2016年新课标高考真题全国三卷文科数学

试卷第1页，总5页2016年新课标高考真题全国三卷文科数学一、单选题1．设集合𝐴={0,2,4,6,8,10},𝐵={4,8}，则∁𝐴𝐵=A．{4,8}B．{0，2,6}C．{0，2，6,10}D．{0，2，4，6，8,10}2．若𝑧=4+3𝑖，则𝑧̅|𝑧|=（）A．1B．−1C．45+35𝑖D．45−35𝑖3．(2016高考新课标III，理3)已知向量𝐵𝐴⃑⃑⃑⃑⃑=(12,√32),𝐵𝐶⃑⃑⃑⃑⃑=(√32,12),则∠ABC=A．30∘B．45∘C．60∘D．120∘4．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃．下面叙述不正确的是()A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个5．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是𝑀，𝐼,𝑁中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是A．815B．18C．115D．1306．若tan𝜃=13，则cos2𝜃=()A．−45B．−15C．15D．457．已知𝑎=243,𝑏=323,𝑐=2513，则试卷第2页，总5页A．𝑏𝑎𝑐B．𝑎𝑏𝑐C．𝑏𝑐𝑎D．𝑐𝑎𝑏8．执行下面的程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（）A．3B．4C．5D．69．在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵=𝜋4，BC边上的高等于13𝐵𝐶,则sin𝐴=A．310B．√1010C．√55D．3√101010．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．18+36√5B．54+18√5C．90D．8111．在封闭的直三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1内有一个体积为V的球，若𝐴𝐵⊥𝐵𝐶，𝐴𝐵=6，𝐵𝐶=8，𝐴𝐴1=3，则该球体积V的最大值是A．4𝜋B．92𝜋C．6𝜋D．323𝜋12．已知O为坐标原点，F是椭圆C：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎𝑏0)的左焦点，A，B分别为C试卷第3页，总5页的左，右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为A．13B．12C．23D．34二、填空题13．若𝑥,𝑦满足约束条件{2𝑥−𝑦+1≥0,𝑥−2𝑦−1≤0,𝑥≤1,则𝑧=2𝑥+3𝑦−5的最小值为_________.14．函数𝑦=sin𝑥−√3cos𝑥的图像可由函数𝑦=2sin𝑥的图像至少向右平移________个单位长度得到．15．已知直线𝑙：𝑥−√3𝑦+6=0与圆𝑥2+𝑦2=12交于𝐴,𝐵两点，过𝐴,𝐵分别作𝑙的垂线与𝑥轴交于𝐶,𝐷两点.则|𝐶𝐷|=_________.16．已知𝑓(𝑥)为偶函数，当𝑥≤0时，𝑓(𝑥)=e−𝑥−1−𝑥，则曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点(1,2)处的切线方程是_________.三、解答题17．已知各项都为正数的数列{𝑎𝑛}满足𝑎1=1，𝑎𝑛2−(2𝑎𝑛+1−1)𝑎𝑛−2𝑎𝑛+1=0.（Ⅰ）求𝑎2,𝑎3；（Ⅱ）求{𝑎𝑛}的通项公式.18．下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.附注：参考数据：∑𝑦𝑖7𝑖=1=9.32，∑𝑡𝑖𝑦𝑖7𝑖=1=40.17，试卷第4页，总5页√∑(𝑦𝑖−𝑦̅)27𝑖=1=0.55，√7≈2.646.参考公式：相关系数𝑟=∑(𝑡𝑖−𝑡̅)(𝑦𝑖−𝑦̅)𝑛𝑖=1√∑(𝑡𝑖−𝑡̅)2∑(y𝑖−¯)2𝑛𝑖=1𝑛𝑖=1，回归方程𝑦̂=𝑎̂+𝑏̂ 𝑡中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：𝑏̂=∑(𝑡𝑖−𝑡̅)(𝑦𝑖−𝑦̅)𝑛𝑖=1∑(𝑡𝑖−𝑡̅)2𝑛𝑖=1，𝑎̂=𝑦̅−𝑏̂ 𝑡̅.19．如图，四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶中，𝑃𝐴⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，𝐴𝐷∥𝐵𝐶，𝐴𝐵=𝐴𝐷=𝐴𝐶=3，𝑃𝐴=𝐵𝐶=4，𝑀为线段𝐴𝐷上一点，𝐴𝑀=2𝑀𝐷，𝑁为𝑃𝐶的中点．（I）证明𝑀𝑁∥平面𝑃𝐴𝐵；（II）求四面体𝑁−𝐵𝐶𝑀的体积.20．已知抛物线𝐶：𝑦2=2𝑥的焦点为𝐹，平行于𝑥轴的两条直线𝑙1,𝑙2分别交𝐶于𝐴，𝐵两点，交𝐶的准线于𝑃，𝑄两点．（Ⅰ）若𝐹在线段𝐴𝐵上，𝑅是𝑃𝑄的中点，证明𝐴𝑅∥𝐹𝑄；（Ⅱ）若𝛥𝑃𝑄𝐹的面积是𝛥𝐴𝐵𝐹的面积的两倍，求𝐴𝐵中点的轨迹方程.21．设函数𝑓(𝑥)=ln𝑥−𝑥+1．（Ⅰ）讨论𝑓(𝑥)的单调性；（Ⅱ）证明当𝑥∈(1,+∞)时，1𝑥−1ln𝑥𝑥；（Ⅲ）设𝑐1，证明当𝑥∈(0,1)时，1+(𝑐−1)𝑥𝑐𝑥.22．选修4-1：几何证明选讲如图，⊙O中的中点为𝐺，弦分别交𝐸𝐶于两点．（Ⅰ）若，求的大小；试卷第5页，总5页（Ⅱ）若𝐹𝐷的垂直平分线与的垂直平分线交于点，证明．23．在直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，曲线𝐶1的参数方程为{𝑥=√3cos𝛼𝑦=sin𝛼（𝛼为参数），以坐标原点为极点，以𝑥轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线𝐶2的极坐标方程为𝜌sin(𝜃+𝜋4)=2√2.（1）写出𝐶1的普通方程和𝐶2的直角坐标方程；（2）设点𝑃在𝐶1上，点𝑄在𝐶2上，求|𝑃𝑄|的最小值以及此时𝑃的直角坐标.24．已知函数𝑓(𝑥)=|2𝑥−𝑎|+𝑎.（1）当a=2时，求不等式𝑓(𝑥)≤6的解集；（2）设函数𝑔(𝑥)=|2𝑥−1|.当𝑥∈𝑅时，𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥)≥3，求𝑎的取值范围.答案第1页，总13页2016年新课标高考真题全国三卷文科数学参考答案1．C【解析】试题分析：由补集的概念，得∁𝐴𝐵={0,2,6,10}，故选C．【考点】集合的补集运算【名师点睛】研究集合的关系，处理集合的交、并、补的运算问题，常用韦恩图、数轴等几何工具辅助解题．一般地，对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算，可借助韦恩图，而对连续的集合间的运算及关系，可借助数轴的直观性，进行合理转化．2．D【解析】【详解】由题意可得：|𝑧|=√42+32=5，且：𝑧̅=4−3𝑖，据此有：𝑧̅|𝑧|=4−3𝑖5=45−35𝑖.本题选择D选项.3．A【解析】试题分析：由题意，得cos∠𝐴𝐵𝐶=𝐵𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⋅𝐵𝐶⃑⃑⃑⃑⃑|𝐵𝐴⃑⃑⃑⃑⃑||𝐵𝐶⃑⃑⃑⃑⃑|=12×√32+√32×121×1=√32，所以∠𝐴𝐵𝐶=30°，故选A．【考点】向量的夹角公式．【思维拓展】（1）平面向量𝑎与𝑏的数量积为𝑎⋅𝑏＝|𝑎||𝑏|cos𝜃，其中𝜃是𝑎与𝑏的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：0∘≤𝜃≤180∘；（2）由向量的数量积的性质知|𝑎|=√𝑎·𝑎，，𝑎·𝑏＝0⇔𝑎⊥𝑏，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．4．D【解析】答案第2页，总13页【详解】试题分析：由图可知各月的平均最低气温都在0℃以上，A正确；由图可知在七月的平均温差大于7.5°𝐶，而一月的平均温差小于7.5°𝐶，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在10°𝐶，基本相同，C正确；由图可知平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，所以不正确．故选D．【考点】统计图【易错警示】解答本题时易错可能有两种：（1）对图形中的线条认识不明确，不知所措，只觉得是两把雨伞重叠在一起，找不到解决问题的方法；（2）估计平均温差时易出现错误，错选B．5．C【解析】试题分析：开机密码的可能有(𝑀,1),(𝑀,2),(𝑀,3),(𝑀,4),(𝑀,5),(𝐼,1),(𝐼,2),(𝐼,3),(𝐼,4),(𝐼,5)，(𝑁,1),(𝑁,2),(𝑁,3),(𝑁,4),(𝑁,5)，共15种可能，所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率是115，故选C．【考点】古典概型【解题反思】对古典概型必须明确两点：①对于每个随机试验来说，试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等．只有在同时满足①、②的条件下，运用的古典概型计算公式𝑃(𝐴)=𝑚𝑛（其中n是基本事件的总数，m是事件A包含的基本事件的个数）得出的结果才是正确的．6．D【解析】cos2𝜃=cos2𝜃−𝑠𝑖𝑛2𝜃=cos2𝜃−𝑠𝑖𝑛2𝜃cos2𝜃+𝑠𝑖𝑛2𝜃.分子分母同时除以cos2𝜃，即得：cos2𝜃=1−𝑡𝑎𝑛2𝜃1+𝑡𝑎𝑛2𝜃=1−191+19=45.故选D.答案第3页，总13页7．A【解析】【详解】因为𝑎=243=423,𝑏=323,𝑐=523，且幂函数𝑦=𝑥23在(0,+∞)上单调递增，所以bac.故选A.点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间(−∞,0),(0,1),(1,+∞)）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小.8．B【解析】试题分析：模拟执行程序,可得𝑎=4,𝑏=6,𝑛=0,𝑠=0,执行循环体,𝑎=2,𝑏=4,𝑎=6,𝑠=6,𝑛=1,不满足条件𝑠16,执行循环体,𝑎=−2,𝑏=6,𝑎=4,𝑠=10,𝑛=2,不满足条件𝑠16,执行循环体,𝑎=2,𝑏=4,𝑎=6,𝑠=16,𝑛=3,不满足条件𝑠16,执行循环体,𝑎=−2,𝑏=6,𝑎=4,𝑠=20,𝑛=4,不满足条件𝑠16,退出循环,输出𝑛的值为4,故选B.考点：1、程序框图；2、循环结构.9．D【解析】试题分析：设𝐵𝐶边上的高线为𝐴𝐷，则𝐵𝐶=3𝐴𝐷,𝐷𝐶=2𝐴𝐷，所以𝐴𝐶=√𝐴𝐷2+𝐷𝐶2=√5𝐴𝐷．由正弦定理，知𝐴𝐶sin𝐵=𝐵𝐶sin𝐴，即√5𝐴𝐷√22=3𝐴𝐷sin𝐴，解得sin𝐴=3√1010，故选D．【考点】正弦定理【方法点拨】在平面几何图形中求相关的几何量时，需寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，常常将所涉及到已知几何量与所求几何集中到某一个三角形，然后选用正弦定理与余弦定理求解．10．B答案第4页，总13页【解析】【详解】试题分析：解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的斜四棱柱，其底面面积为：3×6=18，前后侧面的面积为：3×6×2=36，左右侧面的面积为：3×√32+62×2=18√5，故棱柱的表面积为：18+36+18√5=54+18√5．故选：B．点睛：本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键，由三视图判断空间几何体（包括多面体、旋转体和组合体）的结构特征是高考中的热点问题.11．B【解析】试题分析：设的内切圆半径为，则，故球的最大半径为，故选B.考点：球及其性质.12．A【解析】试题分析：如图取𝑃与𝑀重合，则由𝐴(−𝑎,0),𝑀(−𝑐,𝑏2𝑎)⇒直线𝐴𝑀:𝑦=𝑏2𝑎−𝑐+𝑎(𝑥+𝑎)⇒𝐸(0,�