高中数学：基本不等式

基本不等式（一）数学史三国时期吴国赵爽，绘制此图最早对勾股定理进行了证明引入ADBCEFGHba22ab222abab：即ADBCEFGHba22ab222ababABCDE(FGH)ab222abab：即222abab：即思考：你能给出对任意实数a,b，不等式都成立的证明吗？证明重要不等式一般地，对于任意实数a、b，我们有当且仅当a=b时，等号成立。222abab重要不等式：abba222≥+探究基本不等式①拿两张大小不同的正方形纸片，分别沿对角线对折，得到两个等腰直角三角形纸片。折纸游戏探究基本不等式②若正方形纸片的面积分别是a,b,两个三角形纸片的面积则是，腰分别是,ab22,ab探究基本不等式③怎样裁减使这两个三角形纸片可以构成一个矩形，并且使该矩形的长和宽分别为？,ab探究基本不等式④对比这两个三角形的面积之和与矩形的面积，你有什么发现？2a2b2abababba=+22abab≥特别地，若a0，b0，则_____2abab当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.在数学中，我们把叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数.定义基本不等式文字语言：算数平均数不小于几何平均数2ba+ababba≥2+问：你能否借助已证的重要不等式，分析基本不等式的成立性呢？222abab002,ababab证明基本不等式基本不等式的运用2√002,ababab:,ab把替换为其它代数式,会得到怎样的试一试不等式？基本不等式的运用例1：已知且，则的最小值是___，当且仅当____时等号成立.100=xyyx+结论：(当且仅当时,取“=”号)PyxPxyyx2≥⇒,0,0+=yx=练习1：若则的最小值是____，当且仅当____时等号成立.，0xxx2+，0,0yx基本不等式的运用例2.已知且，则的最大值是___，当且仅当____时等号成立.,0,0yx4=+yxxy结论：(当且仅当时,取“=“号)241≤⇒,0,0SxySyxyx=+yx=练习：若且则的最大值是_____，当且仅当____时等号成立.,0,0yxxy，42=+yx基本不等式的运用例3：下列解答过程是否正确？1.已知函数，求函数的最值和此时的取值.解：，当且仅当，即时函数取得最小值.)01)(+=xxxxf（2121)(=•≥+=xxxxxfxx1=1±=x运用基本不等式的过程中，忽略了“正数”这个条件．x基本不等式的运用2.已知函数，求函数的最小值.解：，当且仅当且，即时函数取得最小值.）（22-3)(+=xxxxf2-12≥2-3)(xxxxxf•+=2-3xx=3=x用基本不等式求最值，必须满足“定值”这个条件．如果取等的条件不成立,则不能取到该最值.2x例3：下列解答过程是否正确？基本不等式的运用3.求函数的最小值，其中解：，所以函数的最小值为4.aaysin4sin+=4sin4sin2≥sin4sin=•+=aaaay用基本不等式求最值,必须注意“相等”的条件.].2π,0(∈a例3：下列解答过程是否正确？知识小结运用基本不等式求最值的条件：一正、二定、三相等222abab)0,0(2≥+baabba重要不等式：基本不等式：课堂练习课堂练习：P100练习1，21.当取什么值时,的值最小？最小值是多少？2.已知直角三角形的面积是50，两条直角边各为多少时，两条直角边的和最小，最小值是多少？,0xxxx1+