高中数学人教A选择性必修一第一章-1.1.2-空间向量的数量积运算

第一章§1.1空间向量及其运算1.会识别空间向量的夹角.2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法.3.能用空间向量数量积解决简单的立体几何问题.学习目标XUEXIMUBIAO内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练1知识梳理PARTONE知识点一空间向量的夹角1.定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉.OA→∠AOBOB→2.范围：.特别地，当〈a，b〉＝时，a⊥b.0≤〈a，b〉≤ππ2思考当〈a，b〉＝0和〈a，b〉＝π时，向量a与b有什么关系？答案当〈a，b〉＝0时，a与b同向；当〈a，b〉＝π时，a与b反向.知识点二空间向量的数量积定义已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝.规定：零向量与任何向量的数量积都为0.性质①a⊥b⇔_______②a·a＝a2＝|a|2运算律①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R.②a·b＝b·a(交换律).③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).|a||b|cos〈a，b〉a·b＝0思考1向量的数量积运算是否满足结合律？答案不满足结合律，(a·b)·c＝a·(b·c)是错误的.思考2对于向量a，b，若a·b＝k，能否写成a＝kb或b＝ka？答案不能，向量没有除法.知识点三向量a的投影1.如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量.类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2)).b|b|2.如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到，向量称为向量a在平面β上的投影向量.这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角.A′B′———→A′B′———→A′B′———→2.若a·b＝0，则a＝0或b＝0.()3.对于非零向量b，由a·b＝b·c，可得a＝c.()4.若非零向量a，b为共线且同向的向量，则a·b＝|a||b|.()思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU1.向量AB→与CD→的夹角等于向量AB→与DC→的夹角.()×××√2题型探究PARTTWO一、数量积的计算例1如图所示，在棱长为1的正四面体A－BCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求：(1)EF→·BA→；解EF→·BA→＝12BD→·BA→＝12|BD→||BA→|·cos〈BD→，BA→〉＝12cos60°＝14.(2)EF→·BD→；解EF→·BD→＝12BD→·BD→＝12|BD→|2＝12.(3)EF→·DC→；解EF→·DC→＝12BD→·DC→＝12|BD→|·|DC→|cos〈BD→，DC→〉＝12cos120°＝－14.(4)AB→·CD→.解AB→·CD→＝AB→·(AD→－AC→)＝AB→·AD→－AB→·AC→＝|AB→||AD→|cos〈AB→，AD→〉－|AB→||AC→|cos〈AB→，AC→〉＝cos60°－cos60°＝0.反思感悟求空间向量数量积的步骤(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积.(3)代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解.跟踪训练1(1)已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b等于A.1B.2C.3D.4√解析∵p⊥q且|p|＝|q|＝1，∴a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2＋p·q－2q2＝3＋0－2＝1.(2)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AE→·BD→＝_____.2解析∵AE→＝AD→＋DE→＝AD→＋12AB→，BD→＝AD→－AB→，∴AE→·BD→＝AD→＋12AB→·(AD→－AB→)＝AD→2－AD→·AB→＋12AB→·AD→－12AB→2＝4－0＋0－2＝2.二、利用数量积证明垂直问题例2如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD.证明设A1B1—→＝a，A1D1—→＝b，A1A—→＝c，则a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0，|a|＝|b|＝|c|.∵A1O—→＝A1A—→＋AO→＝A1A—→＋12(AB→＋AD→)＝c＋12a＋12b，BD→＝AD→－AB→＝b－a，OG→＝OC→＋CG→＝12(AB→＋AD→)＋12CC1—→＝12a＋12b－12c，∴A1O—→·BD→＝c＋12a＋12b·(b－a)＝c·b－c·a＋12a·b－12a2＋12b2－12b·a＝12(b2－a2)＝12(|b|2－|a|2)＝0.于是A1O—→⊥BD→，即A1O⊥BD.同理可证A1O—→⊥OG→，即A1O⊥OG.又∵OG∩BD＝O，OG⊂平面GBD，BD⊂平面GBD，∴A1O⊥平面GBD.反思感悟用向量法证明几何中垂直关系问题的思路(1)要证两直线垂直，可分别构造与两直线平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可.(2)用向量法证明线面垂直，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量数量积证明线线垂直即可.跟踪训练2如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.求证：PA⊥BD.证明在△ADB中，∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得，BD＝3AD，所以AD2＋BD2＝AB2，所以DA⊥BD，则BD→·DA→＝0.由PD⊥底面ABCD，知PD⊥BD，则BD→·PD→＝0.又PA→＝PD→＋DA→，所以PA→·BD→＝(PD→＋DA→)·BD→＝PD→·BD→＋DA→·BD→＝0，即PA⊥BD.三、用数量积求解夹角和模例3如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，点N为AA1的中点.(1)求BN→的模；解由已知得|CA→|＝|CB→|＝1，|CC1—→|＝|AA1—→|＝2，AN→＝12AA1—→＝12CC1—→.〈CA→，CC1—→〉＝〈CB→，CC1—→〉＝〈CA→，CB→〉＝90°，所以CA→·CC1—→＝CB→·CC1—→＝CA→·CB→＝0.因为BN→＝CN→－CB→＝CA→＋AN→－CB→＝CA→＋12CC1—→－CB→，所以|BN→|2＝BN→2＝CA→＋12CC1—→－CB→2＝CA→2＋14CC1—→2＋CB→2＝12＋14×22＋12＝3，所以|BN→|＝|BN→|2＝3.(2)求cos〈BA1—→，CB1—→〉的值.解因为BA1—→＝CA1—→－CB→＝CA→＋CC1—→－CB→，CB1—→＝CB→＋CC1—→，所以|BA1—→|2＝BA1—→2＝(CA→＋CC1→－CB→)2＝CA→2＋CC1—→2＋CB→2＝12＋22＋12＝6，|BA1—→|＝6，|CB1—→|2＝CB1—→2＝(CB→＋CC1—→)2＝CB→2＋CC1—→2＝12＋22＝5，|CB1—→|＝5，BA1—→·CB1—→＝(CA→＋CC1—→－CB→)·(CB→＋CC1—→)＝CC1—→2－CB→2＝22－12＝3，所以cos〈BA1—→，CB1—→〉＝BA1—→·CB1—→|BA1—→||CB1—→|＝36×5＝3010.延伸探究1.(变结论)本例中条件不变，求BN→与CB1—→夹角的余弦值.解由例题知，|BN→|＝3，|CB1—→|＝5，BN→·CB1—→＝CA→＋12CC1—→－CB→·(CB→＋CC1—→)＝12CC1—→2－CB→2＝12×22－12＝1.所以cos〈BN→，CB1→〉＝BN→·CB1→|BN→||CB1→|＝13×5＝1515.所以BN→与CB1→夹角的余弦值为1515.2.(变条件)本例中，若CA＝CB＝AA1＝1，其他条件不变，求异面直线CA1与AB的夹角.解由已知得|CA→|＝|CB→|＝|CC1—→|＝1，CA→·CC1—→＝CB→·CC1—→＝CA→·CB→＝0，因为|CA1—→|2＝CA1—→2＝(CA→＋CC1—→)2＝CA→2＋CC1—→2＝12＋12＝2，所以|CA1—→|＝2，因为|AB→|2＝AB→2＝(CB→－CA→)2＝CB→2＋CA→2＝12＋12＝2，所以|AB→|＝2，又因为CA1—→·AB→＝(CA→＋CC1—→)·(CB→－CA→)＝－CA→2＝－1.所以cos〈CA1—→，AB→〉＝CA1→·AB→|CA1—→||AB→|＝－12×2＝－12.所以〈CA1—→，AB→〉＝120°，所以异面直线CA1与AB的夹角为60°.反思感悟求向量的夹角和模(1)求两个向量的夹角：利用公式cos〈a，b〉＝求cos〈a，b〉，进而确定〈a，b〉.(2)求线段长度(距离)：①取此线段对应的向量；②用其他已知夹角和模的向量表示该向量；③利用|a|＝，计算出|a|，即得所求长度(距离).a·b|a||b|a2A.30°B.60°C.90°D.120°跟踪训练3(1)已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为1，设AB→＝a，AD→＝b，AA′——→＝c，则〈A′B——→，B′D′———→〉等于√(2)已知在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝AD＝1，且这三条棱彼此之间的夹角都是60°，则AC1的长为A.6B.6C.3D.3√解析设AB→＝a，AD→＝b，AA1—→＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，且〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，因此a·b＝b·c＝c·a＝12.由AC1—→＝a＋b＋c得|AC1—→|2＝AC1—→2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝6.所以|AC1—→|＝6，故选B.3随堂演练PARTTHREE1.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是A.AB→与A1C1—→B.AB→与C1A1—→C.AB→与A1D1—→D.AB→与B1A1—→12345√2.设ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，则有A.AB→·C1A—→＝a2B.AB→·A1C1—→＝2a2C.BC→·A1C—→＝a2D.AB→·C1A1—→＝a2√123453.已知空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝π3，则cos〈OA→，BC→〉的值为A.12B.22C.－12D.0√解析OA→·BC→＝OA→·(OC→－OB→)＝OA→·OC→－OA→·OB→＝|OA→||OC→|cos∠AOC－|OA→||OB→|cos∠AOB＝12|OA→||OC→|－12|OA→||OB→|＝0，所以OA→⊥BC→.所以cos〈OA→，BC→〉＝0.123454.若a，b，c为空间两两夹角都是60°的三个单位向量，则|a－b＋2c|＝_____.∴|a－b＋2c|＝5.123455解析|a－b＋2c|2＝(a－b＋2c)2＝a2＋b2＋4c2－2a·b＋4a·c－4b·c＝5.5.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中点，则B1C—→与A1P—→所成角的大小为______，B1C—→·A1P—→＝____.1234560°1连接PD，在△PA1D中，易得PA1＝DA1＝PD＝2，解析方法一连接A1D(图略)，则∠PA1D就是B1C—→与A1P—→所成角，即△PA1D为等边三角形，从而∠PA1D＝60°，即B1C—→与A1P—→所成角的大小为60°，因此B1C—→·A1P—→＝2×2×cos60°＝1.方法二根据向量的线性运算可得B1C—→·A1P—→＝(A1A—→＋AD→)·AD→＋12AB→＝AD→2＝1.由题意可得PA1＝B1C＝2，则2×2×cos〈B1C→，A1P→