高二数学选修2-1四种命题的关系及全称量词与存在量词

2020/9/41.1.3四种命题的相互关系高二数学选修2-1第一章常用逻辑用语2020/9/4回顾交换原命题的条件和结论，所得的命题是________同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是________交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是__________逆命题。否命题。逆否命题。2020/9/4原命题,逆命题,否命题,逆否命题四种命题形式:原命题:逆命题:否命题:逆否命题:若p,则q若q,则p若┐p,则┐q若┐q,则┐p2020/9/4观察与思考？()()fxfx1）若是正弦函数，则是周期函数。()()fxfx2）若是周期函数，则是正弦函数。()()fxfx3）若不是正弦函数，则不是周期函数。()()fxfx4）若不是周期函数，则不是正弦函数。你能说出其中任意两个命题之间的关系吗?课堂小结原命题若p则q逆命题若q则p否命题若﹁p则﹁q逆否命题若﹁q则﹁p互否命题真假无关互否命题真假无关2020/9/42）原命题：若a=0,则ab=0。逆命题：若ab=0,则a=0。否命题：若a≠0,则ab≠0。逆否命题：若ab≠0,则a≠0。(真)(假)(假)(真)(真)2.四种命题的真假看下面的例子：1）原命题：若x=2或x=3,则x2-5x+6=0。逆命题：若x2-5x+6=0,则x=2或x=3。否命题：若x≠2且x≠3,则x2-5x+6≠0。逆否命题：若x2-5x+6≠0，则x≠2且x≠3。(真)(真)(真)3）原命题：若x∈A∪B，则x∈UA∪UB。逆命题：x∈UA∪UB，x∈A∪B。否命题：xA∪B，xUA∪UB。逆否命题：xUA∪UB，xA∪B。Help假假假假2020/9/4四种命题的真假,有且只有下面四种情况:原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假2020/9/4想一想？（2）若其逆命题为真，则其否命题一定为真。但其原命题、逆否命题不一定为真。由以上三例及总结我们能发现什么？即原命题与逆否命题同真假。原命题的逆命题与否命题同真假。（1）原命题为真，则其逆否命题一定为真。但其逆命题、否命题不一定为真。(两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系).几条结论:2020/9/41.判断下列说法是否正确。1）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定为真；（对）2）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真。（对）2.四种命题真假的个数可能为（）个。答：0个、2个、4个。如：原命题：若A∪B=A,则A∩B=φ。逆命题：若A∩B=φ，则A∪B=A。否命题：若A∪B≠A，则A∩B≠φ。逆否命题：若A∩B≠φ，则A∪B≠A。（假）（假）（假）（假）3）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假。（错）4）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假。（错）练一练2020/9/4练习：分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假。（1）若q1,则方程有实根。（2）若ab=0,则a=0或b=0.（3）若或，则。（4）若，则x,y全为零。220xxq0m0n0mn220xy2020/9/4在直接证明某一个命题为真命题有困难时,可以通过证明它的逆否命题为真命题,来间接证明原命题为真命题.──这是一种很好的尝试,它往往具有正难则反,出奇制胜的效果.──它其实是反证法的一种特殊表现:从命题结论的反面出发,引出矛盾(如证明结论的条件不成立),从而证明命题成立的推理方法.总结2020/9/4反证法：要证明某一结论A是正确的，但不直接证明，而是先去证明A的反面（非A）是错误的，从而断定A是正确的。即反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法。2020/9/4反证法的步骤：1.假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。2.从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾。3.由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。奎屯王新敞新疆推理过程中一定要用到才行显而易见的矛盾(如和已知条件矛盾).2020/9/4例证明：若p2＋q2＝2，则p＋q≤2.将“若p2＋q2＝2，则p＋q≤2”看成原命题。由于原命题和它的逆否命题具有相同的真假性，要证原命题为真命题，可以证明它的逆否命题为真命题。分析:直接证不好下手.即证明为真命题222,2.pqpq“若则”2020/9/4证明:假设2pq,假设原命题结论的反面成立看能否推出原命题条件的反面成立则2()4pq,∴2224pqpq,∵222pqpq≥,∴222()4pq,∴222pq,∴222pq.尝试成功这表明原命题的逆否命题为真命题,从而原命题也为真命题.得证例证明：若p2＋q2＝2，则p＋q≤2.2020/9/4变式练习1、已知。求证：332pq2.pq这说明，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题。解：假设p+q2,那么q2-p,根据幂函数的单调性，得即所以3yx33(2),qp3238126,qppp3328126pqpp216(1),3p332.pq332.pq因此2020/9/4可能出现矛盾四种情况：与题设矛盾；与反设矛盾；与公理、定理矛盾；在证明过程中，推出自相矛盾的结论。2020/9/4这些条件都与已知矛盾0ba所以原命题成立ba证明:假设a不大于b则ab或a=b因为a0,b0所以abaabaabbbaba=ba=b例用反证法证明：如果ab0，那么.ba2020/9/4练圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD交于P，且AB、CD不是直径.求证：弦AB、CD不被P平分.证明：假设弦AB、CD被P平分，∵P点一定不是圆心O，连接OP，根据垂径定理的推论，有OP⊥AB,OP⊥CD即过点P有两条直线与OP都垂直，这与垂线性质矛盾，∴弦AB、CD不被P平分。2020/9/4若a2能被2整除，a是整数，求证：a也能被2整除.证：假设a不能被2整除，则a必为奇数，故可令a=2m+1(m为整数),由此得a2=(2m+1)2=4m2+4m+1=4m(m+1)+1,此结果表明a2是奇数，这与题中的已知条件（a2能被2整除）相矛盾,∴a能被2整除.2020/9/42020/9/4UAA∩BBBack2020/9/41.4.3含有一个量词的命题的否定2020/9/4全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”x∈M,p(x)读作：对任意x属于M，有p(x)成立集合复习回顾特称命题“存在M中的一个x,使p(x)成立”符号简记为：读作：“存在一个x属于M，使p(x)成立”含有全称量词的命题，叫做全称命题含有存在量词的命题，叫做特称命题符号简记为：x∈R,p(x)2020/9/4要判定全称命题“x∈M,p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x,证明p(x)成立；如果在集合M中找到一个元素x0,使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题判断全称命题和特称命题真假要判定特称命题“x∈M,p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0,使p(x0)成立即可，如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，则特称命题是假命题复习回顾常见的全称量词有“所有的”“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等.常见的存在量词有“存在一个”“至少一个”“有些”“有一个”“对某个”“有的”等.2020/9/4判断下列语句是不是命题，如果是，说明其是全称命题还是特称命题,并用符号来表示(1)有一个向量a，a的方向不能确定．(2)存在一个函数f(x)，使f(x)既是奇函数又是偶函数．(3)对任何实数a,b,c,方程ax2+bx+c=0都有解．(4)平面外的所有直线中，有一条直线和这个平面垂直吗?或解答(1)(2)(3)都是命题，其中(1)(2)是特称命题，(3)是全称命题．(4)不是命题．练习：2020/9/4对全称命题、特称命题不同表述形式的学习同一个全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法。命题全称命题特称命题表述方法(1),(),(),(),(),()xApxxApxxApxxApxxApx所有成立.(2)对一切成立.(3)对每一个成立.(4)任选一个使成立.(5)凡都有成立.0000000000(1),(),(),(),(),()xApxxApxxApxxApxxApx存在使成立.(2)至少有一个使成立.(3)对有些使成立.(4)对某个使成立.(5)有一个使成立.2020/9/4练习：1、设集合S={四边形}，p(x)：内角和为。试用不同的表述写出全称命题,().xSpx0360解：对所有的四边形x，x的内角和为；0360对一切四边形x，x的内角和为；0360每一个四边形x，x的内角和为；0360凡是四边形x，x的内角和为。03602、设q(x):适用不同的表达方式写出特称命题2,xx,().xRqx2000,xxx存在使成立；2000,xxx至少有一个使成立；2000,xxx有一个使成立；2000,xxx对某个使成立；2000,xxx对某些实数使成立。2020/9/4命题的否定形式有：原命题是都是至少有一个至多有一个对任意xA使p(x)真否定形式不是不都是一个也没有至少有两个存在xA使p(x)假复习回顾2020/9/4情景一设p:“平行四边形是矩形”(1)命题p是真命题还是假命题(2)请写出命题p的否定形式(3)判断¬p的真假命题的否定的真值与原来的命题.而否命题的真值与原命题.相反无关2020/9/4设p:“平行四边形是矩形”情景一你能否用学过的“全称量词和存在量词”来解决上述问题可以在“平行四边形是矩形”的前面加上全称量词，变为p:“所有的平行四边形是矩形”¬p:“不是所有的平行四边形是矩形”也就是说“存在至少一个平行四边形它不是矩形”所以，¬p:“存在平行四边形不是矩形”假命题真命题2020/9/4情景二对于下列命题：所有的人都喝水；存在有理数，使；对所有实数都有。022x0||a•尝试对上述命题进行否定，你发现有什么规律？想一想？2020/9/4定”。词，“肯定”变为“否为存在量题否定后，全称量词变“有的人不喝水”。命，的人都喝水”，换言之）的否定为“并非所有命题（1肯定”变为“否定”。量词变为全称量词，“命题否定后，存在”即“对所有的有理数”使有理数）的否定为“并非存在命题（.02,,02,222xxxx.0,03”，使即“存在实数”，都有有的实数）的否定为“并非对所命题（aaaa(1)所有的人都喝水；(2)存在有理数，使；(3)对所有实数都有。022x0||a2020/9/4含有一个量词的全称命题的否定,有下面的结论xM,p(x)全称命题:p它的否定:pxM,p(x)例1写出下列全称命题的否定：1）p:所有能被3整除的整数都是奇数；2）p:每一个四边形的四个顶点公圆；23）p:对任意xZ，x的个位数字不等于3。从形式看，全称命题的否定是特称命题。新课讲授2020/9/4从形式看,特称命题的否定都变成了全称命题.含有一个量词的特称命题的否定,有下面的结论xM,p(x)特称命题:p它的否定:pxM,p(x)0x2例2出下列特命的否定：1）p:R,x+2x+3；2）p:有的三角形是等边三角形；3）p:有一个素数含有三个正因子。写称题2020/9/4问题讨论写出下列命题的非．(1)p：方程x2-x-6=0的解是x=-2．(2)q：四条边相等的四边形是正方形．(3)r：奇数是质数．解答(1)¬p：方程x2-x-6=0的解不是x=-2．(2)¬q：四条边相等的四边形不是正方形．(3)¬r：奇数不是质数．以上解答是否错误，请说明理由．注：非p叫做命题的否定，但“非p”绝不是“是”与“不是”的简单演绎。因注意命题中是否存在“全称量词”或“特称量词”2020/9/4例