必修四向量减法运算及其几何意义(附答案)

1向量减法运算及其几何意义[学习目标]1.掌握向量减法的运算，并理解其几何意义.2.明确相反向量的意义，能用相反向量说出向量相减的意义.3.能将向量的减法运算转化为向量的加法运算．知识点一相反向量与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a.(1)规定：零向量的相反向量仍是零向量；(2)－(－a)＝a；(3)a＋(－a)＝0.(4)若a与b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.思考若a＋b＝c＋d，则a－c＝d－b成立吗？答案成立．知识点二向量的减法(1)定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．(2)法则：向量的减法运算也有平行四边行法则和三角形法则，这也正是向量运算的几何意义．作差向量时，一定要注意差向量的箭头指向被减向量．思考如图，已知a，b，请你用平行四边形法则和三角形法则分别作出向量a，b的差向量a－b.答案(1)利用平行四边形法则．如图，在平面内任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，作OC→＝－b，以OA→，OC→为邻边作平行四边形OAEC，则OE→＝a－b.(2)利用三角形法则．如图，在平面内任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则BA→＝a－b.知识点三向量的模与向量加、减运算间的关系根据向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则可以解释|a|、|b|与|a＋b|、|a－b|之间的关系，请你把下列结论补充完整：对于任意的两个非零向量a、b，都有：(1)当且仅当a、b共线同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|，|a－b|＝||a|－|b||.2(2)当且仅当a、b共线反向时，|a＋b|＝||a|－|b||，|a－b|＝|a|＋|b|.(3)当a与b不共线时，向量a、b、a＋b或a、b、a－b分别能围成三角形．由三角形中任意两边之和(差)大于(小于)第三边知：||a|－|b|||a±b||a|＋|b|.所以，对任意两个非零向量a、b总有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.可以检验a或b为零向量时，上式中的等号成立．经常利用该不等式判断向量模的范围．思考若|a|＝1，|b|＝2，则|a＋b|的取值范围是________；|a－b|的取值范围是________．答案[1,3][1,3]题型一向量的减法例1如图所示，已知向量a、b、c、d，求作向量a－b，c－d.解如图所示，在平面内任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，OD→＝d.则a－b＝BA→，c－d＝DC→.跟踪训练1如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.解如图所示，在平面内任取一点O，作OA→＝a，AB→＝b，则OB→＝a＋b，再作OC→＝c，则CB→＝a＋b－c.题型二向量减法法则的运用例2化简下列式子：(1)NQ→－PQ→－NM→－MP→；(2)(AB→－CD→)－(AC→－BD→)．解(1)原式＝NP→＋MN→－MP→＝NP→＋PN→＝NP→－NP→＝0.(2)原式＝AB→－CD→－AC→＋BD→＝(AB→－AC→)＋(DC→－DB→)＝CB→＋BC→＝0.3跟踪训练2化简：(1)(BA→－BC→)－(ED→－EC→)；(2)(AC→＋BO→＋OA→)－(DC→－DO→－OB→)．解(1)(BA→－BC→)－(ED→－EC→)＝CA→－CD→＝DA→.(2)(AC→＋BO→＋OA→)－(DC→－DO→－OB→)＝AC→＋BA→－DC→＋(DO→＋OB→)＝AC→＋BA→－DC→＋DB→＝BC→－DC→＋DB→＝BC→＋CD→＋DB→＝BC→＋CB→＝0.题型三向量减法的应用例3如图所示，已知OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，OE→＝e，OD→＝d，OF→＝f，试用a，b，c，d，e，f表示AC→，AD→，AD→－AB→，AB→＋CF→，BF→－BD→，DF→＋FE→＋ED→.解AC→＝OC→－OA→＝c－a，AD→＝OD→－OA→＝d－a，AD→－AB→＝BD→＝OD→－OB→＝d－b，AB→＋CF→＝OB→－OA→＋OF→－OC→＝b－a＋f－c，BF→－BD→＝DF→＝OF→－OD→＝f－d，DF→＋FE→＋ED→＝0.跟踪训练3如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且AB→＝a，AC→＝b，AE→＝c，试用a，b，c表示向量BD→，BC→，BE→，CD→及CE→.解∵四边形ACDE是平行四边形，∴CD→＝AE→＝c，BC→＝AC→－AB→＝b－a，BE→＝AE→－AB→＝c－a，4CE→＝AE→－AC→＝c－b，∴BD→＝BC→＋CD→＝b－a＋c.利用向量证明平面几何问题例4如图所示，O为△ABC的外心，H为垂心，求证：OH→＝OA→＋OB→＋OC→.证明作直径BD，连接DA、DC，则OB→＝－OD→，DA⊥AB，AH⊥BC，CH⊥AB，CD⊥BC.∴CH∥DA，AH∥DC，故四边形AHCD是平行四边形．∴AH→＝DC→，又DC→＝OC→－OD→＝OC→＋OB→，∴OH→＝OA→＋AH→＝OA→＋DC→＝OA→＋OB→＋OC→.1．化简OP→－QP→＋PS→＋SP→的结果等于()A.QP→B.OQ→C.SP→D.SQ→2．如图所示，在▱ABCD中，AB→＝a，AD→＝b，则用a，b表示向量AC→和BD→分别是()A．a＋b和a－bB．a＋b和b－aC．a－b和b－aD．b－a和b＋a3．若菱形ABCD的边长为2，则|AB→－CB→＋CD→|＝________.54．在平行四边形ABCD中，BC→－CD→＋BA→－AD→＝________.一、选择题1．在平行四边形ABCD中，AC→－AD→等于()A.AB→B.BA→C.CD→D.DB→2．下列等式中，正确的个数为()①0－a＝－a；②－(－a)＝a；③a＋(－a)＝0；④a＋0＝a；⑤a－b＝a＋(－b)；⑥a－(－a)＝0.A．3B．4C．5D．63．在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是()A.AB→－DC→＝0B.AD→－BA→＝AC→C.AB→－AD→＝BD→D.AD→＋CB→＝04．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，|BC→|2＝16，|AB→＋AC→|＝|AB→－AC→|，则|AM→|等于()A．8B．4C．2D．15.如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则()A.AD→＋BE→＋CF→＝0B.BD→－CF→＋DF→＝0C.AD→＋CE→－CF→＝0D.BD→－BE→－FC→＝06．在平行四边形ABCD中，|AB→＋AD→|＝|AB→－AD→|，则有()A.AD→＝0B.AB→＝0或AD→＝0C．ABCD是矩形D．ABCD是菱形二、填空题7．已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2AC→＋CB→＝0，则OC→可用OA→、OB→表示为________．68．若向量a，b满足|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最小值为________，|a－b|的最大值为________．9．边长为1的正三角形ABC中，|AB→－BC→|的值为________．10．已知OA→＝a，OB→＝b，若|OA→|＝12，|OB→|＝5，且∠AOB＝90°，则|a－b|＝________.三、解答题11．若a≠0，b≠0，且|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b所在直线的夹角．12.如图所示，已知正方形ABCD的边长等于1，AB→＝a，BC→＝b，AC→＝c，试求：(1)|a＋b＋c|；(2)|a－b＋c|.13．已知|a|＝8，|b|＝6，且|a＋b|＝|a－b|，求|a－b|.7当堂检测答案1．答案B2．答案B解析由向量的加法、减法得，AC→＝AB→＋AD→＝a＋b，BD→＝AD→－AB→＝b－a.故选B.3．答案2解析||AB→－CB→＋CD→＝||AB→＋BC→＋CD→＝||AC→＋CD→＝||AD→＝2.4．答案0解析原式＝(BC→－AD→)＋(BA→－CD→)＝0＋0＝0.课时精练答案一、选择题1．答案A解析AC→－AD→＝DC→＝AB→.2．答案C解析根据相反向量的概念知①②③④⑤正确，所以正确的个数为5.故选C.3．答案C解析∵AB→＝DC→，∴AB→－DC→＝0，A正确；∵AD→－BA→＝AD→＋AB→＝AC→，B正确；∵AB→－AD→＝AB→＋DA→＝DB→，C错误；∵AD→＝BC→，∴AD→＝－CB→，∴AD→＋CB→＝0，D正确．4．答案C解析由|BC→|2＝16，得|BC→|＝4，|AB→＋AC→|＝|AB→－AC→|＝|CB→|＝4，8而|AB→＋AC→|＝2|AM→|，故|AM→|＝2.5.答案A解析AD→＋BE→＋CF→＝12AB→＋12BC→＋12CA→＝12(AB→＋BC→＋CA→)＝0.6．答案C解析AB→＋AD→与AB→－AD→分别是平行四边形ABCD的两条对角线，且|AB→＋AD→|＝|AB→－AD→|，∴ABCD是矩形．二、填空题7．答案2OA→－OB→解析OC→＝OB→＋BC→＝OB→＋2AC→＝OB→＋2(OC→－OA→)，∴OC→＝2OA→－OB→.8．答案420解析当a与b方向相反时，|a＋b|取得最小值，其值为12－8＝4；这时|a－b|取得最大值，其值为12＋8＝20.9．答案3解析如图所示，延长CB到点D，使BD＝1，连接AD，则AB→－BC→＝AB→＋CB→＝AB→＋BD→＝AD→.在△ABD中，AB＝BD＝1，∠ABD＝120°，易求AD＝3，∴|AB→－BC→|＝3.10．答案13解析∵|OA→|＝12，|OB→|＝5，∠AOB＝90°，∴|OA→|2＋|OB→|2＝|AB→|2，∴|AB→|＝13.∵OA→＝a，OB→＝b，∴a－b＝OA→－OB→＝BA→，∴|a－b|＝|BA→|＝13.三、解答题11．解设OA→＝a，OB→＝b，则a－b＝BA→，9∵|a|＝|b|＝|a－b|，∴|OA→|＝|OB→|＝|BA→|，∴△OAB是等边三角形，∴∠BOA＝60°.∵OC→＝a＋b，且在菱形OACB中，对角线OC平分∠BOA.∴a与a＋b所在直线的夹角为30°.12.解(1)由已知得a＋b＝AB→＋BC→＝AC→，又AC→＝c，∴延长AC到E，使|CE→|＝|AC→|.则a＋b＋c＝AE→，且|AE→|＝22.∴|a＋b＋c|＝22.(2)作BF→＝AC→，连接CF，则DB→＋BF→＝DF→，而DB→＝AB→－AD→＝a－BC→＝a－b，∴a－b＋c＝DB→＋BF→＝DF→且|DF→|＝2.∴|a－b＋c|＝2.13．解设AB→＝a，AD→＝b，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，如下图所示：则AC→＝a＋b，DB→＝a－b，所以|AC→|＝|DB→|.又因为四边形ABCD为平行四边形，所以四边形ABCD为矩形，故AD⊥AB.在Rt△DAB中，|AB→|＝8，|AD→|＝6，由勾股定理得|DB→|＝|AB→|2＋|AD→|2＝82＋62＝10.所以|a－b|＝10.