基本概念与运算法则导读-2015年7月4日

你喜欢阅读吗？你每年大约读几本书？你每年大约读几本专业书？时间都去哪儿了？导读基本概念与运算法则邢佳立[e-mail]浙江省新思维教育科学研究院56第一部分数的认识下面是几个版本“10以内数的认识”教材，请你思考：你最喜欢哪一个版本的教材？为什么？1：北师版2：人教版3：北京版4：浙教版•你喜欢某一版本的理由可能是：•1.美（情境吸引学生，符合学生认知）•2.简（内容呈现清晰，容易把握重点）•3.巧（重视后继联系，便于经验积累）•.……•问题：•我们要教学的内容是什么？•——10以内数的认识•追问：•什么是数？•数的本质是什么？•——《基本概念与运算法则》寻找答案1.数的本质是什么？数数数数数本质??数的最初产生都伴随着具体的量：3棵树、2头猎物、1堆篝火……数量数是对数量的抽象。什么是数量?有实际背景，关于量的多少的表达称为数量研究数研究数量？思考：数量之间的基本关系是什么？（1）研究数量本身（2）研究数量之间的基本关系。——多与少对多少的感觉与判断动物同样有……动物对数的感觉——人类在远古时代就知道借助集合与集合之间元素的对应关系可以分辨多少：如果两个集合的元素能够一一对应，那么这两个集合的元素一样多；如果一个集合有剩余，那么这个集合元素的个数就多于另一个集合元素的个数；反之，就少于另一个集合元素的个数。对于多少的表达方式——一一对应能比较下列物品的多少吗？31数是对数量的抽象。数量之间的基本关系是多与少。数之间的基本关系是大与小。数量的第一步抽象：具有物理背景、采用对应的方法。数量的第二步抽象：数数量→数。2匹马、2头牛→2。数量的本质多与少→数的本质大与小□□←→2□□□←→3•回顾：•数的本质是什么？•——数是对数量的抽象•研究数量要研究什么？•——（1）数量本身•——（2）数量之间的关系•数量之间的基本关系是什么？•——多与少如何认识自然数？一、基于对应的方法。二、基于定义的方法。自然数是如何定义的？皮亚诺算术公理体系来定义自然数。——意大利数学家皮亚诺（GiuseppePeano，1858-1932）1889《用一种新方法陈述的算术原理》从1开始通过“直接后继”产生1以后的所有自然数。所谓“直接后继”就是在已经定义了的自然数后面再加上1，得到后继自然数，具体形成过程如下：2=1+1,3=2+1，4=3+1，……直到无穷多个自然数。——自然数的本质规律：自然数是一个一个大起来的。如何认识自然数？一、基于对应的方法。二、基于定义的方法。对于一年级学生来说，要如何认识自然数？现实生活中，抽象了的数是不存在的，存在的只是数所对应的数量。（或者说，数是抽象了的存在。）下面是几个版本“10以内数的认识”教材，请你思考：你最喜欢哪一个版本的教材？为什么？1：北师版2：人教版3：北京版4：浙教版•感悟：•简单的十以内数的认识并不简单！•讨论：•如果现在请你设计一节十以内数的认识教学，你会关注哪些？概念的形成过程：本质形式思考：这些都是十进制数吗？理由？•这个数你能写出来吗？试试看。•二十九亿四千八百零三万零四•再大一点的数呢？•——当然没问题！•为什么呢？•基于：10个数字基本规则。•表示自然数的关键是是十个符号和数位。表示自然数的关键是什么？回顾：这些都是十进制数吗？为什么？为什么十个符号可以表示无穷无尽的数？最妙的发明之一。——马克思《数学手稿》用十个记号来表示一切的数，每个记号不但有绝对的值，而且有位置的值，这种巧妙的方法出自印度。这是一个深远而又重要的思想，它今天看来如此简单，以致我们忽视了它的真正伟绩。但恰恰是它的简单性以及对一切计算都提供了极大的方便，才使我们的算术在一切有用的发明中列在首位；而当我们想到它竟逃过了古代最伟大的两位人物阿基米德和阿波罗尼斯的天才思想的关注时我们更感到这成就的伟大了。——拉普拉斯（法国）《宇宙体系论》中国——吴文俊还有其他计数法吗？古代巴比伦人的六十进位制玛雅数系中的二十进位制计算机技术中的二进位制•十进制的核心：•1.进率；•2.位置值；•八进制、十六进制、二进制与十进制什么相同，什么不同？……•请你将十进制数357改写为八进制、十六进制、二进制。读自然数的法则：十个符号+数位如何读2002？（贰千零百零贰，简约贰千零贰）数位与数不同数位：个(ones)、十(tens)，“十”是十个“个”，“万”是十个“千”数：10=9+110000=9999+1（中国称“一万”，西方称“十千”）进一步讨论：自然数的读写。•感悟：•“10的认识”很重要！•讨论：•教学中，认识10、认识100、认识1000、认识10000与认识更大的数，侧重点分别在哪里？如何认识自然数的性质？•依据性质可以对自然数进行分类•（分类的核心的构建一个标准）•怎样分类可使得标准与性质是等价的？•小学数学教学内容对自然数分类主要有两种：一种是奇数和偶数；另一种是素数与合数。如何认识自然数的性质？●奇数与偶数（两种方法）●针对自然数序：从1开始，每隔1的自然数为奇数；从2开始，每隔1的自然数为偶数。●针对非0自然数：不能被2整除的称为奇数，能被2整除的称为偶数。●这两种方法是等价的。如何认识自然数的性质？●素数与合数●任何一个合数都可以表示为若干个素数的乘积，并且这种表示方法是唯一的。●比如，60=2×2×3×5，60与素数组（2，2，3,5）唯一对应。素数有无限多个吗？如何认识自然数的性质？1、素数有无限多个吗？2、存在某个自然数n变化的自然数的区间，这个区间内必定存在素数吗？3、哥德巴赫猜想。4、完满数？素数有无限多个吗？欧几里德：反证法矛盾律与排中律存在某个自然数n变化的自然数的区间，这个区间内必定存在素数吗？法国数学家伯特兰（1845）提出猜想令n为大于1的自然数，至少存在一个素数p，使得n﹤p﹤2n俄罗斯数学家切比雪夫证明了波特兰猜想迄今为止，人们发现最大的素数是230402457–1这是一个位数超过900万位的数哥德巴赫猜想任一大于2的偶数，都可表示成两个素数之和。完满数自从他以来，而且部分由于他的缘故，数学对哲学的影响是既深刻又不幸。……数学是我们得以信仰永恒而严格真理的主要源泉，也是得以信仰存在一个超感而可知世界的主要源泉。——罗素《西方哲学史》bi完满数：一个数所含有的因数之和正好等于这个数6=1+2+31，2，4，7，14之和等于28“上帝创造了自然数，以后的一切都是人造的。”——德国数学家克郎尼克小测试：最小的一位数是几？●对于不同的数集，问题的答案是不一样的：●在正整数集合中，最小的一位数是1；在自然数集合中，最小的一位数是0；在整数集合中，最小的一位数是-9。在提出或回答类似问题，首先应当清楚是在哪个集合讨论问题，这个集合决定了讨论问题的范围。如何认识负数？认识负数需要明确的现实背景改造于《九章算术》方程篇第八题。在汉朝的时候，有一个人做了三次牲畜买卖，收支情况如下：第一次卖牛收入24钱，卖羊收入25钱，买猪支出39钱，合计收入10钱；第二次卖牛收入36钱，买羊支出45钱，卖猪收入90钱，合计收支相当；第三次买牛支出60钱，卖羊收入30钱，卖猪收入24钱，合计支出6钱。如何用数学的方法表达？如何认识负数？认识负数需要明确的现实背景文字形式牛羊猪合计第一次收入24收入25支出39收入10第二次收入36支出45收入900第三次支出60收入30收入24支出6数字形式牛羊猪合计第一次2425-3910第二次36-45900第三次-603024-6负数与自然数：数量相等（绝对值）、意义相反。如何认识分数？张奠宙：分数的真正来源，在于自然数除法的推广。由“份数”定义到“商”的定义，是数系的扩充。这是一次跨越，一次升华。每个学生都必须面对。现在的教科书，对于数的扩充只字不提，连“分数是新朋友”这样的话也不说，应该说是一种数学思想方法上的缺失。如何认识分数？分数可以看作除法运算的一种表示,但它的本身是数而不是运算。古希腊学者对分数进行研究，最初认为：现实世界中的所有数量关系都能写成分数的形式。后来，又发现不能写成分数的形式，于是把能写成分数形式的数称为有理数，把不能用分数表示的数称为无理数。毕达哥拉斯学派如何认识分数？分数有两个现实背景：一是整体与等分的关系。通过等分得到分数单位。如果两个分数相加,和的分母不相同则意味着两个分数的单位不同。必须对两个分数的原分数单位进一步等分，产生了分数的基本性质。分数的不唯一性、分数的等价类。如何认识分数？分数有两个现实背景：二是整比例关系。分数还可以表示两个事物量之间的整数比，以一个事物的量为基准对另一个事物的量进行整数倍的度量。。有鹅4只，是鸭子的三分之一，问有几只鸭子？教学目的：4÷1/3=4×3=12破题：解释什么是1/3？1只鹅对应3只鸭子，2只鹅对应6只鸭子，3只鹅对应9只鸭子，所以：4只鹅对应12只鸭子。如何认识分数？分数表达的两种数量关系，说明分数是一种无量纲的数。每块小月饼占大蛋糕的三分之一，这个分数与整体本身的大小无关；鹅与鸭的只数比是1：3，这个比例与数量的多少无关。如何认识小数？建立小数概念，一方面是为了现实世界中数量表达的需要，另一方面是为了表示无理数。用小数定义有理数和无理数。（更好地解释实数理论，特别是实数的连续性）有限小数和无限循环小数为有理数；无限不循环小数为无理数；有理数与无理数统称为实数。书如何认识小数？理解小数，核心在于重新理解十进制。238=2×102+3×101+8×1006.75=6×100+7×10-1+5×10-2一个十进制的数就是一个以10的整数次幂为基底的线性组合。⑧什么是数感？你能说出课程标准中十个数学核心概念吗？⑧什么是数感？主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。——《课程标准（2011版）》数是对数量的抽象抽象出来的数与数量是有联系的。感悟什么呢？抽象的核心是舍去现实背景，联系的核心是回归现实背景。•休息以后继续思考~~第二部分数的运算定义自然数的同时定义了加法运算——为了保证减法运算的封闭性，从自然数集合扩充到整数集合；——为了保证除法运算的封闭性，从整数集合扩充到有理数集合。加法运算四则运算如何解释自然数的加法运算？•请你说说：什么是加法？•相应的，也有两种定义加法的办法：回顾：有两种方法解释自然数的方法：一种是基于（）的方法，另一种是基于（）的方法。•你能根据自然数的定义来解释加法吗？•——定义自然数的同时已经定义了加法：•还记得怎么定义自然数的吗？•后继数就是在原数的基础上增加1。从1开始通过“直接后继”产生1以后的所有自然数。所谓“直接后继”就是在已经定义了的自然数后面再加上1，得到后继自然数，具体形成过程如下：2=1+1,3=2+1，4=3+1，……直到无穷多个自然数。——自然数的本质规律：自然数是一个一个大起来的。这两种方式是如何解释加法的？利用等号的等价关系。•回忆：•在多数教材的呈现中，我们是引导学生根据什么认识自然数的？a：定义b：对应•学生更容易根据什么认识加法？看教材：这是用哪一种方式解释加法？这些呢？•请你举出一个教学中的例子，用“对应”的方式解释加法。•你觉得需要用对应的方式解释加法吗？为什么？•你遇到过这样的孩子吗？•3+（）=5做对，5=3+（）做错•或者：•3+2=（）+1，（）里填5•为什么会这样？•——学生对加法的理解是“增加”、“大起来”，而不是“对应”、“平衡”•这需要进一步思考等号的含义：•1.结果2.平衡•你认为学生对等号的理解与对什么是加法的理解有关吗？•现在，如果请你上一节“5以内的加法”，你会如何设计？•漫谈：和•加数+加数=和是什么意思？•为什么是“和”而不是“合”？•“和”：初意为树上的小鸟此唱彼和的声音和场景。引申为很多人演唱获演奏时乐音的谐和。由此推断，“和”是两个或多个在一起像一个的意思。•——何金松《汉字文化解读》•“合”初意为关闭。后来引申为“聚集”，才有了联合的意思。•为什么说减法是加法的逆运算？•问题：减法与加法是什么关系