1.2.2-函数的表示法(要用)

1.2函数及其表示1.2.2函数的表示法复习回顾函数的表示法，常用的有三种：解析法、列表法、图象法。解析法：把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析式。解析式只表示一种对应关系，与所取的字母无关。例如：y=2x–1与u=2t-1表示同一个函数。函数解析式一定是方程；方程不一定是函数解析式。一次函数：y=kx+b（k≠0）二次函数：y=ax2+bx+c（a≠0）可看成关于x、y的方程。例如：x2+y2=1复习回顾(1)炮弹发射（解析法）h=130t-5t2（0≤t≤26）(2)南极臭氧层空洞（图象法）(3)恩格尔系数(列表法)时间19911992199319941995199619971998199920002001恩格尔系数(%)53.852.950.149.949.948.646.444.541.939.237.9函数的表示法1、解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.解析式优点：函数关系清楚,容易从自变量的值求出其对应的函数值.便于用解析式来研究函数的性质.()53fxx26st函数的表示法2、图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系.优点：能直观地表示出函数的变化情况。注意：图象法是今后利用数形结合思想解题的基础。图象法：思考：初中画函数图象主要用什么方法？利用此法画图的主要步骤如何？初中画函数图象的主要方法是描点法。按描点法画函数图象的主要步骤有：（1）确定自变量x的取值范围，对函数图象的整体性质有个把握；（2）列表：选取一些典型的点，将x与y的对应值用表列出；（3）描点：将表中点在直角坐标系中描出；（4）连线：用平滑直线或曲线依次连接各点。例如：一次函数图象：一条直线——两点确定一条直线——找两个典型的点——通常找与坐标轴的交点。二次函数图象：抛物线——开口方向，对称轴，顶点，与坐标轴交点。判断一个图形是否是函数图象：判断下列图象，哪些可以表示函数图象？xyOxyOxOxOyyABCD平行于y轴（也即垂直于x轴）的直线，与函数图象至多有一个交点。-11函数的表示法3.列表法:列出表格来表示两个变量之间的对应关系.优点：不必通过运算就知道当自变量取某些值时函数的对应值.时间(年)19911992199319941995199619971998199920002001恩格尔系数(%)53.852.950.149.949.948.646.444.541.939.237.9“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况缺点：经常不可能把所有的对应值列入数表中，而只能达到实际上够用的程度。函数的表示法解:(1)用解析法可将函数y=f(x)表示为1,2,3,4,5.xy=5x,(2)用列表法可将函数表示为笔记本数x12345钱数y510152025例1、某种笔记本的单价是5元,买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元.试用函数的三种表示法表示函数y=f(x).函数的表示法xyo51015202512345(3)用图象法可将函数表示为下图0510152025300246(1)用解析法表示函数是否一定要写出自变量的取值范围？(2)用描点法画函数图象的一般步骤是什么？本题中的图象为什么不是一条直线？函数的定义域是函数存在的前提,在写函数解析式的时候,一定要写出函数的定义域.列表、描点、连线(视其定义域决定是否连线).函数的图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等.函数的表示法例2.下表是某校高一(1)班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表.第一次第二次第三次第三次第五次第六次王伟988791928895张城907688758680赵磊686573727582班级平均分88.278.385.480.375.782.6表格能否直观地分析出三位同学成绩高低?如何才能更好的比较三个人的成绩高低?请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析。函数的表示法解：将“成绩”与“测试时间”之间的关系用函数图象表示出来。可以看出：王伟同学学习情况稳定且成绩优秀；张城同学的成绩在班级平均水平上下波动,且波动幅度较大;赵磊同学的成绩低于班级平均水平,但成绩在稳步提高.123456060708090100......▲▲▲▲▲▲■■■■■♦♦♦♦♦♦xy王伟■张城班平均分赵磊函数的表示法练习.向高为H的水瓶中注水,注满为止,如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示,那么水瓶的形状是()B分段函数解:由绝对值的意义,知例3.画出函数的图象.||yx图像如下,,0.xxyxx≥0,xyoxyo1函数图像变换专题y=|x-1|比较例3的做图方法与例1、例2有何不同？例1、例2采用的是描点法;例3可借助于已知函数画图象.描点法一般适用于那些复杂的函数,而对于一些结构比较简单的函数,则通常借助于一些基本函数的图象来变换.分段函数例4．某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：(1)5公里以内(含5公里),票价2元；(2)5公里以上,每增加5公里,票价增加1元(不足5公里按5公里计算)．如果某条线路的总里程为20公里,请根据题意,写出票价y与里程x之间的函数解析式,并画出函数的图象．解:设票价为y元,里程为x公里,由题意可知,自变量的取值范围是(0,20］,由票价制定规则,可得到以下函数解析式：分段函数解:函数解析式为y5x10152012345O有些函数在它的定义域中，对于自变量的不同取值范围，对应关系不同，这种函数通常称为分段函数．2，3，4，5,y0x≤55x≤1010x≤1515x≤20分段函数里程x(km)票价y(元)510x≤205x≤1015x≤1520x≤345问：此函数能用列表法表示吗？此分段函数的定义域为(0,20]此分段函数的值域为{2,3,4,5}③每段上的函数解析式是怎样求出的？①自变量的范围是怎样得到的？②自变量的范围为什么分成了四个区间？区间端点是怎样确定的？作函数图象：作出下列函数的图象，并求函数的值域：①y=|1-x|②y=x2+1（x≥0）-2x（x＜0）③y=x-n（n∈Z，且-2≤n≤1，x∈[n,n+1)）作函数图象：①y=|1-x|①解：y=|1-x|=函数的值域是[0,+∞）x-1（x≥1）1-x（x＜1）|x-1|=xyO43211234作函数图象：①解：函数的值域是（0,+∞）xyO43211234②y=x2+1（x≥0）-2x（x＜0）-3-2-15分段函数的值域求法：分别把每段函数的值域求出，再取它们的并集。作函数图象：③解：函数的定义域是[-2,2）xyO2112-2-1③y=x-n（n∈Z，且-2≤n≤1，x∈[n,n+1)函数的值域是[0,1）y=x+2∵n∈Z，且-2≤n≤1∴n=-2，-1，0，1x+1xx-1（n=-2，-2≤x＜-1）（n=-1，-1≤x＜0）（n=0，0≤x＜1）（n=1，1≤x＜2）分段函数注意：1、有些函数在它的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应关系不同，这种函数通常称为分段函数。分段函数的表达式虽然不止一个，但它不是几个函数，而是一个函数。2、分段函数的定义域是各段“定义域”的并集，值域是各段“值域”的并集。3、函数图象不一定是光滑曲线（直线），还可以是一些孤立的点、一些线段、一段曲线等。分段函数1.已知函数若f(x)=3,则x的值是……………().A.1B.C.D.D21,12,(),,2,22.xxxfxxxx≤≥31,3,2331,2或分段函数是一个函数,不要把它误认为是“几个函数”。【定义域】？【值域】？分段函数2|5|21yxxx解：由题意知y=|x+5|+|x－1|当x≤－5时，y=－(x+5)－(x－1)=－2x－4当－5＜x≤1时，y=(x+5)－(x－1)=6当x＞1时，y=(x+5)+(x－1)=2x+442642xxy1155xxxxyo－5162.化简函数【定义域】？【值域】？分段函数3．（浙江13）已知f(x)=,则不等式x+(x+2)·f(x+2)≤5的解集是__________.1,0,1,0,xx小结：采取分类的方法，利用已知分段函数，把所求不等式化为分段的几个不等式，然后取不等式解集的并集。3(,]2分段函数4.（上海）函数，的值域是。1,510,30,32xxxxxxy(,4]小结：采取分类的方法，利用已知分段函数，把各段的值域求出来，再取它们的并集；或把所求函数的值域转化成画函数图象，然后根据函数图象找到函数的值域。课堂小结1.理解函数的三种表示法及其各自的优点；3.分段函数的表示方法及其图象的画法.2.通过例1,2,3,掌握描点法和利用已知函数作图的方法、步骤，体会函数的图象(数形结合)在解决数学问题时的直观效果.作业补充作业：求函数y=|2x+1|+|x－2|值域教材P24习题1.2A组T1,4,5；T7,9；B组T4映射复习回顾：函数的概念：设A，B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|xA}叫做函数的值域。复习回顾：如果将函数定义中的两个集合从非空数集扩展到任意元素的集合，我们就可以得到映射的概念。例如：①对任意实数a，数轴上都有唯一的一个点和它对应；②坐标平面内的任意一个点A，都有唯一的一个有序实数对（x，y）和它对应；③任何一个三角形，都有唯一一个确定的面积和它对应；④我们班的每一个学生都有唯一一个学号和他(她)对应。映射：定义：设A，B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射，记作f:AB.映射：例1、从集合A到集合B的映射：（1）设A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，集合A中的元素x按照对应法则“乘2加1”和集合B中的元素2x+1对应.（2）设A=N*,B={0，1},集合A中的元素x按照对应法则“x除以2得的余数”和集合B中的元素对应.（3）设A={x|x是三角形}，B={y|y0}，集合A中的元素x按照对应关系“计算面积”和集合B中的元素对应.象与原象：定义：给定一个集合A到集合B的映射，且aA，bB，如果元素a和元素b对应，那么，我们就把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象.123123456AB乘以2例如，右图就表示一个集合A到集合B的映射，对应法则是“乘以2”，集合B中的4是集合A中的2的象，集合A中的2是集合B中的4的原象.概念的理解：①集合A、B，可以是数集，也可以是点集或其他集合。②存在性和唯一性：集合A中的元素一定有象，且唯一。集合B中的元素未必有原象，即使有也未必唯一。③封闭性：集合A的任一元素的象必在B中，但不要求B中的每一个元素都有原象。即A中元素的象集是B的子集。定义：设A，B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射，记作f:AB.概念的理解：④有序性：映射是有方向的。“A到B的映射”与“B到A的映射”一般不是同一个映射。⑤映射三要素：集合A，B，以及对应法则f⑥一对一、多对一的对应是映射，一对多的对应不是映射。定义：设A，B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射，记作f:AB.思考：如果从对应来说，什么样的对应