空间向量及其运算测试题

高二选修（2—1）第三章3.1空间向量及其运算测试一、选择题1抛物线281xy的准线方程是()A．321xB．2yC．321yD．2y2．已知两点1(1,0)F、2(1,0)F，且12FF是1PF与2PF的等差中项，则动点P的轨迹方程是（）A．221169xyB．2211612xyC．22143xyD．22134xy1．已知向量a＝(3，－2,1)，b=(－2,4,0)，则4a＋2b等于（）A．(16,0,4)B．(8，－16,4)C．(8,16,4)D．(8,0,4)2．在三棱柱ABC­A1B1C1中，若CA→＝a，CB→＝b，CC1→＝c，则A1B→＝（）A．a＋b－cB．a－b＋cC．－a＋b＋cD．－a＋b－c4．在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是（）A.OM→＝2OA→－OB→－OC→B.OM→＝15OA→＋13OB→＋12OC→C.MA→＋MB→＋MC→＝0D.OM→＋OA→＋OB→＋OC→＝06．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，给出以下向量表达式：①(A1D1→－A1A→)－AB→；②(BC→＋BB1→)－D1C1→；③(AD→－AB→)－2DD1→；④(B1D1→＋A1A→)＋DD1→.其中能够化简为向量BD1→的是（）A．①②B．②③C．③④D．①④7．已知向量a＝(1，－1,1)，b＝(－1,2,1)，且ka－b与a－3b互相垂直，则k的值是A．1B．15C．35D．－2098．若a＝(2，－3,1)，b＝(2,0,3)，c＝(0,2,2)，a·(b＋c)的值为（）A．4B．15C．7D．39．已知四边形ABCD满足：AB→·BC→0，BC→·CD→0，CD→·DA→0，DA→·AB→0，则该四边形为（）A．平行四边形B．梯形C．长方形D．空间四边形11.如图所示，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c，则下列向量中与BM→相等的向量是()A．－12a＋12b＋cB．12a＋12b＋cC．－12a－12b＋cD．12a－12b＋c11．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，ΔABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为A．5B．2C．3D．2M是椭圆221259xy上的点，1F、2F是椭圆的两个焦点，1260FMF，则12FMF的面积等于．已知双曲线过点4,3,且渐近线方程为12yx,则该双曲线的标准方程为．14．已知向量a＝(－1,2,3)，b＝(1,1,1)，则向量a在b方向上的投影为________．16．如果三点A(1,5，－2)，B(2,4,1)，C(a,3，b＋2)共线，那么a－b＝________.19．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．(1)求以向量AB→，AC→为一组邻边的平行四边形的面积S；(2)若向量a分别与向量AB→，AC→垂直，且|a|＝3，求向量a的坐标．21.已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3，0,4)，设a＝AB→，b＝AC→.(1)求a与b的夹角θ的余弦值；(2)若向量ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值．（本小题満分12分）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2,0），右顶点为)0,3(。（1）求双曲线C的方程；（2）若直线l：2kxy与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且2OBOA（其中O为原点），求k的取值范围。1.D提示：4a＋2b＝4(3，－2,1)＋2(－2,4,0)＝(12，－8，4)＋(－4,8,0)＝(8,0,4)．2.D提示：A1B→＝A1A→＋AB→＝－c＋(b－a)＝－a＋b－c.3\D提示：向量的夹角是两个向量始点放在一起时所成的角，经检验只有ACAB＝12.4.C提示：MA→＋MB→＋MC→＝0，即MA→＝－(MB→＋MC→)，所以M与A、B、C共面．5\解析C∵a＋b，a－b分别与a、b、2a共面，∴它们分别与a＋b，a－b均不能构成一组基底．6.A提示：①(A1D1→－A1A→)－AB→＝AD1→－AB→＝BD→1；②(BC→＋BB1→)－D1C1→＝BC1→－D1C1→＝BD1→；③(AD→－AB→)－2DD1→＝BD→－2DD1→≠BD1→；④(B1D1→＋A1A→)＋DD1→＝B1D→＋DD1→＝B1D1→≠BD1→，故选A.7.D提示：∵ka－b＝(k＋1，－k－2，k－1)，a－3b＝(4，－7，－2)，(ka－b)⊥(a－3b)，∴4(k＋1)－7(－k－2)－2(k－1)＝0，∴k＝－209.8\解析D∵b＋c＝(2,2,5)，∴a·(b＋c)＝(2，－3,1)·(2,2,5)＝3.9.解析D由已知条件得四边形的四个外角均为锐角，但在平面四边形中任一四边形的外角和是360°，这与已知条件矛盾，所以该四边形是一个空间四边形．10.解析AOG1→＝OA→＋AG1→＝OA→＋23×12(AB→＋AC→)＝OA→＋13[(OB→－OA→)＋(OC→－OA→)]＝13(OA→＋OB→＋OC→)，由OG＝3GG1知，OG→＝34OG1→＝14(OA→＋OB→＋OC→)，∴(x，y，z)＝14，14，14.11\A解析由图形知：BM→＝BB1→＋B1M→＝AA1→＋12(AD→－AB→)＝－12a＋12b＋c.12.B解析①中a与b所在的直线也有可能重合，故①是假命题；②中当a＝0，b≠0时，找不到实数λ，使b＝λa，故②是假命题；可以证明③中A，B，C，M四点共面，因为13OA→＋13OB→＋13OC→＝OM→，等式两边同时加上MO→，则13(MO→＋OA→)＋13(MO→＋OB→)＋13(MO→＋OC→)＝0，即MA→＋MB→＋MC→＝0，MA→＝－MB→－MC→，则MA→与MB→，MC→共面，又M是三个有向线段的公共点，故A，B，C，M四点共面，所以M是△ABC的重心，所以点M在平面ABC上，且在△ABC的内部，故③是真命题．13.解析AB→＝(3,4,5)，AC→＝(1,2,2)，AD→＝(9,14,16)，设AD→＝xAB→＋yAC→.即(9,14,16)＝(3x＋y,4x＋2y,5x＋2y)，∴x＝2，y＝3，从而A、B、C、D四点共面．14.433解析向量a在b方向上的投影为：|aa，b＝14×－1＋2＋314×3＝433.15.3解析因为OA→＋AG→＝OG→，OB→＋BG→＝OG→，OC→＋CG→＝OG→，且AG→＋BG→＋CG→＝0，所以OA→＋OB→＋OC→＝3OG→.16.1解析:AB→＝(1，－1,3)，BC→＝(a－2，－1，b＋1)，若使A、B、C三点共线，须满足BC→＝λAB→，即(a－2，－1，b＋1)＝λ(1，－1,3)，所以a－2＝λ，－1＝－λ，b＋1＝3λ，解得a＝3，b＝2，所以a－b＝1.17.解析(1)EF→·BA→＝12BD→·BA→＝12|BD→||BA→|cos〈BD→，BA→〉＝12cos60°＝14.(2)EF→·BD→＝12BD→·BD→＝12cos0°＝12.(3)EF→·DC→＝12BD→·DC→＝12|BD→||DC→|cos〈BD→，DC→〉＝12cos120°＝－14.18.解析∵BC→＝AC→－AB→，∴OA→·BC→＝OA→·AC→－OA→·AB→＝|OA→|·|AC→|·cos〈OA→，AC→〉－|OA→|·|AB→|·cos〈OA→，AB→〉＝8×4×cos135°－8×6×cos120°＝24－162.∴cos〈OA→，BC→〉＝OA→·BC→|OA→|·|BC→|＝24－1628×5＝3－225.∴OA与BC夹角的余弦值为3－225.19.解析(1)∵AB→＝(－2，－1,3)，AC→＝(1，－3,2)，∴cos∠BAC＝AB→·AC→|AB→||AC→|＝714×14＝12，∴∠BAC＝60°∴S＝|AB→||AC→|sin60°＝73.(2)设a＝(x，y，z)，则a⊥AB→⇒－2x－y＋3z＝0，a⊥AC→⇒x－3y＋2z＝0，|a|＝3⇒x2＋y2＋z2＝3，解得x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－1，∴a＝(1,1,1)或a＝(－1，－1，－1)．21.解析∵A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，a＝AB→，b＝AC→，∴a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)．(1)cosθ＝a·b|a||b|＝－1＋0＋02×5＝－1010，∴a与b的夹角θ的余弦值为－1010.(2)∵ka＋b＝k(1,1,0)＋(－1,0,2)＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)，且(ka＋b)⊥(ka－2b)，∴(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝2k2＋k－10＝0，则k＝－52或k＝2.解：（Ⅰ）设双曲线方程为22221xyab).0,0(ba由已知得.1,2,2,32222bbaca得再由故双曲线C的方程为.1322yx（Ⅱ）将得代入13222yxkxy.0926)31(22kxxk由直线l与双曲线交于不同的两点得2222130,(62)36(13)36(1)0.kkkk即.13122kk且①设),(),,(BBAAyxByxA，则22629,,22,1313ABABABABkxxxxOAOBxxyykk由得而2(2)(2)(1)2()2ABABABABABABxxyyxxkxkxkxxkxx2222296237(1)22.131331kkkkkkk于是222237392,0,3131kkkk即解此不等式得.3312k②