＝x2，x≤0，2x－1，x＞0，若f(x)≥1，则x的取值范围是()A．(－∞，－1]B．[1，＋∞)C．(－∞，0)∪[1，＋∞)D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)二、填空题8．若关于x的不等式x2－3x＋t＜0的解集为{x|1＜x＜m，x∈R}，则t＋m＝________.9．不等式(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1＜0的解集为R，则m的取值范围为________．10．关于x的不等式组x2－x－2＞0，2x2＋2k＋5x＋5k＜0的整数解的集合为{－2}，则实数k的取值范围是________．三、解答题11．解不等式x2－3|x|＋2≤0.12．解关于x的不等式x2－(3a－1)x＋(2a2－2)＞0.13．已知不等式ax2－3x＋6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}．(1)求a，b的值；(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0.当堂检测答案1．答案B解析②④一定是一元二次不等式．2．答案B解析易知a＜0，且－5a＝12＋13，ca＝13×12，⇒a＝－6，c＝－1.3．答案k≤2或k≥4解析x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0的解，把x＝1代入不等式得k2－6k＋8≥0，解得k≥4或k≤2.4．答案(－4,1)解析易得方程x2＋3x－4＝0的两根为－4,1，所以不等式x2＋3x－4＜0的解集为(－4,1)．5．解(1)当m＝0时，原不等式化为－x－1≥0，∴x≤－1，解集非空．(2)当m≠0时，m＜0，Δ＝[－2m＋1