高中数学专题---推理与证明(完整知识点梳理及经典例题答案详解)

1专题——推理与证明【知识概要】本章知识网络：一.考纲目标掌握合情推理与演绎推理；熟练的运用综合法和分析法、反证法证题；信息转化、逻辑分析；数学归纳法；数学归纳法的证明思路；初始值的确定.二.知识梳理1．合情推理包括归纳推理和类比推理．2．归纳推理(1)概念：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理(简称归纳)．(2)特点：归纳是从特殊到一般的过程．(3)归纳推理的思维过程大致如图：3．类比推理(1)概念：根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理，叫做类比推理(简称类比)．(2)类比推理的思维过程是：4．演绎推理(1)概念：根据一般性原理(或逻辑规则)导出特殊情况下的结论的推理，叫做演绎推理．(2)特征：当前提为真时，结论必然为真．(3)“三段论”是演绎推理的一般模式：观察、比较联想、类推推测新的结论实验、观察概括、推广猜测一般性结论推理与证明推理证明合情推理演绎推理归纳类比综合法分析法反证法直接证明间接证明数学归纳法2M——P（M是P）①S——M（S是M）②S——P（S是P）③其中：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．5．直接证明(1)综合法①定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法（也叫由因导果法）．②框图表示：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Qn⇒Q(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证的结论)．(2)分析法①定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．这种证明方法叫做分析法（也叫执果索因法）．②框图表示：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件.6．间接证明（1）反证法：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．（2）反证法的一般步骤是：反设——推理——矛盾——原命题成立。（3）常见的“结论词”与“反议词”如下表：原结论词反议词原结论词反议词至少有一个一个也没有对所有的x都成立存在某个x不成立至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x成立至少有n个至多有n－1个p或q¬p且¬q至多有n个至少有n＋1个p且q¬p或¬q7.数学归纳法（1）数学归纳法的基本形式：设P(n)是关于自然数n的命题，若1°P(n0)成立(奠基)32°假设P(k)成立(k≥n0)，可以推出P(k+1)成立(归纳)，则P(n)对一切大于等于n0的自然数n都成立新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆（2）数学归纳法的应用：常用数学归纳法证明新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆恒等式，不等式，数的整除性，几何中计算问题，数列的通项与和等新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆三．考点逐个突破1.归纳推理[例1]已知f(x)＝2)1(1axbx(x≠－a1，a0)，且f(1)＝log162，f(－2)＝1.(1)求函数f(x)的表达式；(2)已知数列{xn}的项满足xn＝[1－f(1)][1－f(2)]…[1－f(n)]，试求x1，x2，x3，x4；(3)猜想{xn}的通项．2.类比推理[例2]已知结论：“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则AGGD＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等”，则AOOM＝A．1B．2C．3D．43.演绎推理[例3]已知函数f(x)＝－aax＋a(a0且a≠1)．(1)证明函数y＝f(x)的图像关于点(12，－12)对称；(2)求f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)的值．4.综合法[例4]已知x＋y＋z＝1，求证：x2＋y2＋z2≥13.5.分析法[例5]已知m0，a，b∈R，求证：(a＋mb1＋m)2≤a2＋mb21＋m.6.反证法：[例6]设集合W是满足下列两个条件的无穷数列{an}的集合：①an＋an＋22≤an＋1；②an≤M.其中n∈N*，M是与n无关的常数．4(1)设数列{bn}的通项为bn＝5n－2n，且{bn}∈W，求M的取值范围；(2)设数列{cn}的各项均为正整数，且{cn}∈W，证明：cn≤cn＋1.7.数学归纳法：[例7]例4.已知点Pn(an，bn)满足an＋1＝an·bn＋1，bn＋1＝bn1－4a2n(n∈N*)且点P1的坐标为(1，－1)．(1)求过点P1，P2的直线l的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于n∈N*，点Pn都在(1)中的直线l上．