§4--空间图形基本关系的认识

欣赏图片体会现实中的建筑美欣赏图片体会现实中的建筑美欣赏图片体会现实中的建筑美空间图形是丰富的，它由一些基本的点、线、面所组成.研究清楚它们的位置关系，对于我们认识空间图形是很重要的.新课导入学习目标1.通过长方体这一常见的空间图形，了解空间图形的基本构成----点、线、面的基本位置关系；2.理解异面直线的概念；3.培养和发展自己的空间想象能力、运用图形语言进行交流的能力、几何直观能力，通过典型例子的学习和自主探索活动，理解数学概念和结论，体会蕴涵在其中的数学思想方法.知识探究----空间图形的基本关系1、问题提出①点、直线、平面是构成空间图形的三个基本元素，如何表示？②在长方体中，顶点、棱所在的直线，以及侧面、底面之间存在哪些位置关系？③空间中，点、直线、平面之间有哪些基本位置关系？空间图形的基本要素:点CBA,,点线面线cba,,ABAB直线面,,ABCDACABCD或平面平面2、实例分析观察下长方体，说出其中点、线、面的位置关系知识探究----空间图形的基本关系一、空间点与直线的位置关系有两种：（1）点在直线上（2）点在直线外.AB.l直线l点A记作：记作：直线l点B知识探究----空间图形的基本关系3、抽象概括二、空间点与平面的位置关系有两种：（1）点在平面内（2）点在平面外BA面α点A记作：记作：面α点B三、空间两条直线的位置关系有三种：①平行直线——②相交直线——③异面直线——在同一个平面内，没有公共点的两条直线.在同一个平面内，有且只有一个公共点的两条直线.不同在任何一个平面内的两条直线。αbaβαbaγababα记作：直线a//直线bbβaO记作：点O直线b直线a既不相交也不平行的两条直线叫异面直线.思考一2.平移a,b两条直线，它们能完全重合吗？找不到一个平面使得直线a,b在同一共面内！ab1.直线a,b相交吗？不相交不平行'a'b3.能否找到一个平面,使得a,b两条直线都在这个平面内？不同在一个平面内的两条直线叫做异面直线。1.异面直线的定义:定义中是指“任何”一个平面，是指找不到一个平面，使这两条直线在这个平面上,这样的两条直线才是异面直线。注1例子：如图,在长方体中，判断AB与HG是不是异面直线？ABGFHEDCAB与HG不是异面直线。任何C'D'B'A'CDAB有一个背景作为衬托－－直观，空间立体感更强！怎么画异面直线呢？o异面直线的作图方法1lAB异面直线的作图方法2βαba2.异面直线的画法:方法二（特点）:两条直线既不相交、又不平行.方法一（利用定义）：两条直线不同在任何一个平面内.3.判别异面直线的方法:想一想：哪些与BD是异面直线？ABDCB’A’D’C’四、空间直线与平面的位置关系有三种：直线与平面有无数多个公共点1、直线在平面内直线与平面只有一个公共点2、直线与平面相交Aαa记作：直线a∩平面α=点A直线与平面没有公共点3、直线与平面平行αaαa直线在平面外记作：直线a平面α记作：直线a//平面α（2）两个平面相交---两个平面不重合，并且有公共点五、空间平面与平面的位置关系有两种：（1）两个平面平行---没有公共点的两个平面α记作：平面α//平面β记作：直线a平面β平面αa例1用符号表示下列语句，并作出图形．(1)直线l经过平面α内两点A、B；(2)直线l在平面α外，且过平面α内一点P；(3)直线l是平面α与β的交线，平面α内有一条直线m与l平行．分析可先转换成符号语言，再作图．理论迁移知识点一空间图形基本关系及语言转换解(1)A∈α，B∈α，A∈l，B∈l(2)lα，P∈l，P∈α.(3)α∩β＝l，mα，m∥l.变式训练1将下面用符号语言表示的关系改用文字语言予以叙述，并且用图形语言予以表示．解文字语言叙述为：点A在平面α与平面β的交线l上，AB、AC分别在α、β内．图形语言表示为如图所示．变式训练2把下列图形中的点、线、面关系用集合符号表示出来.aAllaBA例2如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1，判断下列直线的位置关系．(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是_______；(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；(4)直线AB与直线B1C的位置关系是_________．理论迁移知识点二直线与直线位置关系的判定平行异面异面相交解析本题是考查对直线位置关系定义的理解，首先看两直线是否有交点，判断是否相交，然后在没有交点的两直线中判断这两直线是否在同一个平面内，如果不在，那么两直线异面．答案(1)平行(2)异面(3)相交(4)异面变式训练3在正方体ABCD－A1B1C1D1中，指出与AB异面的棱．例3已知下列命题：①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③若直线a∥直线b，直线b平面α，则a∥α；④若直线a∥直线b，bα，那么直线a平行于平面α内的无数条直线．其中真命题的个数为()A．1B．2C．3D．4A理论迁移知识点三直线与平面的位置关系解析①错．因为l可能在平面α内．②错．因为直线a在平面α外有两种情形：a∥α和a与α相交．③错．因为a可能在平面α内．④正确．无论a在平面α内或a∥α，在α内都有无数条直线与a平行．答案A变式训练4下面命题中正确的个数是()①如果a、b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；②如果直线a满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；③如果直线a、b满足a∥α，b∥α，则a∥b；④如果直线a、b和平面α满足a∥b，a∥α，bα，那么b∥α；⑤如果a与平面α上的无数条直线平行，那么直线a必平行于平面α.A．0B．2C．1D．3C解析如图所示，在长方体ABCD—A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′却在过BB′的平面AB′内，故命题①不正确；AA′∥平面B′C，BC平面B′C，但AA′不平行于BC，故命题②不正确；AA′∥平面B′C，A′D′∥平面B′C，但AA′与A′D′相交，所以③不正确；④中，假设α与b相交，∵a∥b，∴a与α相交，这与a∥α矛盾，故b∥α，即④正确；AA′显然与平面A′B中和B′B平行的无数条直线平行，但AA′平面A′B，故⑤不正确．点评解决此类问题首先要搞清直线与平面各种位置关系的特征，利用其定义作出判断，要有画图意识，并借助于空间想象能力进行细致的分析．答案C课堂小结正方体(或长方体)既是立体几何中的一个重要的，又是最基本的模型，而且立体几何的直线与平面的位置关系都可以在这个模型中得到反映．因而人们给它以“百宝箱”之称．本例中的命题就是利用这个“百宝箱”来判定它们的真假的.位位置关系文字表文字表述图形语图形语言符符号语言点与直线点与平面直线与直线Al点在直线上Al点不在直线上AlAlA点在平面内A点不在平面内AA平行直线相交直线异面直线//ababAab、异面位置关系文字表述图形语言符号语言直线与平面平面与平面l直线在平面内ll直线平行于平面//ll直线与平面交于AlAl平面与平面相交于平面与平面平行l//课时作业一、选择题1．α、β是两个不重合的平面，下面说法中，正确的是()A．平面α内有两条直线a、b都与平面β平行，那么α∥βB．平面α内有无数条直线平行于平面β，那么α∥βC．若直线a与平面α和平面β都平行，那么α∥βD．平面α内所有的直线都与平面β平行，那么α∥β解析A、B都不能保证α、β无公共点，如图1所示；C中当a∥α，a∥β时α与β可能相交，如图2所示；只有D说明α、β一定无公共点．答案D2．两平面α、β平行，aα，下列四个命题：①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；③直线a与β内任何一条直线都不垂直；④a与β无公共点．其中正确命题的个数有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析(1)中a不能与β内的所有直线平行而是与无数条平行，有一些是异面；(2)正确；(3)中直线a与β内的无数条直线垂直；(4)根据定义α与β无公共点，正确．B3．若一直线上有一点在已知平面外，则下列命题正确的是()A．直线上所有的点都在平面外B．直线上有无数多个点都在平面外C．直线上有无数多个点都在平面内D．直线上至少有一个点在平面内B4．下列命题中正确的是()A．若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥αB．若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行C．如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行D．若直线l与平面α平行，则l与平面α没有公共点D解析当直线l与平面α相交时，l上也有无数个点不在平面α内，故A错；若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线可能平行，也可能异面，故B错；两条平行直线中的一条与一个平面平行，另一条可能与这个平面平行，也可能在这个平面内，故C错；由线面平行的定义可知选项D正确．答案D二、填空题5．平面外有两个点，那么这两点的连线与平面的关系是__________________．解析平面外有两个点说明了直线与平面不可能是直线在平面内．由于这两点的位置关系不确定，所以这两点的连线与平面的关系是平行或相交．平行或相交6．如图所示的是一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF、GH在原正方体中相互异面的有______对．解析将正方体恢复后，由图观察即可得．即为EF，GH；CD，AB；AB，GH.37．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G分别是C1D1、BC、AB的中点，试判断以下各对线段所在直线的位置关系：(1)AB与DD1：_______________________；(2)A1G与BC：_______________________；(3)A1G与C1F：_______________________；(4)A1G与CE：_______________________.平行直线异面直线异面直线相交直线三、解答题8．根据下列条件画出图形：平面α∩平面β＝AB，直线CDα，CD∥AB，E∈CD，直线EF∩β＝F，F∉AB.解如图所示：9．如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，面对角线B1D1与长方体的六个面之间的位置关系如何？解∵B1∈平面A1C1，D1∈平面A1C1，∴B1D1平面A1C1.∵B1∈平面BC1，D1∉平面BC1，∴直线B1D1∩平面BC1＝B1.∴直线B1D1与平面BC1相交．同理直线B1D1与平面AB1、平面AD1、平面CD1都相交．在平行四边形B1BDD1中，B1D1∥BD，B1D1与BD无公共点，∴B1D1与平面AC无公共点，∴B1D1∥平面AC.