专题突破立体几何之《立体几何中的最值问题》

学科网-学海泛舟系列资料版权所有@学科网立体几何中的最值问题考点动向高考试题将趋于关注那些考查学生运用运动变化观点处理问题的题目，而几何问题中的最值与范围类问题，既可以考查学生的空间想象能力，又考查运用运动变化观点处理问题的能力，因此，将是有中等难度的考题．此类问题，可以充分考查图形推理与代数推理，同时往往也需要将问题进行等价转化，比如求一些最值时，向平面几何问题转化，这些常规的降维操作需要备考时加强关注与训练．例１如图６－１，在直三棱柱111ABCABC中，底面为直角三角形，19062ACBACBCCC，，．P是1BC上一动点，则1CPPA的最小值为．解析考虑将立体几何问题通过图形变换，转化为平面几何问题解答．解连结1AB，沿1BC将1CBC△展开与11ABC△在同一个平面内，如图６－２所示，连1AC，则1AC的长度就是所求的最小值．通过计算可得1190ACC，又145BCC故11135ACC，由余弦定理可求得152AC．例２如图６－３，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，DAB∠为直角，2ABCDADCDAB，∥，EF，分别为PCCD，的中点．（I）试证：CD平面BEF；（II）设PAkAB，且二面角EBDC的平面角大于30，求k的取值范围．ACPB1A1C1B图６－１ACPB1A1C1B图６－２CBACPEFD图６－３学科网-学海泛舟系列资料版权所有@学科网解析对（I），可以借助线面垂直的判定定理，或者借助平面的法向量及直线的方向向量解答；对（II），关键是确定出所求二面角的平面角．解法１（I）证：由已知DFAB∥且DAB∠为直角，故ABFD是矩形，从而CDBF⊥．又PA⊥底面ABCD，CDAD⊥，故由三垂线定理知CDPD⊥．在PDC△中，E，F分别为PC，CD的中点，故EFPD∥，从而CDEF⊥，由此得CD⊥面BEF．（II）连接AC交BF于G，易知G为AC的中点，连接EG，则在PAC△中易知EGPA∥．又因PA⊥底面ABCD，故EG⊥底面ABCD．在底面ABCD中，过G作GHBD⊥，垂足为H，连接EH，由三垂线定理知EHBD⊥，从而EHG∠为二面角EBDC的平面角．设ABa，则在PAC△中，有1122EGPAka．以下计算GH，考虑底面的平面图（如图６－５），连接GD，因1122BDSBDGHGBDF△G，故GBDFGHBD．在ABD△中，因ABa，2ADa，得5BDa．而1122GBFBADa，DFAB，从而得555GBABaaGHaBDa．因此152tan255kaEGEHGkGHa．故0k知EHG∠是锐角，故要使30EHG∠，必须53tan3023k，解之得，k的取值范围为21515k．解法２（I）如图６－６，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，APBACPEFD图６－４ＨＧ图６－５HGCFDAB学科网-学海泛舟系列资料版权所有@学科网所在直线为z轴建立空间直角坐标系，设ABa，则易知点A，B，C，D，F的坐标分别为000A，，，00Ba，，，220Caa，，，020Da，，，20Faa，，．从而(200)(020)DCaBFa，，，，，，0DCBF，故DCBF．设PAb，则(00)Pb，，，而E为PC中点，故2bEaa，，，从而02bBEa，，．0DCBE，故DCBE．由此得CDBEF面．（II）设E在xOy平面上的投影为G，过G作GHBD垂足为H，由三垂线定理知EHBD．从而EHG为二面角EBDC的平面角．由PAkAB得(00)Pka，，，2kaEaa，，，(0)Gaa，，．设(0)Hxy，，，则(0)(20)GHxayaBDaa，，，，，，由0GHBD得()2()0axaaya，即2xya．①又因(0)BHxay，，，且BH与BD的方向相同，故2xayaa，即22xya．②由①②解得3455xaya，，从而2150555GHaaGHa，，，．52tan255kaEGEHGkGHa．由0k知EHG是锐角，由30EHG，得tantan30EHG，即5323k．故k的取值范围为21515k．[规律小结]BAOCPEFD图６－６ＨＧxyz学科网-学海泛舟系列资料版权所有@学科网立体几何中的最值与范围，需要首先确定最值或范围的主体，确定题目中描述的相关变动的量，根据必要，可确定是利用几何方法解答，还是转化为代数（特别是函数）问题解答．其中的几何方法，往往是进行翻折变换，这时可以想象实际情形，认为几何体是利用硬纸等折成的，可以动手翻折的，在平时做练习时，不妨多动手试试，培养自己的空间想象能力，在考试时就可以不动手，动脑想就可以了．特别注意变动的过程，抓住变动的起始与终了等特殊环节．考点误区分析（１）这类问题容易成为难点，关键是学生的空间想象能力缺乏，或者对问题的转化方向不明确．因此，要注意常见的转化方向，如化立体几何问题为平面几何问题，或化立体几何问题为代数问题等，根据题目特征进行转化．（２）对题目所描述的情形没有清醒的认识也是造成错解的主要原因，注意产生量的变化的主要原因是什么，相关的数量和位置关系都做怎样的变化，抓住问题的关键，才能顺利解决问题．同步训练１．如图６－７，在直三棱柱111ABCABC中，2ABBC，12BB，90ABC，,EF分别为111,AACB的中点，沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为．２．有两个相同的直三棱柱，高为a2，底面三角形的三边长分别为)0(5,4,3aaaa．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a的取值范围是__________．３．如图６－８，正四面体ABCD的棱长为1，棱AB∥平面，则正四面体上的所有点在平面内的射影构成的图形面积的取值范围是．［参考答案］ABC1BF图６－７1A1CE图６－８学科网-学海泛舟系列资料版权所有@学科网１．［解析］分别将111ABC△沿11AB折到平面11ABBA上；将111ABC△沿11AC折到平面11ACCA上；将11BCCB沿1BB折到平面11ABBA上；将11BCCB沿1CC折到平面11ACCA上，比较其中EF长即可．［答案］322．２．［解析］可知，全面积最小的是四棱柱面积为22428a，全面积最小的是三棱柱面积为21248a，解2212482428aa即可．［答案］3150a．３．［解析］当CD所在的直线与平面平行时，所求射影面积最大，为1122ABCD；当CD所在的直线与平面垂直时，所求射影面积最小，可求得为24．［答案］21[,]42．