椭圆的标准方程与几何性质.ppt

中职数学拓展课程椭圆定义与方程建筑物中存在椭圆的美生活中的椭圆（1）取一条细绳和一张纸板（2）把绳的两端用图钉固定在板上（绳的长度大于两个图钉间的距离）（3）然后用笔尖拉紧绳子,使笔尖慢慢移动，看看画出的图形是什么？画椭圆椭圆的定义•平面上到两个定点的距离的和（2a）等于定长（大于|F1F2|）的点的轨迹叫椭圆。•定点F1、F2叫做椭圆的焦点。•两焦点之间的距离叫做焦距（2c）。F1F2M椭圆定义的符号表述：caMFMF2221注意：椭圆定义必须是满足下列条件的动点形成的轨迹：1.在平面上2.动点到两个定点的距离之和为常数2a3.常数2a要大于两个定点之间的距离2c也即设两定点分别为F1、F2，动点为M，则有|MF1|+|MF2|＞|F1F2|椭圆的定义椭圆的标准方程F1F2M|F1F2|=2c|MF1|+|MF2|=2a在如图的坐标系中，点F1、F2的坐标分别为F1（-c，0）F2（c，0）由|MF1|+|MF2|=2a得2ayc)(xyc)(x2222xy0)0(12222babyax椭圆的标准方程（1）)0(12222babyax它表示：[1]椭圆的焦点在x轴[2]焦点是F1（-c，0）、F2（c，0）[3]c2=a2-b2F1F2M0xy椭圆的标准方程（2）)0(12222babxay它表示：[1]椭圆的焦点在y轴[2]焦点是F1（0，-c）、F2（0，c）[3]c2=a2-b2F1F2Mxy012222babyax012222babxay图形方程焦点F(±c，0)F(0，±c)a,b,c之间的关系a2=b2+c2,b2=a2-c2,c2=a2-b2|MF1|+|MF2|=2a(2a2c0)定义12yoFFMx1oFyx2FM注:焦距为2c判定下列椭圆的焦点在哪个坐标轴，指明a、b、c写出焦点坐标和焦距221259xy1522yx例1a2=b2+c2,b2=a2-c2,c2=a2-b2192522yx(1)0ba解：因为所以9,2522ba且焦点在x轴又因为222cab所以222bac所以169252c所以4c即：焦点坐标为（-4，0）和（4，0）焦距2c=84,3,5cbaa2=b2+c2,b2=a2-c2,c2=a2-b21522yx焦点在y轴上，且a2=5，b2=1，所以，c2=a2-b2=4，c=2焦点（0，-2）和（0，2）.焦距2c=4判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：焦点在分母大的那个轴上。（2）a2=b2+c2,b2=a2-c2,c2=a2-b2判断下列椭圆焦点在哪个轴上，并写出焦点坐标03632122yx192522yx练习1a2=25,b2=9,c2=a2-b2=16,c=4焦点在x轴（-4，0），（4，0）a2=12,b2=3,c2=a2-b2=9,c=3焦点在y轴（0，-3），（0，3）112322yxa2=b2+c2,b2=a2-c2,c2=a2-b21、直接法：焦点位置，a、b的值（a、b、c知二求一）求椭圆方程2、待定系数法已知椭圆的焦点在x轴上，焦距是6，椭圆上一点到两个焦点距离之和为10，写出这个椭圆的标准方程。例2解：因为2c=6，2a=10，所以c=3，a=5b2=a2-c2=52-32=16由于焦点在x轴上，因此椭圆的标准方程为：1162522yx1、直接法：焦点，a、b；2、待定系数法已知椭圆的焦点在x轴上，焦距是2，过点（2，0）求这个椭圆的标准方程。例3解：焦点在x轴，设椭圆的标准方程为：13422yx12222byax由焦距为2，2c=2，c=1.由椭圆过点（2，0）有b2=a2-c2=4-1=3.焦点在x轴，椭圆方程为：4121022222222aaba1、直接法：焦点，a、b；2、待定系数法写出适合下列条件的椭圆的标准方程1.焦距是4，椭圆上的点到两焦点距离之和为6焦点在y轴2.a=4，焦点坐标为（2，0）和（-2，0）3.焦点坐标是（0，-2）和（0，2），过点（-3，0）练习219522yx1121622yx113922yx2.椭圆的标准方程是怎样的？3.给出椭圆标准方程，怎样判断焦点在哪个轴上？4.怎样求一个椭圆的标准方程？1.满足什么条件的点的轨迹叫做椭圆？动点M到两个定点F1、F2的距离之和是常数2a且常数2a要大于焦距2c在分母大的那个轴上。已知a、b、c三个中的两个即可。思考你能求出椭圆的焦点坐标吗？认真想一想，你一定行！112222mymx作业：焦点在y轴，a2=m2+1,b2=m2c2=a2-b2=1,焦点坐标：（0，1）（0，-1）二、椭圆的几何性质为例babyax以方程)0(122221.范围椭圆的图像位于四条直线x=±a,y=±b所围成的一个矩形区域里.EF0xyH椭圆的几何性质12222byax2.对称性将方程中,(x,y)分别用(-x,y),(x,-y),(-x,-y)代换,所得方程不变,从而说明图形关于y轴,x轴和原点对称.x轴和y轴是对称轴.0xy椭圆的几何性质12222byax3.顶点:图形和对称轴的交点,叫顶点.A1B20xyB1)0,(),0,(1212222aaxAA交点轴和byax),0(),,(1212222bb0yBB交点轴和byax椭圆的几何性质12222byax3.顶点:图形和对称轴的交点,叫顶点.A1B20xyB1A1A2叫长轴,其长为2a(和焦点在同一个坐标轴上)B1B2叫短轴,其长为2b,F1F2叫焦距,其长为2ca叫长半轴的长,b叫短半轴的长,c叫半焦距.F1F2a,b,c的几何意义:椭圆的几何性质12222byax3.顶点:图形和对称轴的交点,叫顶点.A1B20xyB1A1A2叫长轴,其长为2a(和焦点在同一个坐标轴上)B1B2叫短轴,其长为2b,F1F2叫焦距,其长为2ca叫长半轴的长,b叫短半轴的长,c叫半焦距.F1F2a,b,c的几何意义-----a的意义(1)椭圆上任一点到两焦点的距离之和为2a椭圆的几何性质12222byax3.顶点:图形和对称轴的交点,叫顶点.A1B20xyB1A1A2叫长轴,其长为2a(和焦点在同一个坐标轴上)B1B2叫短轴,其长为2b,F1F2叫焦距,其长为2ca叫长半轴的长,b叫短半轴的长,c叫半焦距.F1F2a,b,c的几何意义-----a的意义(1)椭圆上任一点到两焦点的距离之和为2a(2)长半轴的和为a椭圆的几何性质12222byax3.顶点:图形和对称轴的交点,叫顶点.A1B20xyB1A1A2叫长轴,其长为2a(和焦点在同一个坐标轴上)B1B2叫短轴,其长为2b,F1F2叫焦距,其长为2ca叫长半轴的长,b叫短半轴的长,c叫半焦距.F1F2a,b,c的几何意义-----a的意义(1)椭圆上任一点到两焦点的距离之和为2a(2)长半轴的和为a(3)焦点到短轴端点的距离为a椭圆的几何性质12222byax3.顶点:图形和对称轴的交点,叫顶点.A1B20xyB1A1A2叫长轴,其长为2a(和焦点在同一个坐标轴上)B1B2叫短轴,其长为2b,F1F2叫焦距,其长为2ca叫长半轴的长,b叫短半轴的长,c叫半焦距.F1F2a,b,c的几何意义-----b,c的意义短半轴的长为b半焦距为c椭圆的几何性质12222byax4.离心率:椭圆是圆还是扁的判断数据注意:椭圆离心率e的范围是0e1当e越接近0,椭圆越圆,当e越接近1,椭圆越扁ace请同学们写出焦点在y轴上的椭圆的以上性质.观察与焦点在x轴上的性质有那些是不同的.例题教学例题1:求椭圆的长轴,短轴长,焦距,焦点,顶点坐标和离心率.解:方程化为:459522yx1592y2x焦点在x轴上且:45,92222bacb2a2,c5b3,a长轴2a=6,短轴2b=,焦距2c=452焦点:顶点:离心率:32ace)(0,3,0),(52,0)(练习1:求下列椭圆的长轴,短轴长,焦距,焦点,顶点坐标和离心率.1422y(2)x3649)1(22yx1942yx(1)25,2,35,cbac4b9,ay222轴焦点在长轴2a=6,短轴2b=4,焦距2c=52焦点:顶点:离心率:35ace)(3),(0,0,2)5(0,练习1:求下列椭圆的长轴,短轴长,焦距,焦点,顶点坐标和离心率.1422y(2)x3649)1(22yx14112yx(2)223,21,143,4cbac1b1,ax222轴焦点在长轴2a=2,短轴2b=1,焦距2c=3焦点:顶点:离心率:23ace)(0,1,0),(21,0)(23例题教学例题2:已知直线L过椭圆的一个焦点F1,且交椭圆于A,B两点,F2为椭圆另一个焦点,求的周长.1592yx2解:由题意可求得2,5,3cba1234422)()(:2121222aaaBFBFAFAFBFAFAB周长ABF2ABFF1F2A0xyB1、直接法：焦点位置，a、b的值（a、b、c知二求一）求椭圆方程2、待定系数法求椭圆方程例题3:求下列椭圆的标准方程:(1)两顶点焦点为(2)焦点为离心率(3),短轴长为10解(1)由题意,焦点在y轴上,且有:所求椭圆方程为:11392y2x32e133,2222cbabc2)F(0,21e2,0)F(3,0)A(1、直接法：焦点，a、b；2、待定系数法例题3:求下列椭圆的标准方程:(1)两顶点焦点为(2)焦点为离心率(3),短轴长为10解(2)由题意,焦点在x轴上,且有:所求椭圆方程为:112162y2x32e124221222cabacac2c21e2,0)F(3,0)A(求椭圆方程1、直接法：焦点，a、b；2、待定系数法2)F(0,例题3:求下列椭圆的标准方程:(3),短轴长为10解(3)由题意2b=10,b=5,有:所求椭圆方程为:或125452y2x32e2553,2322522222kcabkakcacca2145252y2x4595222kak求椭圆方程1、直接法：焦点，a、b；2、待定系数法例题4:求下列椭圆的标准方程:(1)焦点为,过点的椭圆(2)过两点的椭圆所求椭圆方程为:1422y2x)2,0(F22,2222cabca又解(1)由椭圆定义有:2PF1PF2a)2,1(P)2,3(),6,1(BA4)22(1)22(1222a求椭圆方程1、直接法：焦点，a、b；2、待定系数法例题教学例题4:求下列椭圆的标准方程:(1)焦点为,过点的椭圆(2)过两点的椭圆解(1)设椭圆方程为:所求椭圆方程为:1242xy2)2,0(F)2,1(P)2,3(),6,1(BA242211222222222222bababababacb-a2221222bxay2例题教学例题4:求下列椭圆的标准方程:(1)焦点为,过点的椭圆(2)过两点的椭圆所求椭圆方程为:1842yx2)2,0(F)2,1(P)2,3(),6,1(BA8n4m8nnnmnm1216:23)1(12316解(2)设椭圆方程为:,则有:12nymx2这节课终于上完了！