电动力学教程-第4章-时变电磁场

第四章时变电磁场4.1波动方程在时变得情况下，电场和磁场相互激励，在空间形成电磁波，其能量以波的形式向前传播，电磁波的传播规律服从波动方程。由麦氏方程可以推导出电磁场的波动方程。下面建立无源空间的波动方程。00J,ρ取限定形式的麦氏方程:1tEεH2tHμE30H40EEtεH(1)式两边取旋度tHμεH022代入(2)式再利用矢量恒等式和(3)式HHHH22可得到tHμεH0222同样地，(2)式两边取旋度后可得tEμεE0222无源空间电磁场的波动方程波动方程的解是空间中沿某一特定方向的电磁波。所有电磁波的传播问题就归结为在给定边界条件和初值条件下求波动方程的解。在有源空间，电磁场的波动方程表示为：00J;ρJtHμεH222证明：和无源空间的波动方程的证明类似，差别在于算子对源变量、J作用时不为0，要保留。(作业)ερtJμtEμεE2224.2时变场中的位函数1.动态矢量位和标量矢量位代入麦氏方程，有tBEtAAtE0tAE也随时间变化称为动态标量位。故可令tAE对于磁感应强度：0BBAA随时间变化为动态矢量位(5)tAE(6)2.达朗贝方程到A和满足的微分方程222AAJAttερAt2At引入洛伦茨规范将(5)和(6)式分别代入麦克斯韦方程组得得到222AAJtερt222---达朗贝方程4.3Poynting矢量和Poynting定理1.Poynting矢量的定义电磁场中电能密度和磁能密度2121HBωDEωme时变场中的能量密度HBDEωωωme2121由于场随时间变化，故空间各点的电磁能量密度也随时间变化，从而引起能量的流动。为了描述能量的流动情况，引入一个新的矢量--能流密度矢量，即Poynting矢量(符号S)。其大小定义为：单位时间流过与能量流动方向垂直的单位面积的能量。SPStWi.e.故又称为功率密度矢量。其方向规定为：能量的流动方向(=波的传播方向)。2.Poynting定理--电磁能量守恒定律利用麦氏方程组可以导出Poynting矢量和Poynting定理的表达式。tDEJEHEtDJHtBHEHtBEtBHtDEJEEHHE上两式相减若介质是线性、均匀且各向同性的，则介质参数(、、)均为常数，那么上式右边各项：BHttHHtHHtBH2121DEttEEtEEtDE2121BHtDEtJEEHHE2121因此上式改写为：利用矢量恒等式HEEHEHHEBHDEtJEHE-2121上式写为：两端体积分，并利用散度定理*dVBHDEdtddVJESdHE-VVS2121式中右边第一项就是焦耳定理的积分式，代表体积Ｖ的介质中所消耗的功率，即单位时间体积Ｖ中消耗的电磁能量；第二项中的积分是体积Ｖ中的电磁能量，因此该项代表单位时间体积Ｖ中增加的电磁能量。故等式右边实际上代表单位时间内，经边界Ｓ流入体积Ｖ的总的电磁能量，即流入功率aSdHE-PSin另一方面，根据Poynting矢量的定义，单位时间流过任意曲面A的能量(i.e.功率)为AAdSPAS流入闭合曲面A的功率bAdSPA对比(a)、(b)两式，可得Poynting矢量S的表达式HES说明：①该式给出的是Poynting矢量S的瞬时值表达式。②S、E、H三者彼此正交且构成右手螺旋关系。EHS③将Poynting矢量的表达式代入(*)式，得到ASAVmeVdVωωdtddVJEd-(为避免混淆，将面积S改写成A)称为Poynting定理，也就是电磁能量的守恒定律。定理的物理意义：流入体积V内的电磁功率等于体积V内电磁能量的增加率与体积V内损耗的电磁功率之和。例题：已知无源的自由空间中，时变电磁场的电场强度0ˆcos()(V/m)yEeEtkz求：(1)磁场强度；(2)瞬时坡印廷矢量；(3)平均坡印廷矢量。0ˆˆsin()ˆyyzxxEEtkBeeekEtxzz0001ˆ()xkEBHdtectkztosBEt解:(1)000ˆˆcos()()xykeEtkzcostkzEe2020ˆcos()zetzkEk()()()StEtHt00022ˆcos()zTetkzkEdtT2000cos(22)1ˆ2TztkzekEdtT2200ˆ2(/)zEekWm(2)01()()TavSEtHtdtT(3)物理量的某种“流”显然是个和时间有关的概念。比如能量的流动(“能流”)、动量的流动(“动量流”)、电荷的流动(“电荷流”，即电流)、粒子的流动(“粒子流”)。流的概念反映了物理量的时空上的动态变化。物理量的“流”及“流密度”流物理场T中物理量T的流定义为单位时间内垂直流过面积dA上的T的值，或者单位时间内面元dA上物理量T的变化量，i.e.dT/dt。流密度为单位时间内垂直流过单位面积的T的值，或者单位时间内单位面积上物理量T的变化量，i.e.dT/dt/dA。电荷分布场(标量场)中的电荷流（即电流）及电荷流密度（即电流密度）ˆ,jdqdqijedtdtdAv（q是电荷量）,dNdNdtdtdA,dpdpdtdtdAvv粒子流和粒子流密度动量场中的动量流和动量流密度（p是动量）（N是粒子数）4.4时谐电磁场1.时谐场的复数表示时谐场：电磁场变量随时间正弦或余弦式地变化。时变电磁场的任一坐标分量随时间作正弦变化时，其振幅和初相也都是空间坐标的函数。以电场强度为例，在直角坐标系中，)],,(cos[),,(),,,()],,(cos[),,(),,,()],,(cos[),,(),,,(zyxtzyxEtzyxEzyxtzyxEtzyxEzyxtzyxEtzyxEzzmzyymyxxmx实振幅初相利用复数来描述时谐电磁场场量，可使数学运算简化：]Re[]Re[]),,(Re[),,,()],,([tjxmtjjxmzyxtjxmxeEeeEezyxEtzyxExx][Re)(tjωymyeEx,y,z,tE][Re)(tzzjωmeEx,y,z,tExyzjxmxmjymymjzmzmEEeEEeEEe复振幅场矢量的复数表示])ˆˆˆRe[])ˆˆˆRe[(),,,(tjzmzymyxmxtjjzmzjymyjxmxeEeEeEeeeEeeEeeEetzyxEzyx]Re[),,,(mtjeEtzyxEˆˆˆmxxmyymzzmEeEeEeE其中称为电场强度复矢量。它只是空间坐标的函数，与时间t无关。这样我们就把时间t和空间x、y、z的四维(x,y,z,t)矢量函数简化成了空间(x,y,z)的三维函数，即zmzymyxmxEeEeEezyxEtzyxEˆˆˆ),,(),,,(时间因子若要得出瞬时值，只要将其复振幅矢量乘以ejωt并取实部，便得到其相应的瞬时值：]),,(Re[),,,(mtjezyxEtzyxE时谐场复数场矢量的时间导数：ReReReitititmmmEEeEeiEetttit一阶导数222t二阶导数Re[]Re[]Re[]Re[]Re[]jtjtmmjtjtmmjtmDDeJJeHHeeBBe其它场变量的复数形式可依照写出：例题：已知场矢量的瞬时值请写出其复数形式。解：2.麦克斯韦方程的复数形式是分别对其实部和虚部进行的，并不改变其实部和虚部的性质，故在复数运算中，对复数的微分和积分运算tttReReRejωmjωmjωmeDteJeHtttReReRejωmjωmjωmeDjeJeHttDtJtHaLaLReRe其中L是实线性算子，如等，因此麦氏方程、...、dt、t、0jRetttjωmjωmjωmeDeJeH0jRetjωmmmeDJHmmmDjωJH故当t任意时，mmmmm0DBBjE类似地DjωJHDBBjE0复数形式的麦氏方程说明：①复数形式的麦氏方程中，所有场、源变量均为复数。②所有场变量都仅仅是空间的函数(反映场的空间分布)，方程的解剩以时间因子ejt后再取实部就是真实的时谐场的解。复数形式的麦氏方程:DjωJHDBBjE0③与含时的麦氏方程比较，其复数形式实现了时空分离，因此使方程的求解更简单。对时谐平面波-jk3.亥姆霍兹方程,trHHtHμεH;0222,trEEtEμεE;0222在无源空间中，电磁波满足波动方程在时谐场的情况下，222-ωtjωt、（I）k式中（II）rHHHkH;022rEEEkE;022亥姆霍兹方程空间的函数，该方程就是复场矢量满足的波动方程，称为亥姆霍兹方程。与方程(I)比较，亥姆霍兹方程实现了时空分离，求解更容易。因此时谐场的传播问题就归结为亥姆霍兹方程的求解。②亥姆霍兹方程的解乘以时间因子ejt后再取实部就是真实的时谐场的解，即tjtjerH,trHerE,trEReRe①方程(II)中的场矢量是复场矢量，仅仅是③亥姆霍兹方程的每一个解代表电磁波在空间的一种可能的分布形式；每一种分布形式称为一种电磁波模式或波型。4.平均能流密度矢量电磁场能流密度矢量S的瞬时值的表达式tHtEtS这里对于时谐场tjerE,trEtEtjerH,trHtH(实际上应取实部)在实际应用时，能流密度的时间平均值，即平均能流密度矢量（或平均Poynting矢量），更有意义。TdtHETHES0avav1对时谐电磁场，当场矢量用复数表示时：][21]Re[)(*tjtjtjeEeEeEtE][21]Re[)(*tjtjtjeHeHe