5.7-定积分的物理应用

1第七节定积分的物理应用一、变力沿直线作功二、液体对薄板的侧压力第五章三、引力(自学)2设物体在连续变力F(x)作用下沿x轴从x＝a移动到力的方向与运动方向平行,求变力所做的功。xabxxxd在其上所作的功元素为xxFWd)(d因此变力F(x)在区间上所作的功为baxxFWd)(一、变力沿直线作功3例1.弹簧在拉伸过程中，需要的力F(单位：N)与弹簧的伸长量s(单位:cm)成正比，即F=ks(k是比例常数)如果把弹簧由原长拉伸6cm，计算所做的功。解：当弹簧从x拉伸至x+dx，可认为外力近似于F=kx于是外力做功元素dW=kxdx而弹簧拉伸6cm，从而60dxkxW)(18.0Jk)(18.0mNk)(18cmNk4例2.直径为20cm、高为80cm的圆柱体内充满压强为10N/cm2的蒸汽。设温度保持不变，要使蒸汽体积缩小一半，问需要做多少功？解：建立坐标系如图所示，因为温度不变，PV当圆柱体的高减少xcm时的压强为280000800()()10(80)(80)kPxVxxx2800d()d10d(80)WPxSxxx4002d10)80(800xxW则)(2ln800)(2ln80000JcmNdxxyo80801010280000是定值。pRVnRT理想气体状态方程为摩尔气体常数xxdx5解:则木板对铁钉的阻力为,)(kxxF第一次锤击时所作的功为101dxkxW,2khnxkxW0d例3.用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入1cm，若每次锤击所作的功相等，问第n次锤击时又将铁钉击入多少？设n次击入的总深度为h厘米n次锤击所作的总功为假如钉子钉入木板的深度为xcm,22kh而每次锤击所作的功相等1nWWn22kh,2kn,nh.1nn所以n次击入的总深度为第n次击入的深度为6例4.试问要把桶中的水全部吸出需作多少功?解:建立坐标系如图。oxm3xxxdm5任取一小区间，]d,[xxx这薄层水的体积元素xd32这薄层水吸出桶外所作的功(功元素)为ddWVgxxxgd9故所求功为50Wxxgd9g5.112(kJ)设水的密度为一蓄满水的圆柱形水桶高为5m,底圆半径为3m,xyVdd2Wmgh克服重力势能做功质点的情形：7作多少功?内盛满了水,试问要将容器内的水全部吸出需例5.有一半径为4米开口向上的半球形容器,容器解:取坐标原点在球心,x轴垂直向下建立坐标系,xyVdd24022(4)dxWxxg)(64kJgOxxx+dxxxd)4(228例6.半径为R的球沉入水中,球的上部与水面相切，球的密度为1，现将球从水中取出,需作多少功？相应于区间[x，x+dx]的球体中的薄片(球台)的体积约为xxRVd)(d22当球体恰好露出水面时，这一薄片在水面以上移动的路程为R+x，22()d(d)RxWxgRx解：建立坐标系如图所示。克服重力做功为OxR+xx水面x+dx由于球的比重与水相同，球的这一部分的由x提升到水面不做功。RRxxRxRgWd))((22于是RRxxRRgd)(22434Rg奇函数9二、液体对薄板的侧压力压力=压强×受力面积=gh×受力面积例7.的液体,求桶的一个端面所受的侧压力。解:建立坐标系如图.所论半圆的)0(Rx方程为一水平横放的半径为R的圆桶,内盛半桶密度为小窄条上各点的压强xPg利用对称性,侧压力元素RF0oxyRxxxd222xRFdxg端面所受侧压力为xd332RgxxRxgd22210,d222xxR说明:当桶内充满液体时,,)(xRg小窄条上的压强为侧压力元素Fd故端面所受侧压力为奇函数3Rg)(xRgRxxRgR022d4241RoxyRxxxd11例8.有等腰梯形水闸,上底长10m,下底6m,高20m。试求当水面与上底相齐时,闸门一侧所受的水压力。解：建立坐标系如图所示。510xy直线AB的方程为xB(20,3)A(0,5)Oy闸门上对应于区间[x，x+dx]2(5d)d10xxFgxxx+dx窄条形所受的压力约为200d)510(2xxxgF)(33.14373kN)1(取12例10.有等腰梯形水闸,上底长6m,下底2m,高10m。试求当水面位于上底下2m时,闸门所受的水压力。解：建立坐标系如图所示。35xy直线AB的方程为x2B(10,1)A(0,3)Oy闸门上对应于区间[x，x+dx]d(2)2(3)d5Fgxxxxx+dx窄条形所受的压力约为102d)35)(2(2xxxgF)(7.961kN13例11.设某水库闸门为椭圆形水泥板，椭圆的长轴平行于水面且离水面的距离为h，求闸门所受的压力。解：建立坐标系如图所示。12222byax椭圆的方程为于是窄条所受的水压力约为y由题设，hb在y轴任取区间[y，y+dy]椭圆板上对应窄条的面积的近似值为2xdy22d()2dabyybFghy则所求水压力为bbyybbayhgFd)(222gabhxbO-ba-ah奇函数yy+dy1415例.设一锥形贮水池，深15米，口径20米，盛满水，今以唧筒将水吸尽，问要作多少功？解：任取一小区间[x,x+dx]，则直线AB的方程为3032yx建立坐标系如图所示。3032yxxx+dxOA(0,10)yxB(15,0)这薄层水的体积元素为xyVdd2xxd)3210(2把这一部分水吸出所需做的功元素为22d(10)d3dxWggxVxx1502d)3210(xxxgW)(1875kJg16例.一底为10cm,高为6cm的等腰三角形薄片,铅直地沉入水中,顶在上,底边在下且与水面平行,而顶离水面3cm时,试求它的一个侧面所受的水压力。解：建立坐标系如图所示。2565xy直线AB的方程为xxgxFd)2565(2d93d)2565(2xxxgFxx+dx)(210NgxB(9,5)A(3,0)Oy