李永乐线代笔记

第一章节行列式基础知识：①算逆序的方法：从左到右一个一个看，前面有比此数大的就算一个逆序，最后加起来。②代数余子式千万别忘记(−1)𝑖+𝑗③行列式两行（列）对换，行列式要变号！④克拉默法则：𝑥𝑛=𝐷𝑛𝐷基本行列式的计算：①副对角行列式=(−1)𝑛(𝑛−1)2𝑎1𝑛𝑎2,𝑛−1···𝑎𝑛1②副对角拉普拉斯：|𝑂𝐴𝐵∗|=(−1)𝑛𝑚|𝐴||𝐵|③范德蒙行列式（首行为1，每列从上往下是等比数列）=∏(𝑥𝑖−𝑥𝑗)1≤𝑗𝑖≤𝑛即针对第二行，每个靠右的都减一次靠左的，然后乘起来。④特征多项式（三阶）：|𝜆𝐸−𝐴|=𝜆3−(𝑎11+𝑎22+𝑎33)𝜆2+𝑠2𝜆−|𝐴|其中𝑠2=|𝑎11𝑎12𝑎21𝑎22|+|𝑎11𝑎13𝑎31𝑎33|+|𝑎22𝑎23𝑎32𝑎33|⑤零多的，直接展开算。⑥将第一行（列）的k倍依次加至其余各行（列）。⑦将每一行（列）都加到第一行。⑧逐行（列）相加。特殊行列式的计算：①∠型行列式，从角（或边）沿第三边方向扫过去，依次把前一行（列）乘上倍数加到后一行（列）上。②爪型行列式，↖↘头朝主对角线的，化为上（下）三角行列式；↗↙头朝副对角线的，化为副对角线三角行列式。③对称征子型（中间斜着三道）行列式，采用逐行相加（上一行乘倍数加到下一行上）的方式化为下三角行列式。④对角线为𝑎，其余都为𝑏的行列式，每行都减第一行，再每列都加到第一列。第二章节矩阵主要公式：①伴随：𝐴𝐴∗=𝐴∗𝐴=|𝐴|𝐸；𝐴∗=|𝐴|𝐴−1；(𝐴∗)−1=(𝐴−1)∗=𝐴|𝐴|(𝐴∗)𝑇=(𝐴𝑇)∗；(𝑘𝐴)∗=𝑘𝑛−1𝐴∗；(𝐴∗)∗=|𝐴|𝑛−2𝐴𝑟(𝐴∗)={𝑛，如果𝑟(𝐴)=𝑛1，如果𝑟(𝐴)=𝑛−10，如果𝑟(𝐴)𝑛−1②可逆：𝐴−1=𝐴∗|𝐴|；(𝑘𝐴)−1=1𝑘𝐴−1(𝐴𝑛)−1=(𝐴−1)𝑛；(𝐴−1)𝑇=(𝐴𝑇)−1[𝐵𝑂𝑂𝐶]−1=[𝐵−1𝑂𝑂𝐶−1]；[𝑂𝐵𝐶𝑂]−1=[𝑂𝐶−1𝐵−1𝑂]③转置：(𝐴𝑇)𝑇=𝐴；(𝑘𝐴)𝑇=𝑘𝐴𝑇[𝐴𝐵𝐶𝐷]𝑇=[𝐴𝑇𝐶𝑇𝐵𝑇𝐷𝑇]④行列式：|𝐴𝑇|=|𝐴|；|𝐴−1|=|𝐴|−1；|𝐴∗|=|𝐴|𝑛−1|𝑘𝐴|=𝑘𝑛|𝐴|；|𝐴𝐵|=|𝐴|·|𝐵|（行列式没有加减运算）⑤加与乘(𝐴+𝐵)𝑇=𝐴𝑇+𝐵𝑇；(𝐴𝐵)𝑇=𝐵𝑇𝐴𝑇(𝐴𝐵)−1=𝐵−1𝐴−1；(𝐴𝐵𝐶)−1=𝐶−1𝐵−1𝐴−1；(𝐴𝐵)∗=𝐵∗𝐴∗（求逆和伴随没有加法运算）[𝐵𝑂𝑂𝐶]𝑛=[𝐵𝑛𝑂𝑂𝐶𝑛]（副对角线分块矩阵先平方，化为主对角线，再套公式）⑥秩𝑟(𝐴)=𝑟(𝐴𝑇)；𝑟(𝐴𝑇𝐴)=𝑟(𝐴)（证明过程见下）：设(𝐼)𝐴𝑇𝐴𝑥=0,(𝐼𝐼)𝐴𝑥=0，若α是(𝐼𝐼)的解，显然也是(𝐼)的解；若α是(𝐼)的解，则𝐴𝑇𝐴α=0→𝛼𝑇𝐴𝑇𝐴α=0→(𝐴α)𝑇𝐴α=0→|𝐴α|2=0→𝐴α=0，则α也是(𝐼𝐼)的解，故(𝐼)、(𝐼𝐼)同解。有𝑛−𝑟(𝐴𝑇𝐴)=𝑛−𝑟(𝐴)→𝑟(𝐴𝑇𝐴)=𝑟(𝐴)𝑟(𝐴+𝐵)𝑟(𝐴)+𝑟(𝐵)；𝑟(𝐴𝐵)≤𝑚𝑖𝑛{𝑟(𝐴)+𝑟(𝐵)}若A可逆，则r(AB)=r(BA)=r(B)（在多种证明秩的题目中，可以直接剔除可逆矩阵，非常好用）若A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，AB=O，则r(𝐴)+r(B)≤n若𝐴～𝐵，则𝑟(𝐴)=𝑟(𝐵)，𝑟(𝐴+𝑘𝐸)=𝑟(𝐵+𝑘𝐸)基础知识：①求伴随矩阵，代数余子式不要忘记正负号，求完记得转置。②矩阵乘法，前行后列。③二阶伴随矩阵：主对换，负变号。逆矩阵𝐴−1=𝐴∗|𝐴|④正交矩阵三大性质：（1）𝐴𝐴𝑇=𝐴𝑇𝐴=𝐸（2）𝐴𝑇=𝐴−1（3）|𝐴|2=1正交矩阵的充分必要条件：𝐴的列（行）向量都是单位向量，且两两正交。⑤若不是方阵，要充分检查是否可逆，是否可乘。方阵才能取逆，前列后行相等才能相乘。⑥用初等行变化求逆矩阵化简步骤：(𝐴𝐸)从上往下→从下往上→(𝐸𝐴−1)⑦初等矩阵，左行右列，和初等变换具有等价性。⑧初等矩阵求逆：（1）行列交换的初等矩阵，逆矩阵还是本身。（2）某行（列）乘以倍数的初等矩阵，逆矩阵是该行（列）除以这个倍数。（3）某行（列）乘以倍数加到另一行（列）的初等矩阵，逆矩阵是该行（列）乘以这个倍数的相反数，加到另一行（列）。⑨A、B等价，记为A≅B，意味着：𝑃𝐴𝑄=𝐵、𝑟(𝐴)=𝑟(𝐵)A、B相似，记为A～B，意味着：𝑃𝐴𝑃−1=𝐵二者关系：相似一定等价，等价不一定相似常见技巧：①𝛼𝑇𝛽=横×竖，是一个数；α𝛽𝑇=竖×横，是矩阵。且𝛼𝑇𝛽是α𝛽𝑇的主对角线之和。②任何秩为1的矩阵，都能化为α𝛽𝑇。其中α为系数，𝛽𝑇为公因数。所以，𝑟(𝐴)=1，则𝐴𝑛=𝑙𝑛−1𝐴，其中𝑙为主对角线之和。③上下三角（包括对角线）都为0，其余为数字的矩阵，每多乘一次，矩阵的秩就减1。若𝑟(𝐴)=𝑛，则矩阵至多能取𝐴𝑛，往后全为0。④综上，计算𝐴𝑛，有如下几种思路：（1）看看秩是否为1，若为1则𝐴𝑛=𝑙𝑛−1𝐴（2）看看是否能化为（单位矩阵+③型矩阵）的形式，然后用二项式定理展开。（3）看看是不是分块矩阵，套用公式。（4）对于B=𝑃−1𝐴𝑃，𝐵𝑛=𝑃−1𝐴𝑛𝑃⑤如果矩阵满足𝐴∗=𝐴𝑇，那么它的元素与之对应的代数余子式相等，即𝑎𝑖𝑗=𝐴𝑖𝑗。⑥求逆矩阵的思路：（1）初等变换（2）二阶直接用公式𝐴−1=𝐴∗|𝐴|（3）对于给出了关于𝐴的二次齐次方程，如𝐴2+3𝐴−2𝐸=𝑂，求(𝐴+𝐸)−1，则让(𝐴+𝐸)与某表达式相乘为𝐸，该表达式就为(𝐴+𝐸)−1。（4）对于给出了关于𝐵和另一个已知的矩阵的关系，如𝐵=(𝐸+𝐴)−1(𝐸−𝐴)，A已知，求(𝐸+𝐵)−1，则运用𝐸的恒等变换，(𝐸+𝐵)−1=[(𝐸+𝐴)−1(𝐸+𝐴)+(𝐸+𝐴)−1(𝐸−𝐴)]−1（5）分块矩阵H=[𝐴𝐶𝑂𝐵]求逆，设𝐻−1=[𝑋𝑌𝑍𝑊]，解方程[𝐴𝐶𝑂𝐵][𝑋𝑌𝑍𝑊]=[𝐸𝑚𝑂𝑂𝐸𝑛]⑦证明矩阵可逆的思路：（1）证行列式的值不为0。（2）找到矩阵B，使AB=E或BA=E，则A可逆。（3）证明r(A)=n，或向量组线性无关。⑧抽象矩阵之间运算常用技巧：（1）用𝐸作恒等变换。（2）两边同取行列式。⑨证明正交矩阵的思路：（1）总思路：证明𝐴𝐴𝑇=𝐴𝑇𝐴=𝐸（2）运用手段：三大性质和充要条件。⑩关于𝐴𝐵=𝑂的两个重要思路：（1）𝐵的列向量是方程组𝐴𝑥=0的解。（2）𝑟(𝐴)+𝑟(𝐵)≤𝑛第三章节向量基础知识：①线性相关与无关的定义：如果存在不全为零的数𝑘1···𝑘𝑠使得𝑘1𝛼1+𝑘2𝛼2+···+𝑘𝑠𝛼𝑠=0，则称向量组线性相关，否则称向量组线性无关。②线性表出的定义：如果存在实数𝑘1···𝑘𝑠使得𝑘1𝛼1+𝑘2𝛼2+···+𝑘𝑠𝛼𝑠=𝛽，则称𝛽可由𝛼1···𝛼𝑠线性表出。（这里只规定是实数，没有不全为零的要求）③向量的内积：𝛼𝑇𝛼=||𝛼||2,恒大于等于零。推广：𝛼𝑇𝐴𝑇𝐴𝛼=(𝐴𝛼)𝑇𝐴𝛼=||𝐴𝛼||2≥0④施密特正交化：若𝛼1,𝛼2,𝛼3线性无关，则（本质上是向量的投影与三角形法则）：第一步：𝛽1=𝛼1，𝛽2=𝛼2−(𝛼2,𝛽1)(𝛽1,𝛽1)𝛽1，𝛽3=𝛼3−(𝛼3,𝛽1)(𝛽1,𝛽1)𝛽1−(𝛼3,𝛽2)(𝛽2,𝛽2)𝛽2第二步：此时𝛽1,𝛽2,𝛽3两两正交，将其单位化：𝛾1=𝛽1||𝛽1||，𝛾2=𝛽2||𝛽2||，𝛾3=𝛽3||𝛽3||重要定理：①𝑛+1个𝑛维向量一定线性相关。②部分相关推整体，整体无关推部分。短无关推长，长相关推短。③如果𝛼1···𝛼𝑠线性相关，则其中必有一个向量可用其余向量线性表出；反之，若有任意一个向量可用其余向量线性表出，则𝛼1···𝛼𝑠线性相关。④多数向量能被少数表出，则多数向量一定线性相关。反之，若向量组线性无关，则它一定只能被数量不少于它的向量组表出。⑤设𝐴可由𝐵线性表出，则𝑟(𝐴)≤𝑟(𝐵)。⑥三大秩的充要条件：（1）𝐴能表示𝐵，则𝑅(𝐴)=𝑅(𝐴,𝐵)（2）𝐵能表示𝐴，则𝑅(𝐵)=𝑅(𝐴,𝐵)（3）𝐴、𝐵能互相表示，则𝑅(𝐴)=𝑅(𝐵)=𝑅(𝐴,𝐵)⑦设(𝛽1,𝛽2,𝛽3)=(𝛼1,𝛼2,𝛼3)𝐶，若𝛼1,𝛼2,𝛼3线性无关，则𝛽1,𝛽2,𝛽3线性无关的充要条件是|𝐶|≠0。⑧若𝐶=𝐴𝐵，则𝐶的列向量可由𝐴的列向量线性表出，𝐶的行向量可由𝐵的行向量线性表出。（左乘相当于行变换，右乘相当于列变换）⑨极大线性无关组不唯一，其成员可以不同，但向量个数一定是一样的。解题技巧：①判断向量组相关性的办法：（1）数量多于维数的，一定线性相关。（2）数量等于维数的，算行列式是否为0，为0的一定线性相关。（3）数量多于维数的，可以考虑缩短组的相关性，再用短无关推长法则。或者转换为齐次方程组，对系数矩阵进行初等行变换，算秩。②“定义同乘法”的妙用：第一步：写出线性相关（无关）的定义式。第二步：根据题目需要，在等式两边同乘。例题如下：（1）若𝐴𝛼1=𝛼1≠0,𝐴𝛼2=𝛼1+𝛼2,𝐴𝛼3=𝛼2+𝛼3，证明𝛼1,𝛼2,𝛼3线性无关。解：设𝑘1𝛼1+𝑘2𝛼2+𝑘3𝛼3=0······(i)两边同乘𝐴：(𝑘1+𝑘2)𝛼1+(𝑘2+𝑘3)𝛼2+𝑘3𝛼3=0······(ii)(ii)−(i)：𝑘2𝛼1+𝑘3𝛼2=0，再两边同乘𝐴，后略。（2）𝛼1,𝛼2为𝐴的分别属于特征值-1,1的特征向量，向量𝛼3满足𝐴𝛼3=𝛼2+𝛼3，证明𝛼1,𝛼2,𝛼3线性无关。解：由特征值、特征向量定义：𝐴𝛼1=−𝛼1、𝐴𝛼2=𝛼2设𝑘1𝛼1+𝑘2𝛼2+𝑘3𝛼3=0······(i)，两边同乘𝐴，后略。③判断能否线性表出：第一步：按分量写成线性方程组的形式。第二步：对增广矩阵进行初等行变换，并判断秩。第三步：当𝑟(𝐴)𝑟(𝐴,𝐵)时，无解，不能线性表出；当𝑟(𝐴)=𝑟(𝐴,𝐵)=𝑛时，有唯一线性表出法；当𝑟(𝐴)=𝑟(𝐴,𝐵)𝑛时，有无数种线性表出法。③判断是否等价：比如给出(𝛼1,𝛼2,𝛼3)和(𝛽1,𝛽2,𝛽3)，问是否等价，则需要双向判断。一般来说，很有可能|𝛽1,𝛽2,𝛽3|≠0，即𝑟(𝛽1,𝛽2,𝛽3)=3，(𝛽1,𝛽2,𝛽3)总能表示(𝛼1,𝛼2,𝛼3)，这时就只要判断单向就行，回到②给出的解法。可以把(𝛼1,𝛼2,𝛼3,𝛽1,𝛽2,𝛽3)放在一起初等行变换，然后对三个增广矩阵(𝛼1,𝛼2,𝛼3,𝛽1)、(𝛼1,𝛼2,𝛼3,𝛽2)、(𝛼1,𝛼2,𝛼3,𝛽3)分别进行讨论即可。④抽象的向量组讨论线性表出时，采用反证法最快捷。⑤寻找极大线性无关组的方法：第一步：写成矩阵形式，进行初等行变换。第二步：秩为几，极大线性无关组就有几个向量