【导数专题(二)】利用导数的几何意义研究函数的切线问题(有答案)

1利用导数的几何意义研究函数的切线问题一、亮点1.导数的几何意义作为高中数学的重点章节，经常出现的高考中，在考试中占据重要地位；2.函数切线以及与函数切线相关的问题，往往是考察的重点，也是学生的易错点；3.本篇导数几何意义问题涉及面广，知识点多，会覆盖到极值点、最值等知识点，故本篇适合章节复习、综合复习.二、教学目标1.掌握导数的几何意义这类问题的基本列式方法及其解题对应思路；2.熟练掌握已知切点𝑃(𝑥0,𝑦0)时，切线的求法；3.熟练掌握未知切点时，先设切点𝑃(𝑥0,𝑦0)，再通过题目条件列方程组，解决问题的方法.三、考情总结导数的几何意义：函数𝑦=𝑓(𝑥)在𝑥0处的导数𝑓′(𝑥0)的几何意义为函数𝑦=𝑓(𝑥)图像在点(𝑥0,𝑓(𝑥0))处的切线斜率.用导数的几何意义研究曲线𝑦=𝑓(𝑥)的切线方程的两种类型及方法：类型1：已知切点𝑷(𝒙𝟎,𝒚𝟎)问题已知切点𝑃(𝑥0,𝑦0),求𝑦=𝑓(𝑥)过点P的切线方程，解题过程为：先求出切线的斜率𝑘切，即𝑘切=𝑓′(𝑥0),再通过题目已知条件（可用点斜式），写出方程.类型2：未知切点𝑷(𝒙𝟎,𝒚𝟎)问题若未知切点𝑃，解题过程为：先设切出点𝑃(𝑥0,𝑦0)，利用导数写出切线斜率𝑘切=𝑓′(𝑥0)一个等量关系，再利用条件列出𝑥0的另一个等量关系，求解方程(组)解得𝑥0，求出斜率，再求出直线方程.2四、精品题单考点一：已知切点𝑷(𝒙𝟎,𝒚𝟎)问题.学情分析：由于已知切点坐标，此类题目比较简单，直接求在切点处的导数，即为切线的斜率，带入点斜式就能解题.注意切点务必明确位置.这类题型的易错点有以下几个：（1）复杂函数求导易错，要注意方法和技巧，仔细求导；（2）明确切点位置易错，特别是一些相交问题中，必须要明确具体切点位置；（3）导数问题与其他问题结合易错，注意要用到数列、函数等其他知识综合解决.练1.（2019·南通模拟）已知𝑥=1是函数𝑓(𝑥)=(𝑥2+𝑎𝑥)𝑒𝑥的一个极值点，则曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点(0，𝑓(0))处的切线斜率为__________．【推荐理由】易错题，经典题【思路点拨】注意求导方法，求导要仔细【答案】−32【解析】解：由题意，函数𝑓(𝑥)=(𝑥2+𝑎𝑥)𝑒𝑥，则𝑓(𝑥0)=(𝑥2+𝑎𝑥+𝑥+𝑎)𝑒𝑥又由𝑥=1是函数𝑓(𝑥)=(𝑥2+𝑎𝑥)𝑒𝑥的一个极值点，所以𝑓(1)=(+𝑎)𝑒=0，解得𝑎=−32，即𝑓(𝑥)=(𝑥2+2𝑥−32)𝑒𝑥所以𝑓(0)=−32所以函数𝑓(𝑥)在点(0，𝑓(0))处切线的斜率为−32．故答案为−32．3练2：（2019·无锡校级月考）已知𝑓(𝑥)=𝑥，(𝑥)=2𝑥2+𝑥+2(0)，直线l与函数𝑓(𝑥)，(𝑥)的图象都相切，且与𝑓(𝑥)图象的切点为(1，𝑓(1))，则m的值为__________【推荐理由】易错题，考察思路【思路点拨】同时相切，导数相同，列方程组【答案】−【解析】解：由题意得，𝑓(𝑥)=x的导数为𝑓′(𝑥)=𝑥，(𝑥)=2𝑥2+𝑥+2(0)的导数为′(𝑥)=𝑥+，与𝑓(𝑥)图象的切点为(1，𝑓(1))的切线l的斜率𝑘=𝑓′(1)=1，且𝑓(1)=1=0，所以切点为(1，0)，直线l的方程为：𝑦=𝑥−1，直线l与(𝑥)的图象也相切，{𝑦=𝑥−1𝑦=2𝑥2+𝑥+2此方程组只有一解，即2𝑥2+(−1)𝑥+2=0只有一解，=(−1)2−22=0，解得=−或=(舍去)．故答案为−．练3：（2019·南通模拟）设曲线𝑦=𝑥()在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为𝑥，令𝑎=𝑥，则𝑎+𝑎2++𝑎的值为______．4【推荐理由】综合题，导数与数列结合【思路点拨】注意求导后，形成的数列表达式的推导【答案】−【解析】解：曲线𝑦=𝑥()，𝑦′=(+1)𝑥，𝑓′(1)=+1，曲线𝑦=𝑥()在(1，1)处的切线方程为𝑦−1=(+1)(𝑥−1)，该切线与x轴的交点的横坐标为𝑥=，𝑎=𝑥，𝑎=−(+1)，𝑎+𝑎2++𝑎=(1−)+(−)+(−)+(−)+(−)++(−100)=1−100=−故答案为−．练4:（2019·泰州调研）己知函数𝑓(𝑥)是定义在R上的奇函数，且当𝑥0时，𝑓(𝑥)=2(𝑥)𝑥则曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点(1，𝑓(1))处的切线方程为__________．【推荐理由】导数与函数奇偶性结合问题，综合性问题【思路点拨】注意奇函数求另一半的基本技巧．【答案】𝑥+𝑦−=0【解析】解：设𝑥0，则−𝑥0，所以𝑓(−𝑥)=2𝑥𝑥因为𝑓(𝑥)为奇函数，则𝑓(−𝑥)=−𝑓(𝑥)，所以𝑓(𝑥)=2𝑥𝑥(𝑥0)，则𝑓(𝑥)=2𝑥3𝑥，所以切线的斜率为𝑘=𝑓(1)=−又𝑓(1)=1，即切点坐标为(1，1)，所以切线的方程为𝑦−1=−(𝑥−1)，即𝑥+𝑦−=50．故答案为𝑥+𝑦−=0．练5.（2019·苏州模拟）在平面直角坐标系xOy中，若曲线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥(𝑎，𝑏为常数)过点𝑃(，-)，且该曲线在点P处的切线与直线7𝑥+𝑦+=0平行，则𝑎+𝑏的值是______．【推荐理由】已知切线斜率，求参数问题【思路点拨】已知斜率，求导解方程【答案】−【解析】解：直线7𝑥+𝑦+=0的斜率𝑘=−2，曲线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥(𝑎，b为常数)过点𝑃(，−)，且该曲线在点P处的切线与直线7𝑥+𝑦+=0平行，𝑦=𝑎𝑥−𝑏𝑥，{𝑎+𝑏2=−𝑎−𝑏4=−2，解得：{𝑎=−1𝑏=−，故𝑎+𝑏=−．故答案为−．练6：（2019·南京模拟）设函数𝑓(𝑥)=𝑥2+𝑐与函数(𝑥)=𝑎𝑒𝑥的图象的一个公共点为𝑃(，𝑡)，6且曲线𝑦=𝑓(𝑥)，𝑦=(𝑥)在点P处有相同的切线，若函数𝑓(𝑥)−(𝑥)的唯一零点在区间(𝑘，𝑘+1)(𝑘𝑍)内，则𝑘=【推荐理由】易错题【思路点拨】相同切线问题，找方程组【答案】−1【解析】解：𝑓′(𝑥)=𝑥，′(𝑥)=𝑎𝑒𝑥，曲线𝑦=𝑓(𝑥)，𝑦=(𝑥)在𝑃(，𝑡)点处有相同的切线，𝑓′()=′()，即=𝑎𝑒2，①又P为两曲线的公共点，𝑓()=()，即+𝑐=𝑎𝑒2，②由①②解得𝑐=0，𝑎=4𝑒，令ℎ(𝑥)=𝑓(𝑥)−(𝑥)=𝑥2−4𝑒⋅𝑒𝑥=𝑥−𝑒𝑥2，则ℎ′(𝑥)=𝑥−𝑒𝑥2，当𝑥⩽0时，ℎ′(𝑥)0，ℎ(𝑥)在(−∞，0)上递减，又ℎ(−1)=1−𝑒30，ℎ(0)=−𝑒20，ℎ(𝑥)在(−1，0)内有唯一零点，由题意知(𝑘，𝑘+1)=(−1，0)，𝑘=−1．故答案为−1．考点二：未知切点𝑷(𝒙𝟎,𝒚𝟎)问题学情分析：此类题型是切线问题中的难题，关键在于要主动设切点坐标，利用导数的几何意义、切点坐标、切线斜率之间的关系来构造方程组求解.这类题型的易错点有以下几个：（1）设切点后找方程组过程易错，需仔细审题后找到对应的方程组；（2）方程组解题易错，要注意解方程组技巧；（3）审题不仔细易错，此类题目条件比较复杂，必须仔细审题，找到切入点解题.7练1：（2019·江苏卷）在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线𝑦=𝑥上，且该曲线在点A处的切线经过点(−𝑒，−1)(𝑒为自然对数的底数)，则点A的坐标是______．【推荐理由】高考题，典型题【思路点拨】设切点坐标【答案】(𝑒，1)【解析】解：设𝐴(𝑥0，𝑥0)，由𝑦=𝑥，得𝑦′=𝑥，𝑦′|𝑥=𝑥0=𝑥0，则该曲线在点A处的切线方程为𝑦−𝑥0=𝑥0(𝑥−𝑥0)，切线经过点(−𝑒，−1)，−1−𝑥0=−𝑒𝑥0−1，即𝑥0=𝑒𝑥0，则𝑥0=𝑒．由右图可知𝑒是唯一解𝐴点坐标为(𝑒，1)．故答案为：(𝑒，1)．练2：（2019·苏北四市二模改编）过曲线𝑦=𝑥−𝑥(𝑥0)上一点𝑃(𝑥0，𝑦0)处的切线分别与x轴，y轴交于点A、B，O是坐标原点，若𝐴的面积为3，则𝑥0=_________【推荐理由】综合性强，易错题【思路点拨】注意方程组和面积的表达【答案】√【解析】解：由题意可得𝑦0=𝑥0−𝑥0，𝑥00，，切线的斜率为1+𝑥0，8则切线的方程为𝑦−𝑥0+𝑥0=(1+𝑥0)(𝑥−𝑥0)，令𝑥=0可得𝑦=−2𝑥0，令𝑦=0可得𝑥=2𝑥0𝑥0，𝐴的面积=22𝑥02𝑥0𝑥0=3，解得𝑥0=√负的舍去)．故答案为√．练3：（2019·江苏卷改编）若曲线𝑦=𝑥𝑥上点P处的切线平行于直线𝑥−𝑦+1=0，则点P的坐标是______．【推荐理由】高考题改编【思路点拨】已知斜率，求导解方程【答案】(𝑒，𝑒)【解析】解：函数的定义域为(0，+∞)，函数的导数为𝑓′(𝑥)=𝑥+𝑥⋅𝑥=1+𝑥，直线𝑥−𝑦+1=0的斜率𝑘=，曲线𝑦=𝑥𝑥上点P处的切线平行于直线𝑥−𝑦+1=0，𝑓′(𝑥)=1+𝑥=，即𝑥=1，解得𝑥=𝑒，此时𝑦=𝑒𝑒=𝑒，故点P的坐标是(𝑒，𝑒)，故答案为：(𝑒，𝑒)．9练4：（2019·连云港校级模拟）若曲线𝑓(𝑥)=𝑥+2𝑎𝑥2−(𝑎+)𝑥+1上存在某点处的切线斜率不大于−，则正实数a的最小值为________．【推荐理由】易错题【思路点拨】设点坐标求导，解不等式【答案】9【解析】解：因为𝑓(𝑥)=𝑥+2𝑎𝑥2−(𝑎+)𝑥+1，所以𝑓′(𝑥)=𝑥+𝑎𝑥−(𝑎+)．因为𝑓(𝑥)上存在某点处的切线斜率不大于−，设切点为(x,y)所以存在𝑥(0，+∞)，𝑥+𝑎𝑥−(𝑎+)−，得到√(𝑥)𝑎𝑥−(𝑎+)−，当且仅当𝑥=𝑎𝑥时取“=”，化简得𝑎−√𝑎−0，解得𝑎．则正实数a的最小值为9．故答案为9．练5：（2019·宿迁模拟）点P在曲线𝑦=𝑥3−𝑥+23上移动，设在点P处的切线的倾斜角为为𝛼，则𝛼的取值范围是_____________【推荐理由】切线斜率是导数【思路点拨】求的是切线斜率范围，就是求所有导函数的值域【答案】[0，𝜋2)∪[3𝜋4，𝜋)【解析】解：𝑡𝑎𝛼=𝑥2−1，𝑡𝑎𝛼[−1，+∞)．当𝑡𝑎𝛼[0，+∞)时，𝛼[0，𝜋2)；10当𝑡𝑎𝛼[−1，0)时，𝛼[3𝜋4，𝜋)．𝛼[0，𝜋)∪[𝜋，𝜋)故答案为[0，𝜋2)∪[3𝜋4，𝜋)．练6:（2019·淮安模拟）若曲线𝑦=𝑥−𝑥与曲线𝑦=𝑎𝑥2+𝑥在公共点处有相同的切线，则实数𝑎=_________．【推荐理由】易错题【思路点拨】注意相同切线问题，斜率相同，列方程组【答案】−2𝑒【解析】解：设曲线𝑦=𝑥−𝑥与曲线𝑦=𝑎𝑥2+𝑥在它们的公共点𝑃(，𝑡)，，{1−1=𝑎+1(1)−=𝑎2+()由(1)得𝑎=2，代入()式，解得𝑎=−2𝑒，故答案为𝑎=−2𝑒．练7：（2019·盐城模拟）已知函数𝑓(𝑥)=𝑥3设曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点𝑃(𝑥，𝑓(𝑥))处的切线与该曲线交于另一点(𝑥2，𝑓(𝑥2))，记𝑓′(𝑥)为函数𝑓(𝑥)的导数，则(𝑥)(𝑥)的值为_______．【推荐理由】综合性强，易错题11【思路点拨】利用导数的几何意义、切点坐标、切线斜率之间的关系来构造方程组求解．【答案】1【解析】解：函数𝑓(𝑥)=𝑥3，𝑓′(𝑥)=𝑥2，则曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点𝑃(𝑥，𝑓(𝑥))处的切线斜率为𝑓(𝑥)=𝑥2则曲线𝑦=𝑓(𝑥